摘 要：本文探討了創(chuàng)設(shè)探索發(fā)現(xiàn)問題情境的具體方式和有效策略，以期培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。
關(guān)鍵詞：創(chuàng)設(shè)方式；有效策略；問題情境；數(shù)學(xué)教學(xué)；創(chuàng)新思維
“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，沒有問題就沒有數(shù)學(xué)?，F(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于思維的研究成果表明，思維過程首先是解決問題的過程，即思維通常是由問題情境產(chǎn)生的，而且是以解決問題情境為目的的。所謂問題情境是指?jìng)€(gè)體覺察到的一種有目的但又不知如何達(dá)到這一目的的心理困境，也就是當(dāng)已有知識(shí)不能解決新問題而出現(xiàn)的一種心理狀態(tài)。人們就必須擬出以前未曾有過的、新的活動(dòng)策略，亦即完成創(chuàng)造性思維活動(dòng)。而借以解決包含在其中的問題的心理過程，則稱做問題性思維。
根據(jù)認(rèn)知理論，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程應(yīng)該是以不斷地提出問題并解決問題的方式來獲取新知識(shí)的問題性思維過程。解決問題首先要提出問題，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前怎樣去找出公式來。”因此，教師無論是在教學(xué)的整個(gè)過程，還是在教學(xué)過程中的某些微觀環(huán)節(jié)，都應(yīng)該十分重視數(shù)學(xué)問題情境的創(chuàng)設(shè)。創(chuàng)設(shè)問題情境的實(shí)質(zhì)在于揭示事物的矛盾或引起主體內(nèi)心的沖突，打破主體已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)，從而喚起思維，激發(fā)其內(nèi)驅(qū)力，使學(xué)生進(jìn)入問題者的“角色”，真正“卷入”學(xué)習(xí)活動(dòng)之中，達(dá)到掌握知識(shí)，訓(xùn)練創(chuàng)新思維的目的。
一、創(chuàng)設(shè)問題情境的方式
問題情境對(duì)于學(xué)生來說，是引發(fā)認(rèn)知沖突的條件，對(duì)于教師來說，是引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突的手段。教師可以利用各種各樣的問題情境：意外的情境，不對(duì)應(yīng)的情境，選擇的情境，沖突的情境，反駁的情境等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，能引發(fā)創(chuàng)新思維的問題情境有以下幾種基本方式：
1．引發(fā)式。教師可以通過實(shí)驗(yàn)、教具和多媒體展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過程，或由舊知識(shí)的探索、發(fā)現(xiàn)、拓展引出新問題，或由有趣故事展開，讓學(xué)生身臨其境，實(shí)現(xiàn)和展開思維活動(dòng)，這樣學(xué)生就親自參與了數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的全過程。如在“橢圓”的教學(xué)中，首先請(qǐng)三個(gè)同學(xué)做實(shí)驗(yàn)，兩個(gè)同志按住繩子的兩端，第三個(gè)同學(xué)用粉筆套住繩子在黑板上畫圖形，畫好后請(qǐng)這個(gè)同學(xué)說出他在畫的過程中有什么感受。這個(gè)同學(xué)說出了以下結(jié)論：當(dāng)開始兩個(gè)同學(xué)把繩子拉直按住兩端時(shí)，畫出的就是線段，不是橢圓，只有當(dāng)粉筆端到兩個(gè)同學(xué)按住的兩點(diǎn)的距離和大于這兩點(diǎn)的距離時(shí)，才是橢圓。這樣不但引出了橢圓的定義，而且還得到了的特殊情形。這難道不是學(xué)生創(chuàng)新思維的體現(xiàn)嗎？
2．矛盾揭示式。利用隱含于教材中的矛盾因素或?qū)W生已有認(rèn)知與新知識(shí)之間的矛盾和沖突來設(shè)計(jì)矛盾的問題情境，讓學(xué)生通過積極思維來解決矛盾。如在解答例題時(shí)，可有意的出現(xiàn)差錯(cuò)與疏漏，形成學(xué)生思維上的正誤沖突，從而獲得問題的解決。有這樣一道題目：已知，化簡(jiǎn)
，其中
。
