第一章序論
一、為什么小學數(shù)學教師要了解小學生如何學數(shù)學？
首先是小學數(shù)學教師專業(yè)民發(fā)展的需要。
第二也是教育改革形勢發(fā)展的需要。
第三也是促進學生全面發(fā)展，特別是培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力的需要。
二、兒童怎樣學習數(shù)學的主要理論
認知心理學與建構主義學說構成是小學數(shù)學學習理論的重要基礎。
1．皮亞杰的發(fā)展階段理論
皮亞杰認為，兒童的思維發(fā)展，可以分為四個階段：第一階段是感覺運動階段，從初生到二歲間的兒童處于這一階段。第二階段是前運算階段，從二歲到七歲之間的小孩屬于這一階段。兒童開始了解到簡單的符號象征真實世界的事物。第三階段是具體運算階段，這個階段的兒童大約從七歲到十二三歲左右。兒童在這一階段的思維一般不能離開具體事物的支持。第四階段是形式運算階段，這一階段發(fā)生在十歲或十二歲以后。這一階段學生可以在一定程度上進行形式思維，根據(jù)假設進行邏輯推演的思維等。
2．柯普蘭的《兒童怎樣學習數(shù)學》
兒童數(shù)學認知發(fā)展表
概念
掌握相關概念的大致年齡
概念
掌握相關概念的大致年齡
簡易分類
4—7歲
結合性質
7—11歲
系統(tǒng)次序
4—9歲
分配性質
9—11歲
數(shù)目守恒
4—7歲
歐幾里得幾何圖形
4—9歲
度量衡守恒
4—9歲
時間
7—11歲
加法
7—9歲
面積
9—11歲
乘法
7—9歲
體積
11—15歲
倍數(shù)
7—9歲
比例
7—15歲
交換性質
7—9歲
概率
9—15歲
在學習過程方面，柯普蘭重視數(shù)學概念知識的作用，認為數(shù)學學習是一種概念及概念之間關系的學習，教師應鼓勵兒童理解數(shù)學概念及其分類，要驗學生獨立思考的機會和發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識的樂趣。他提出兒童對數(shù)概念的理解必須由兒童自己獲得，教師的責任是提供一個良好的教學環(huán)境，提供適當?shù)膯栴}來引導兒童學習。他認為數(shù)學操作活動對于學生學習數(shù)學概念具有重要作用，他介紹了數(shù)學實驗室的具體做法，目的是打破傳統(tǒng)課堂的呆板模式和嚴肅的氣氛，給兒童更多的活動與交流的自由。
3．布魯納的認知序列學說
美國著名的教育學家布魯納將兒童的理解能力發(fā)展分為三個階段：第一，動作階段。第二，表象階段。第三，符號階段。他認為，動作—表象--符號是兒童認知發(fā)展的程序，也是學生學習過程的認知序列。他建議，應該按照學生理解能力發(fā)展的程度來組織數(shù)學課堂學習，盡量舉例以便解析復雜的數(shù)學概念。如：加法結合律可以經(jīng)過三步。第一步，可以用小棒、積木來演示；第二步，以數(shù)字來表示如（1＋4）＋5=1＋（4＋5）；第三步，用符號來表示。
4．迪恩斯關于學具的研究
5．利貝克的四個基本環(huán)節(jié)
利貝克接受布魯?shù)乃枷?，認為學生的數(shù)學學習可以概括為經(jīng)驗、語言、圖象和符號四個基本環(huán)節(jié)。經(jīng)驗就是學生自己的活動或者他們接觸客觀事物的體驗。語言就是學生自己對經(jīng)驗的概括，學生用一定的語言對經(jīng)驗進行刻畫。圖像指學生在頭腦中形成表象，這些圖像能引起和幫助他們理解數(shù)學概念，為進一步概括提供基礎。符號指學生認識和寫出代表概念的符號，掌握的數(shù)學概念的概括程度進一步提高，有助于數(shù)學知識的遷移。學生的數(shù)學學習中存在下面幾個差異：學習速度，學習情緒體驗，理解能力。
6．比格斯的數(shù)學學習要點
第一，小學生思考的方法和能力雖然各有不同，但是他們都會因年齡和經(jīng)驗的差異而必然經(jīng)過幾個學習階段。第二，小學生學習數(shù)學概念的速度比我們想象的慢得我，他們要通過實際活動才能夠掌握具體概念，進而學習抽象概念。第三，學生的實際體驗具有重要作用，因此教師應善于用學習兒童根據(jù)本身的經(jīng)驗支分析事物的關系，然后在適當時候引入數(shù)學語言。第四，兒童掌握概念后，必須有適量的練習，才能夠鞏固所學的數(shù)學知識。
