在這篇論文中，凱利提出了一個如何處理信息傳輸中信號和噪音的公式，這就是后來大名鼎鼎的“凱利公式(Kelly Formula)”：
其中：
f為信號發(fā)射端每次發(fā)送信號占總信息量的比率；
p為接收端接受到有效信號占總信息量的比率；
q為接收端接收到噪音信號占總信息量的比率，q=1-p；
b為特定介質(zhì)在信息傳輸過程中的信噪比（信號與噪聲的比值）。
這篇論文，看上去科學(xué)嚴謹又高大上，但實際上完全不是那么回事兒——
因為，這個公式是凱利在研究一個賭博游戲時琢磨出來的。
當(dāng)時有一檔電視答題節(jié)目正在熱播，名叫《64000美元的問題》，因為節(jié)目火爆，就有人賭哪位選手能獲勝。賭徒們能夠提前獲取一部分選手的信息，但這些信息有限而且可能有誤，賭徒需要在不完全信息下進行下注。
凱利了解到這個賭局之后，就開始琢磨，如何利用有限的信息來參與賭博，才能在保證永遠不輸完的情況下，實現(xiàn)“利潤最大化”？
經(jīng)過反復(fù)的推導(dǎo)，凱利總結(jié)出來了如下公式：
其中的f，為計算出來的賭金最優(yōu)投資比例，b 為賠率，即期望盈利/預(yù)計虧損，p 為成功概率，q 為失敗概率即 1-p。
舉個例子，假設(shè)一個拋硬幣猜正反的簡單賭局，每局賭注1元，猜中了得2元，猜錯了輸?shù)?元，也就是賠率b=2，勝率p=0.5，帶入公式后算得f=0.25——也就是說，在這樣一個簡單拋硬幣賭局中，如果能夠無限次重復(fù)，每次投入所持有本金的25%，可以在永遠不輸光本金的前提下實現(xiàn)收益的最大化。
從這個公式里可以得出來兩個推論：
1）除非勝率是100%，否則任何賭局都不能all in；
2）f為正值的賭局才值得參與，f為0或負值的游戲，重復(fù)參與的人必輸無疑。
別人的一個賭博游戲，凱利能總結(jié)出如此簡潔的數(shù)學(xué)公式，由此可見凱利之聰明。凱利此人不僅長得帥，聰明，還特別有趣。在加入貝爾實驗室之前，他是美國海軍的飛行員，加入貝爾實驗室之后，他還加入了槍械俱樂部，又和妻子組隊打橋牌錦標賽，還給敞篷車裝上彈射座椅……
不過，在當(dāng)時的貝爾實驗室：
凱利的帥，只能排第二位；
凱利的聰明，也只能排第二位；
凱利的有趣好玩，還是只能排第二位。
以上三項，都穩(wěn)排在第一位的那個家伙，叫香農(nóng)（Claude Elwood Shannon）。
很多人可能沒聽說過這個人。但其實，香農(nóng)是當(dāng)代信息論的開山鼻祖。他的碩士論文以及后來發(fā)表在《貝爾技術(shù)期刊》上的兩篇論文，確立了當(dāng)代通信編碼的基本原理，他用數(shù)學(xué)公式來描述通信定理，為信息論和數(shù)字通信奠定了基礎(chǔ)。正是沿著他的思路，才有了今天的互聯(lián)網(wǎng)世界。
某種程度上說，現(xiàn)在的我們，能夠在互聯(lián)網(wǎng)上自由地即時聊天、打電話、聽音樂、看電影等等，其實都應(yīng)該感謝他。
話說凱利總結(jié)出這個公式后，就拿給香農(nóng)看，香農(nóng)建議他寫成文章。起初，題目是“信息理論與賭博”，但貝爾實驗室的東家AT&T擔(dān)心，大眾可能認為實驗室在拿著研究資金搞非法賭博，所以在發(fā)表時名字特意改成了“信息比新解”。
凱利公式發(fā)表后，一直沒有激起什么特別的浪花，直到被一個叫愛德華-索普（Edward O.Thorp）的家伙給看到。
索普這人，從小就是個數(shù)學(xué)計算神童，28歲就在著名的麻省理工學(xué)院當(dāng)了數(shù)學(xué)講師。但他從小就喜歡研究賭博，一直想要找到一種方式，通過大量的數(shù)據(jù)計算，來預(yù)測輪盤賭中彈珠最后的大致位置。