開始時(shí)，進(jìn)展比較順利：
解： 原式 
（解到這里時(shí)，教師不動(dòng)聲色地往下做——）
。
這時(shí)，部分學(xué)生在交頭接耳，有的甚至脫口而出：“錯(cuò)了”！此時(shí)再問大家該怎么辦？經(jīng)過研究，認(rèn)為應(yīng)當(dāng)分區(qū)間討論，從而將最后兩步訂正如下：
原式
這種正確與錯(cuò)誤的強(qiáng)烈對(duì)比，波瀾迭起的教學(xué)，形成了創(chuàng)新思維的問題情境，有利于訓(xùn)練學(xué)生思維的批判性和嚴(yán)謹(jǐn)性。
3．出其不意式。創(chuàng)設(shè)一些學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不和諧或?qū)W(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)運(yùn)用于陌生情境中的問題，使學(xué)生在驚奇中迫切進(jìn)入積極思維狀態(tài)。例如在講復(fù)數(shù)的三角形式的乘法法則時(shí)，先讓學(xué)生利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式（不用）計(jì)算（）6 非常繁瑣，不僅耗時(shí)費(fèi)力，而且極易致錯(cuò)。這時(shí)教師不失時(shí)機(jī)說：“我們今天將要學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則，利用它來計(jì)算該題僅需幾秒鐘！”學(xué)生頓時(shí)感到驚異和驚疑，也就產(chǎn)生了對(duì)新知識(shí)的期待和渴求，自然引出新課。
4．似是而非式。提出一些似是而非、模棱兩可的問題，讓學(xué)生在捉摸不透、無所適從中進(jìn)入積極思維狀態(tài)。如在復(fù)數(shù)的教學(xué)中要隨時(shí)注意把實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集中相異性質(zhì)進(jìn)行比較，讓學(xué)生判斷下列命題是否正確，并說明理由：
（1）若 則；
（2）；
（3）；
（4）的充要條件是；
（5）方程的解為；
（6）一元二次方程的兩根必為共軛虛根。
學(xué)生通過對(duì)這些問題的深入思考，不僅明辨了是非，復(fù)習(xí)鞏固了有關(guān)的復(fù)數(shù)知識(shí)，而且還培養(yǎng)了他們思維的深刻性、批判性和創(chuàng)造性。
5．猜想證明式。牛頓說：“沒有大膽的猜測(cè)，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”事實(shí)上，數(shù)學(xué)及其他科學(xué)的發(fā)展的淵源之一就是猜想的假說。數(shù)學(xué)課中教師要經(jīng)常創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生對(duì)問題的條件與結(jié)論、拓展的走向、解法的思路等作出猜想，引導(dǎo)學(xué)生在充分理解題意的基礎(chǔ)上敢于打破常規(guī)，標(biāo)新立異，大膽猜想，從而培養(yǎng)學(xué)生自覺的獨(dú)創(chuàng)意識(shí)。例如：已知數(shù)列滿足，。求證：對(duì)一切，都有為整數(shù)。
大多數(shù)學(xué)生很快可以算出，，，，，但對(duì)怎樣證明束手無策，怎么辦呢？觀察已知等式，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜測(cè)的表達(dá)式，這時(shí)有學(xué)生提出：設(shè)（p、q為整數(shù)），然后用待定系數(shù)法求得，。因此，再用數(shù)學(xué)歸納法可證明該等式成立，則本題易證。
二、創(chuàng)設(shè)問題情境的有效策略
良好的問題情境有助于實(shí)現(xiàn)原有的認(rèn)知對(duì)新知識(shí)的同化，使認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到補(bǔ)充和完善，從而促進(jìn)學(xué)生的心理發(fā)展。構(gòu)建良好的問題情境，可以使學(xué)習(xí)材料的意義被充分地揭示出來，使學(xué)生易于理解，也就是使學(xué)習(xí)材料的邏輯意義明朗化；更重要的是，它可以激發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)地使新舊知識(shí)發(fā)生相互作用，產(chǎn)生有機(jī)聯(lián)系，從而使新知識(shí)獲得實(shí)際意義，最終實(shí)現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)有效的問題情境，我們認(rèn)為有如下一些基本策略。