7．學生對數(shù)學語言的理解
小學生的數(shù)學語言大致可分為三大類：第一類是專有名詞。第二類是表示計算過程的名詞。第三類是有助于理解題意的一般詞。
美國學者柯爾歸納出數(shù)學閱讀理論的以下幾個要點：第一，數(shù)學閱讀能力，指的是保存數(shù)字、數(shù)量、長度、容量和重量等概念的能力。數(shù)學閱讀能力是一種重要的數(shù)學能力。數(shù)學閱讀能力是數(shù)學思維的基礎。第二，數(shù)學閱讀對于解決問題具有重要作用。三種必要的閱讀技巧：解釋詞匯、解析問題字面的意義以及對問題情境的理解能力。第三，學生理解數(shù)學語言是一個逐步發(fā)展的過程。
三、小學生如何學數(shù)學
從宏觀來看，教師的工作在很大程度上不是去教會學生什么，而是創(chuàng)設良好課堂環(huán)境，引導學生參與課堂教學活動，讓學生在自己的活動中學到知識，獲得發(fā)展。從微觀來看，指學生如何理解和探索數(shù)學知識、如何發(fā)展重要數(shù)量觀念和邏輯思維能力等問題。一個成功的小學數(shù)學教師，既要關心學生在課堂中的主體參與，又要關注學生在具體領域的數(shù)學理解的發(fā)展。
第二章 小學數(shù)學學習概述
教師的首要任務是指導學生進行有效的學習。
一、 建構主義的學習觀與小學數(shù)學學習
1．不同的學習觀
A．行為主義心理學理論認為學習的重點是行為改變的量。學習的基本因素包括內(nèi)驅力、線索、反應和獎賞。學習要素是動機、練習、強化和反饋。
2．建構主義學習觀與小學數(shù)學學習
建構主義強調(diào)學習是由學習者自己決定的。學習具有主動性、社會性和情境性。它認為，學習是主體和客體之間的交互作用，學習者主動地去接觸有關的信息，并利用學習者已有的知識和觀念來解釋這些信息。學習者以自己的經(jīng)驗和觀點來構建客觀世界，獲得對客觀世界理解并賦予意義。學生是學習活動的主體央建構知識的過程中，教師并不是知識的分配者，而是學習活動的共同參與者。教師注意的重點并不在教材上，而是在學生的認知過程上面，教師所關注的是提高學生學習的品質。
對建構主義學習觀可以作如下概括：第一，課本知識是關于各種現(xiàn)象的較為可靠的假設，而不是問題的唯一答案。學生對這些知識的學習是在理解的基礎上對這些假設作出自己的檢驗和調(diào)整的過程。第二，在建構自己的知識的過程中，現(xiàn)有的知識和經(jīng)驗具有重要的作用。第三，強調(diào)教學中的社會性和相互作用對于知識建構的重要作用，主張教師與學生、學生與學生進行豐富的、多向的交流、討論和合作解決問題，提倡合作學習與交互教學。第四，學習可分為初級學習和高級學習的不同層次。第五，重視活動性學習在學生學習中的重要作用。
建構主義的學習硯對我們理解小學數(shù)學學習有一定的啟示。首先，小學數(shù)學學習是指小學生自己建構數(shù)學知識的活動。其次，小學數(shù)學教學是師生雙方交互作用的過程。教師是“布題者”而非“解題者”；學生是主動探索知識的建構者，而非只是模仿者。在數(shù)學課堂中，師生雙方捕捉對方的想法，雙方產(chǎn)生積極的互動。教師應積極了解學生思考的情況，注意學生的學習過程。
數(shù)學學習的五個步驟：1查詢2受指導的定向3明了4自己定向5綜合。
二、 經(jīng)驗、活動、思考和再創(chuàng)造
小學生學習數(shù)學有以下幾個特點：
第一， 小學生學習數(shù)學是他們生活常識的系統(tǒng)化。學生從現(xiàn)實出發(fā)，經(jīng)過反思，達到“數(shù)學化”。在這一過程中，“數(shù)學現(xiàn)實”和“反思”是十分重要的。對于學生來說，數(shù)學現(xiàn)實就是他們的經(jīng)驗。經(jīng)驗在小學生學習數(shù)學的過程中具有重要意義。小學生學習數(shù)學是以經(jīng)驗為基礎的認識過程，他們頭腦中的數(shù)學往往和成人的理解有不同的含義，數(shù)學對小學生來說，是他們自己對生活中的數(shù)學現(xiàn)象的解讀。
