二戰(zhàn)期間，小約翰·拉里·凱利曾在美國(guó)海軍擔(dān)任飛行員，這段經(jīng)歷錘煉了他的意志和勇氣。
戰(zhàn)后，他在德克薩斯大學(xué)完成了本科和研究生學(xué)業(yè)，并于1953年獲得博士學(xué)位。他的博士論文是關(guān)于材料研究的，但畢業(yè)后的工作并不順?biāo)?，他未能得到老板的賞識(shí)。
然而，凱利并未因此而氣餒，在30歲時(shí)，他加入了貝爾實(shí)驗(yàn)室。
在貝爾實(shí)驗(yàn)室，凱利的生活充滿了趣味和挑戰(zhàn)。他加入了槍械俱樂部，與妻子組隊(duì)參加橋牌錦標(biāo)賽，還給敞篷車裝上了彈射座椅，展現(xiàn)出了他多彩的一面。而他被認(rèn)為是當(dāng)時(shí)整個(gè)貝爾實(shí)驗(yàn)室里第二聰明的人，排在第一的是香農(nóng)
一次偶然的契機(jī)，凱利在研究電視信號(hào)壓縮方法時(shí)，對(duì)賭博產(chǎn)生了濃厚的興趣。當(dāng)時(shí)，一檔名為《64000美元的問題》的電視答題節(jié)目正在熱播。
由于該節(jié)目在紐約錄制，居住在美國(guó)東海岸的人可以實(shí)時(shí)觀看直播，而西海岸的觀眾則需等待三小時(shí)的延遲播出。這一時(shí)間差被西海岸的一些賭徒所利用，他們通過電話提前獲取節(jié)目信息，以此在賭博中作弊。
凱利的關(guān)注點(diǎn)并非是如何通過這種不正當(dāng)手段贏錢，而是研究這些作弊者如何實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)的最大化。盡管東西海岸的節(jié)目播出存在三小時(shí)的時(shí)間差，但投注可能在節(jié)目結(jié)束前就已停止，所以賭徒通過電話獲得的信息雖然有限，卻足以顯著提高他們的勝率。經(jīng)過深入研究，凱利針對(duì)這種簡(jiǎn)單的賭局推導(dǎo)出了一種能夠?qū)崿F(xiàn)利潤(rùn)最大化的“必贏”公式，即 f* = (bp - q) / b 。
其中，f*為凱利最優(yōu)投資比例，b為賠率，即期望盈利與預(yù)計(jì)虧損的比值，p為成功概率，q為失敗概率，即1 - p。
為了更清晰地理解這個(gè)公式，我們可以通過一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來進(jìn)行說明。假設(shè)一個(gè)拋硬幣猜正反的賭局，每次賭注1元，猜中得2元，猜錯(cuò)輸?shù)?元，賠率b = 2，勝率p = 0.5。
將這些數(shù)值代入公式后，可以得出f* = 0.25。這意味著在這種簡(jiǎn)單的拋硬幣賭局中，倘若所有條件不變且能夠無(wú)限次重復(fù)，每次投入本金的25%，便可以在不輸光本金的前提下實(shí)現(xiàn)收益的最大化。
凱利的這一研究成果引起了香農(nóng)的極大興趣。香農(nóng)認(rèn)為這個(gè)公式具有重要的價(jià)值，并建議凱利將其撰寫成文章發(fā)表在雜志上。
最初，文章的標(biāo)題為“信息理論與賭博”，但AT&T公司的高管擔(dān)心這會(huì)讓公眾認(rèn)為電話業(yè)務(wù)助長(zhǎng)了非法賭博，最終在1956年發(fā)表時(shí)，文章標(biāo)題改為了“信息率的新解釋”。盡管這篇文章在當(dāng)時(shí)并未引起廣泛的關(guān)注，但卻為后續(xù)的研究和應(yīng)用奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