1．創(chuàng)設(shè)“小步距”問題情境，注重問題的有序性和階梯性
問題情境的設(shè)置要具有合理的程序和階梯性，即問題的設(shè)計(jì)要由淺入深，由易到難，層層遞進(jìn)，把學(xué)生的思維逐步引向新的高度。創(chuàng)設(shè)“小步距”問題情境就是要善于把一個(gè)復(fù)雜的、難度較大的課題分解成若干個(gè)相互聯(lián)系的子問題（或步驟），或把解決某個(gè)問題的完整的思維過程分解成幾個(gè)小階段。“小步距”問題情境的創(chuàng)設(shè)，首先，必須具有適應(yīng)性和針對(duì)性，即必須針對(duì)學(xué)生已有的知識(shí)、心理發(fā)展水平和學(xué)習(xí)材料的難易程度來設(shè)計(jì)問題，創(chuàng)設(shè)的問題情境既要反映數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，如數(shù)學(xué)概念的形成過程，定理、公式、法則的發(fā)現(xiàn)過程，數(shù)學(xué)問題的分析過程以及解題方法和規(guī)律的概括過程等，又要考慮學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知活動(dòng)過程，如感知、表象、抽象、概括、建構(gòu)等，使知識(shí)的“探索”過程和“獲取”過程有機(jī)統(tǒng)一。其次，必須具有有序性和階梯性，即針對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)性和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的有序性。教師設(shè)置問題要坡度適中、排列有序、循序漸進(jìn)、形成有層次結(jié)構(gòu)的開放性系統(tǒng)，并不斷地與外界教學(xué)環(huán)境保持能量、信息的交換，這樣才能使問題情境所包含的信息量不斷增加，才能使學(xué)生產(chǎn)生“有階可上，步步登高”的愉悅感，也才能興趣盎然地接受知識(shí)、訓(xùn)練能力、體驗(yàn)情感。例如求=？可設(shè)計(jì)如下6個(gè)問題：①用什么公式計(jì)算？②用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)，關(guān)鍵是什么？③為了使冪的底與對(duì)數(shù)的底是相同的非1正數(shù)，這個(gè)非1正數(shù)是7呢？還是，為什么？④用的變形，這時(shí)對(duì)數(shù)符號(hào)前面的負(fù)號(hào)，又如何處理呢？
2．創(chuàng)設(shè)“變式”問題情境，注意問題的開放性和發(fā)散性
良好的問題情境不僅應(yīng)當(dāng)是“標(biāo)準(zhǔn)的”，即具有典型的模式，為吸收或同化其他學(xué)習(xí)材料提供理想的框架，有利于學(xué)生對(duì)材料進(jìn)行抽象和概括，而且應(yīng)當(dāng)具有“變式”性，即問題情境的形式和敘述可以不斷變化，而基本原則和本質(zhì)屬性保持不變。變式性問題往往注重揭示條件性知識(shí)，注重的是方法，因此“變式”性問題情境主要具有這樣一些功能：①構(gòu)建功能，即利用“變式”性問題情境能加深對(duì)相應(yīng)“問題群”的理解和解釋；②整合功能，即能夠把輸入的信息按問題類型或知識(shí)結(jié)構(gòu)整合成一個(gè)整體，有利于知識(shí)結(jié)構(gòu)向認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化；③遷移功能，即它揭示了知識(shí)應(yīng)用的條件，最具遷移性。因此，教師在創(chuàng)設(shè)問題情境的過程中，既要注意基本知識(shí)點(diǎn)的中心性，又要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去思考，進(jìn)行發(fā)散思維，深刻領(lǐng)會(huì)與中心點(diǎn)有密切聯(lián)系的知識(shí)，從而使學(xué)生對(duì)知識(shí)的深化理解。對(duì)于問題更要注重其變式綜合，靈活應(yīng)用，可以對(duì)已有問題進(jìn)行改變，使一問題的精髓滲透到其它問題當(dāng)中，加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系，促進(jìn)知識(shí)的遷移。這樣就可使問題情境具有較好的發(fā)散性，即問題情境的設(shè)計(jì)能充分激發(fā)學(xué)生聯(lián)想，開拓學(xué)生思路，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造精神。數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的變式有：圖形變式，表達(dá)式的變式，語言變式，解法變式，問題變式等，通過這些變式活動(dòng)，可以活躍學(xué)生的思維，使其產(chǎn)生多向聯(lián)想。例如研究三棱錐（即四面體）頂點(diǎn)的射影與底面三角形“五心”的關(guān)系時(shí)就可設(shè)置以下問題：