第二， 數(shù)學學習是學生自己的活動過程。學習是主體在現(xiàn)實的特定操作過程中對自己的活動過程的性質作反省、抽象而產(chǎn)生的，學習數(shù)學是一個“做數(shù)學”的過程。學生用自己的活動建立對人類已有的數(shù)學知識的理解?，F(xiàn)實的、有趣的和探索性的數(shù)學課題的學習活動要成為數(shù)學學習內(nèi)容的有機組成部分。
第三， 小學生學習數(shù)學是一個思考過程。數(shù)學學習的本質是學生獲取數(shù)學知識，形成數(shù)學技能和能力的一種思維活動。思考是學生學習數(shù)學認知過程的本質特點，是數(shù)學知識的本質特征。學生從數(shù)學現(xiàn)實出發(fā)，在教師幫助下，自己動手、動腦做數(shù)學，用觀察、模仿、實驗、猜想等手段懼材料，獲得體驗，并作類比、分析、歸納，逐漸達到數(shù)學化、嚴格化和形式化。
第四， 數(shù)學學習是一個再創(chuàng)造的過程。數(shù)學學習本質是學生的再創(chuàng)造。要讓學生經(jīng)歷一個再創(chuàng)造的過程。
三、小學生的數(shù)學思維小學生數(shù)學思維具有以下幾個特點：
第一，小學生數(shù)學思維是對自己的數(shù)學活動的反思。
第二，小學生的思維由具體形象思維為主向氣象邏輯思維為主發(fā)展，小學生的數(shù)學思維同時具有形象思維和抽象思維的形式。
第三，創(chuàng)造性思維是數(shù)學思維中的重要成分。
小學生的思維品質主要表現(xiàn)在敏捷性、靈活性、深刻性、獨創(chuàng)性和批判性等方面。
四、小學數(shù)學學習的分類
1．概念性知識的學習
概念性知識也稱為敘述性知識。我們把概念（定義）、公式、處理事情的法則、科學原理、定律、規(guī)則等都稱為概念性知識。
學生獲得概念，一般有概念同化和概念形成兩種方法。當學生學習新概念時，利用認知結構的已有概念與新概念建立起聯(lián)系，從而掌握新概念的本質屬性，這種獲得概念的方法稱為概念的同化。學生依靠直接經(jīng)驗，從大量的具體例子出發(fā)，概括出新概念的本質屬性，這種方法稱為概念的形成。
小學生學習數(shù)學經(jīng)歷了由日常概念與科學概念交互作用的過程。
2．運算技能的形成
運算技能的形成分為三個階段，第一階段是認知階段，第二階段是聯(lián)結。第三階段是自動化的階段。運算技能屬于程序性的知識。程序性知識是關于如何做的知識，它和概念性知識有如下不同：程序性知識是動態(tài)的，學習過程較為緩慢，學得以后可能比較難以修正。應該注意的是，對于解決問題的過程，讓學生達到程序化甚至自動化是有害的。
3．問題解決的學習
小學生解決問題有兩種主要方式，即嘗試錯誤式和頓悟式。前者是通過進行無定向的嘗試，糾正暫性嘗試錯誤、直到解決問題。后者好像是突然出現(xiàn)的，但實際上有一定的心向，而這種聯(lián)系正是問題賴以解決的基礎，并伴隨著對作為解決問題依據(jù)的規(guī)則、原理的評價或識別。這兩者在解決問題中是相互結合的。
4．學習如何學習
學習如何學習的目標，是使學生在學習的過程中掌握一些重要的學習策略，使學生學會學習。在小學數(shù)學學科中，要培養(yǎng)學生以下幾個方面的學習策略：第一類是認知策略。包括有關注意力的策略，對數(shù)和開記憶的策略，數(shù)學理解和思考的策略等。第二類是元認知策略。元認知策略包括自我調(diào)整的策略，問題解決中的反思策略以及閱讀后的反思策略等。第三類是動機策略。包括個人學習動機、成就歸因和自信心等。第四類是例行性思考的策略。包括個人的推理及問題解決能力的訓練等。
五、數(shù)學學習的層次