1960年，索普大致完成了自己的猜想，他想將論文發(fā)表在美國科學(xué)院院刊上，但這個刊物規(guī)定，必須由科學(xué)院院士推薦或署名才行。于是，索普就找到了當(dāng)時麻省理工唯一的國家科學(xué)院院士——香農(nóng)。
香農(nóng)一直都是個老頑童，索普的這種主意很快就打動了他，他同意推薦論文發(fā)表，然后，按照索普的理論，兩個人一起制造了一個簡易的計算器，到各個輪盤賭上去小試身手。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，因為各種計算誤差，賭博成果一直都差強人意。
這個時候，香農(nóng)忽然想起來凱利公式，就把這篇論文，推薦給了索普，索普一眼就看了出來，這個公式可以應(yīng)用到當(dāng)時各大賭場盛行的21點賭博游戲中——該游戲由2到6個人玩，使用除大小王之外的52張撲克牌，游戲者的目標，是使手中的牌的點數(shù)之和不超過21點且盡量大。
為了驗證凱利公式和“數(shù)牌法”在實際中的效果，索普于是約了一個專業(yè)賭徒，拿著1萬美元的本錢，到附近的兩個小賭場里小試身手，結(jié)果，僅一個周末里，就狂賺1.1萬美元。
確認策略有效后，索普聯(lián)合香農(nóng)，設(shè)計了史上第一個便攜式“計算器”。接下來，一旦沒錢花了或者手癢難耐的時候，索普就和香農(nóng)及夫人在周末坐上飛機，飛往拉斯維加斯，在賭場里大玩21點，掙一大把錢后走人。
由于索普在賭場中屢屢獲勝，不久就被各大賭場列為“不受歡迎的人”。為了能繼續(xù)贏下去，索普使用了化妝術(shù)，后來干脆雇傭別人代替他本人去賭博，但賭場也越來越警惕。
索普的名聲在賭博業(yè)里傳開了，很多人都想學(xué)這種方法。索普干脆從挖金子改行賣鏟子，于是在1962年寫了一本書： 《戰(zhàn)勝莊家：21點中的獲勝策略》（Beatthe Dealer: A Winning Strategy for the Game of Twenty-One），詳細披露了自己是如何在賭場中賺錢的。
這本書迅速登上紐約時報暢銷書排行榜，銷量高達70萬冊，比索普本人化妝去辛苦賭博掙錢多多了，這也證明了一個真理：賣鏟子比挖金子賺錢。
那我們來看，索普到底是怎么在21點的賭博中掙錢的呢？
其實很簡單，記牌！
因為21點是撲克牌游戲，而每一副牌中某花色或點數(shù)的總量是一定的，每一輪賭博過后，發(fā)牌員手中的牌數(shù)就會減少。通過記下已經(jīng)出現(xiàn)的牌，索普就能計算發(fā)牌員手中有什么樣的牌，然后根據(jù)這些牌的花色、點數(shù)估算出現(xiàn)不同情況的概率，進而用凱利公式來計算下注比例。形勢有利的時候就下大賭注，形勢不利的時候就下小賭注。
那個時代賭場也很“笨”，一般只用1-2副牌，而且發(fā)牌員常常將牌發(fā)完之后才洗牌，導(dǎo)致記牌并非難事。索普公布了自己的辦法之后，賭場就學(xué)精了，每次用6-8副牌，而且發(fā)牌不到1/3就重新洗牌，而且禁止攜帶電腦和數(shù)牌的電子設(shè)備進場，基本就堵上了這個漏洞。
索普的書暢銷了之后，凱利公式開始變得世人皆知，甚至有人稱之為“財富公式”。
到了1969年，一個年輕的紐約證券經(jīng)紀人里根找到了索普，希望和索普一起成立一個對沖基金，將索普的理念和方法完全商業(yè)化。索普可以繼續(xù)做他的研究，并作為基金經(jīng)理下交易指令，而里根幫助他做產(chǎn)品銷售，客戶維護，完成交易執(zhí)行以及其他所有的瑣事。