① 當(dāng)三棱錐是正三棱錐時(shí)；
② 當(dāng)三條側(cè)棱的長(zhǎng)均相等時(shí)；
③ 當(dāng)側(cè)棱與底面所成的角都相等時(shí)；
④ 當(dāng)各個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角相等且頂點(diǎn)射影在底面三角形內(nèi)時(shí)；
⑤ 當(dāng)頂點(diǎn)與底面三邊距離相等時(shí)；
⑥ 當(dāng)三條側(cè)棱兩兩垂直時(shí)；
⑦ 當(dāng)三條側(cè)棱分別與所對(duì)側(cè)面垂直時(shí)；
⑧ 當(dāng)各個(gè)側(cè)面在底面上的射影面積相等時(shí)；
⑨ 當(dāng)各個(gè)側(cè)面與底面所成的角相等且頂點(diǎn)射影在底面三角形外時(shí)。
教師通過不斷變換命題的條件，引深拓廣，產(chǎn)生一個(gè)個(gè)既類似又有區(qū)別的問題，形成一浪高過一浪的氣勢(shì)撲向?qū)W生，使學(xué)生產(chǎn)生濃厚的興趣，在挑戰(zhàn)中尋找樂趣，不時(shí)閃現(xiàn)出創(chuàng)造思維的火花，品嘗到“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”的甜頭。同時(shí)也進(jìn)一步鞏固了線線、線面垂直關(guān)系，尤其是三垂線定理的掌握。
3．創(chuàng)設(shè)“精制式”問題情境，注意問題的方向性和策略性
人們?cè)诮鉀Q問題時(shí)，既需要概念性知識(shí)，又需要程序性知識(shí)，還需要策略性知識(shí)。新的知識(shí)觀正是從這三個(gè)方面來規(guī)范和強(qiáng)調(diào)知識(shí)的重要性。因此，一個(gè)問題情境包含的知識(shí)也應(yīng)該是多方面的。一個(gè)精而有效的問題情境，不在于其所具有的概念性知識(shí)的多少，而在于其中蘊(yùn)涵的程序性知識(shí)和策略性知識(shí)的有效性，在于由概念性知識(shí)和程序性知識(shí)相結(jié)合而形成的問題圖式，即解決各類問題的基本框架和模式。數(shù)學(xué)教學(xué)更重要的是解決“為什么這樣做”的方法問題。因些，課堂教學(xué)中教師應(yīng)充分利用每堂課寶貴而有限的時(shí)間，精心構(gòu)建問題情境，使其蘊(yùn)涵豐富的程序性知識(shí)和策略性知識(shí)，幫助學(xué)生形成問題圖式。構(gòu)建的問題情境一旦具有延伸性和方向性，就可以擴(kuò)大學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的心理空間，充分激活原有知識(shí)，并使新舊知識(shí)發(fā)生有機(jī)聯(lián)系，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。
例如求等比數(shù)列前項(xiàng)和公式時(shí)，通過印度國(guó)王獎(jiǎng)勵(lì)軍棋發(fā)明家的故事引入，然后問：① 如何求總米粒數(shù)？學(xué)生躍躍欲試，但無從下手。教師接著問：② 這是什么數(shù)列的求和？學(xué)生都能回答。又問：③ 反映等比數(shù)列的本質(zhì)屬性是什么？它的意義是什么？學(xué)生回答：公比。我們把它變?yōu)椋?/span>。④ 請(qǐng)大家觀察、分析，這個(gè)式子提供的一個(gè)規(guī)律性的重要特點(diǎn)是什么？學(xué)生說：等比數(shù)列中的第項(xiàng)與第項(xiàng)倍的差等于零。⑤ 那么這個(gè)特點(diǎn)能否用于等比數(shù)列的求和呢？請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍?/span>，。從這兩個(gè)具體問題的解決，我們發(fā)現(xiàn)，用“倍錯(cuò)位相減”法，可以消去個(gè)項(xiàng)，從而將求項(xiàng)之和轉(zhuǎn)化為只需求兩項(xiàng)之和即可。⑥ 現(xiàn)在同學(xué)們能求嗎？此時(shí)同學(xué)們興趣高漲，紛紛動(dòng)筆求出：。教師再問：⑦ 時(shí)，？⑧ 在等比數(shù)列中，已知和任意一項(xiàng)，怎樣求？同學(xué)們易由得：。顯然后一公式比前一公式更具有一般性。⑨ 上述求和公式的探求還有其它方法嗎？請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)探討。