在香農(nóng)的建議下，愛德華·索普閱讀了凱利的文章，了解了凱利公式的投資策略，并將其應(yīng)用到了實(shí)踐當(dāng)中。在二十一點(diǎn)游戲中，索普通過記牌來判斷勝率，再運(yùn)用凱利公式計(jì)算投注金額，首次從技術(shù)上戰(zhàn)勝了賭場(chǎng)
二十一點(diǎn)游戲有著獨(dú)特的規(guī)則，手中牌的點(diǎn)數(shù)總和不能超過21點(diǎn)，否則就會(huì)爆掉并輸?shù)糍€注，剩下的點(diǎn)數(shù)大的一方為贏。在賭場(chǎng)的多人游戲中，玩家不僅要與其他玩家競(jìng)爭(zhēng)，還要面對(duì)莊家的挑戰(zhàn)。
莊家會(huì)根據(jù)既定策略進(jìn)行抽牌，通常在點(diǎn)數(shù)超過17時(shí)才會(huì)停止。正是莊家的存在，保障了賭場(chǎng)的盈利。
而二十一點(diǎn)游戲的關(guān)鍵在于牌庫(kù)的有限性。索普發(fā)現(xiàn)，當(dāng)剩余牌中小點(diǎn)數(shù)（2 - 8點(diǎn)）的牌減少時(shí)，玩家的優(yōu)勢(shì)就會(huì)增大，因?yàn)榍f家更有可能因抽到大點(diǎn)數(shù)牌而爆牌。
在某些特定情況下，比如剩余牌數(shù)量較少且點(diǎn)數(shù)較大時(shí)，玩家的勝率會(huì)顯著提升，此時(shí)才符合凱利公式中期望收益率為正的條件。不過，需要注意的是，這種情況是動(dòng)態(tài)變化的，索普只是巧妙地運(yùn)用了凱利公式的策略，實(shí)際上，經(jīng)典的凱利公式并不能完全適用于二十一點(diǎn)游戲，因?yàn)槎稽c(diǎn)的勝率會(huì)隨著牌的變化而不斷改變。
雖然凱利公式在一定程度上為投資者提供了策略建議，但其也存在局限性，并非是萬(wàn)能的?，F(xiàn)實(shí)中的投資遠(yuǎn)比假設(shè)的二元賭博游戲要復(fù)雜得多。
在賭博游戲中，規(guī)則是人為設(shè)定的，賠率和勝率是已知或可計(jì)算的，并且游戲可以無(wú)限次地重復(fù)進(jìn)行。然而，在現(xiàn)實(shí)的投資領(lǐng)域，如股票、基金、期貨等，其賠率和勝率不僅難以知曉且難以估算。
此外，在簡(jiǎn)單的二元賭博游戲中，輸?shù)艟鸵馕吨鴵p失本金，而在現(xiàn)實(shí)投資中，通常不會(huì)完全虧損本金，因此凱利公式的一般形式不能直接應(yīng)用。還有一個(gè)更為細(xì)致的問題，那就是在現(xiàn)實(shí)中，單筆交易金額不一定能夠無(wú)限分割，即便滿足了凱利公式的條件，也可能會(huì)因?yàn)槭Ｓ噘Y金低于最低交易額而無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行投資。盡管在符合條件的游戲或投資中，嚴(yán)格按照凱利公式進(jìn)行理性投資確實(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定獲益，這種收益也許并非是最大的，但卻相對(duì)更為穩(wěn)定。然而，在現(xiàn)實(shí)生活中，我們必須清楚地認(rèn)識(shí)到，這種期望收益率為正的穩(wěn)定賺錢局面并不常見。
對(duì)于大多數(shù)普通人而言，在面對(duì)復(fù)雜的投資環(huán)境和各種誘惑時(shí)，往往容易陷入困境。尤其是在交友和投資方面，我們需要格外謹(jǐn)慎。
一些騙子常常會(huì)利用人們的情感漏洞，實(shí)施各種詐騙行為，給人們帶來巨大的損失。
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