從1969年成立，到1988年因訴訟而意外停業(yè)，索普的基金20年年化收益率19.1%。雖然在投資大師里貌似不算驚人，但如果你查看該基金凈值會發(fā)現(xiàn)，近20年的跨度下，該基金居然沒有一年虧損，共計230個月，只有3個月有回撤，且回撤幅度全部小于1%——這，大概是有史以來“最完美的投資曲線”。
實際上，索普的基金，是美國第一支完全的中性策略基金，僅基于數(shù)學(xué)計算的概率和市場的定價失誤進行投資，即使在1987年的美股暴跌中，索普的基金也基本保持穩(wěn)定，到年末，甚至還賺了大錢。
隨著參與到華爾街的“大賭博”中來，索普見了許多投資界人士，其中有一個，叫巴菲特。那個時候他還不是股神，但兩人交流之后惺惺相惜，索普甚至預(yù)言，巴菲特會成為美國最富有的人。多年之后的巴菲特，的確實現(xiàn)了索普的預(yù)言。
索普認為，巴菲特是真正的投資大師，所以他把自己相當(dāng)一部分財富，入股了巴菲特的公司，成為巴菲特的早期股東之一，這些股份一直持有到現(xiàn)在。
1994年，索普重新成立了一家對沖基金，這個基金業(yè)績更好，可惜到2002年他也主動解散——外部原因來說，是對沖基金數(shù)量激增，交易機會減少，但更重要的原因，是索普對賺錢的興趣降低了，他覺得和家人在一起，才是更好的時光。
索普對名聲也并不在意，后來震動了整個投資界Black-Scholes期權(quán)定價模型，其實索普自己早已推導(dǎo)出來，但他的選擇是自己默默掙錢。后來，這個公式的兩位作者布萊克（Black）和斯科爾斯（Scholes），還特意在論文里感謝索普的貢獻。
索普對此很平靜：“我從未考慮過我的榮譽，因為我不是從事經(jīng)濟學(xué)和金融行業(yè)研究的人，這個問題附帶的重大意義并不在我的思考范圍。”
相比于索普研究的個人化和隱私化，BS期權(quán)定價模型讓每個投資者都可以預(yù)測期權(quán)價格，它的提出徹底顛覆了以往的金融運行體系，華爾街的量化投資時代正式到來了。到了后來，麻省理工教授羅伯特-默頓（Robert Merton）采用隨機微積分將公式進一步完善，他和斯科爾斯共同獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。
所以，某種程度上說，索普是當(dāng)今所有量化投資的鼻祖。
實際上，當(dāng)前金融市場上叱咤風(fēng)云的知名對沖基金經(jīng)理，幾乎都在使用凱利公式進行投資，這其中包括比爾-格羅斯（Bill Gross，債券投資之王）、詹姆斯-西蒙斯（James Simons，文藝復(fù)興公司名譽主席、世界級的數(shù)學(xué)家）和投機之王喬治-索羅斯（George Soros）等人。
特別值得一提的是，索普不再做對沖基金后，偶爾會做一些基金管理咨詢的事情，結(jié)果他就發(fā)現(xiàn)，伯納德-麥道夫的證券投資公司大有問題，勸朋友把錢撤出來。果不其然，2008年的時候，這一美國歷史上最大的“龐氏騙局”被揭露，詐騙金額超過600億美元。
索普寫了一本自傳《A Man For All Markets》，這里的All Markets，意思是，他涉及了幾乎所有的交易市場，從賭場到華爾街，OTC期權(quán)、可轉(zhuǎn)債、股票、期貨等……
另外，如今在美國量化對沖基金領(lǐng)域鼎鼎大名的TGS基金，據(jù)說就是索普的三個徒弟一起創(chuàng)辦的，而TGS中的“T”，就是Thorp的名字。
聯(lián)系客服