在以上的活動(dòng)中，不僅使學(xué)生獲得了重要知識(shí)：等比數(shù)列前項(xiàng)和的公式，更重要的是使學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法上的收獲：（1）數(shù)學(xué)探索要抓住數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性；（2）類比推理是導(dǎo)致數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的一種重要方法；（3）“錯(cuò)位相減法”是等比數(shù)列求和的有效轉(zhuǎn)化方法；（4）將研究的數(shù)學(xué)對(duì)象的某些元素一般化，可能發(fā)現(xiàn)更一般的數(shù)學(xué)結(jié)論，從而回過來解決一些特殊問題就更簡(jiǎn)捷。這里既蘊(yùn)含了“一般化”的思維方法，又體現(xiàn)了“以進(jìn)求退”的轉(zhuǎn)化策略；（5）一題多解可以活躍思維，訓(xùn)練思維的靈活性和流暢性。上述的設(shè)計(jì)就把概念性知識(shí)、程序性知識(shí)和策略性知識(shí)蘊(yùn)涵于問題情境之中了。
4．創(chuàng)設(shè)“知識(shí)豐富域”問題情境，注重問題的具體性和現(xiàn)實(shí)性
“知識(shí)豐富域”主要指問題情境應(yīng)該與具體學(xué)科、具體知識(shí)點(diǎn)相聯(lián)系。問題情境的創(chuàng)設(shè)必須與學(xué)科具體的教學(xué)內(nèi)容緊密結(jié)合，否則難以實(shí)現(xiàn)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)該學(xué)科的興趣，發(fā)展學(xué)生能力的目的。創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)教學(xué)的問題情境必須與具體的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律等知識(shí)結(jié)合起來，不能追求那種只注重情境而忽視問題本身與具體知識(shí)相聯(lián)系的純粹性問題情境，根據(jù)生活和生產(chǎn)的實(shí)際而提出問題，創(chuàng)設(shè)實(shí)際問題情境，可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)意義，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值，這樣也更容易激發(fā)學(xué)生的好奇心和興趣。例如在學(xué)習(xí)“圓錐曲線”后，我們讓學(xué)生利用周末到商店里調(diào)查，然后研究石英鐘表面形狀的曲線方程有哪些？又如在學(xué)了“映射與函數(shù)和冪函數(shù)”后，我們?cè)O(shè)計(jì)了如下實(shí)際應(yīng)用問題讓學(xué)生討論：
是四邊形，一只螞蟻（記為P）沿折線由B點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，螞蟻移動(dòng)的路程為，的面積為。函數(shù)的圖象如圖所示。給出以下四個(gè)結(jié)論：
① 是等腰梯形且；
② 是平行四邊形；
③ 是AD中點(diǎn)時(shí)，的面積為10；
④ 當(dāng)時(shí)，
函數(shù)。
其中你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)是_______。
盡管此題許多學(xué)生出錯(cuò)，但新穎別致，深深地吸引了學(xué)生的好奇心。通過它的解決，使學(xué)生深刻理解了函數(shù)概念、函數(shù)關(guān)系、函數(shù)性質(zhì)，把合情推理和邏輯推理有機(jī)結(jié)合，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)化能力。這遠(yuǎn)比一些形式化的推演強(qiáng)多了。
參考文獻(xiàn)：
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