學習可分為 三個層次：第一、量化的層次，學習是一個學了多少的問題，與此相對應，教學主要是知識的傳遞。第二，工具的層次，學習是在一個教和評估的學習機制中呈現(xiàn)效果的，教學是一套有效技能的和諧組合。第三，質的層次。學習涉及意義、理解和解釋世界的方式，教學是學生和教師積極投入的互動過程。這種理論可歸結為三點：第一，學習是一種建構，第二，學到的知識取決于看待問題的方式，第三，學習是自我決定的。
第三章小學數(shù)學學習的基本問題
小學數(shù)學的學習目的，大致可分成兩個方面，一是促進學生自己的認知和情感品質的一般發(fā)展，二是形成學生基本的數(shù)學素養(yǎng)。
一為發(fā)展而學
小學生在數(shù)學學習中的發(fā)展包括了情感、認知、思維和能力等方面。這四個方面發(fā)展的核心是人格的發(fā)展。
第一，是情感的發(fā)展。數(shù)學教學中的情感發(fā)展主要包括：⑴學生對數(shù)學、數(shù)學學習活動的興趣。主要包括對數(shù)學的好奇心與求知欲；在數(shù)學學習活動中的主動參與以及對數(shù)學學習的喜愛等。⑵自信心的意志力主要包括學生在數(shù)學學習中獲取成功的體驗，逐步樹立學好數(shù)學的信心以及鍛煉克服困難的意志。⑶學習數(shù)學的態(tài)度與習慣。主要包括探索創(chuàng)新]、合作交流與嚴謹求實態(tài)度及習慣。
第二，認識的發(fā)展。主工包括學生對自己認識和對數(shù)學認識的發(fā)展，使學生具有正確的自我概念和數(shù)學觀。
第三，思維的發(fā)展。
第四，能力的發(fā)展。
二、為形成學生的數(shù)學素養(yǎng)而學
1．數(shù)學素養(yǎng)的基本特征
數(shù)學素養(yǎng)的基本特征是它具有時代的內(nèi)涵。
數(shù)學素養(yǎng)的第二個特征是它的廣泛性。
數(shù)學素養(yǎng)的具有與日常生活密切聯(lián)系的基本特征。
2．數(shù)學素養(yǎng)內(nèi)涵之一：邏輯法則的掌握。
3．數(shù)學素養(yǎng)內(nèi)涵之二：學會常規(guī)方法的使用。
4．數(shù)學素養(yǎng)的內(nèi)涵之三：運用數(shù)學知識的能力。
三、對小學數(shù)學學科的再認識
1．成人數(shù)學與學生自己的數(shù)學
2．學校數(shù)學與街頭數(shù)學。
3．學校數(shù)學與數(shù)學科學。
第四章小學生如何參與課堂教學
一、學生參與的含義
1．教學過程中的學生活動
2．學生參與的三個基本方面
3．如何考察課堂中學生的學習過程
二、行為表現(xiàn)、情感體驗和認知策略的關系
1．情感投入和認知向往的關系緊密
2．行為投入與心理投入關系是可以分離的
三、學生參與對學習結果的影響
1．開放性問題是評估學生高層次思維能力的手段
2．學生參與對學習結果的影響
3．課外學習時間沒有顯著影響學習的結果
學生在課外所花的學習時間沒有顯著影響。首先，每天作業(yè)時間對學習成績沒有顯著影響。學生每天的作業(yè)時間的增加沒有促進學生學習成績的提高，對開放性的問題成績甚至有負面影響。產(chǎn)生這種情形，可能有以下幾方面的原因：其一，學生本身的原因。學習能力較差的學生，可能在完成作業(yè)時花了比較多的時間，而這部分學生的成績本身比較差。第二，由于學生不專心，使得做作業(yè)的時間長，部分原因是學生不理解知識內(nèi)涵，在學習上存在一些困難。但學生本身的因素并不是全部影響這一結論的原因。當我們考察低分組和高分組的情況時，仍然沒有發(fā)現(xiàn)兩個組在作業(yè)時間上的顯著差別。
其二，學習過程的原因。有不少學生每天花很多時間操練數(shù)學，但效果卻不盡人意，進一步說明了決定學習的質，現(xiàn)時不僅僅是學習時間長短。事實上，一些片面投入（只有行為投入而沒有積極情感投入和合理的認知投入）的學生花了大量時間學習數(shù)學，每天做功課到很晚，收效卻不理想。如果能全面的投入（不僅有行為投入、而且有積極情感投入和合理的認知投入），才能真正提高學習的效果。練習過多，練習時間過長，有時也會引起學生的厭倦，并不有利于創(chuàng)新能力的提高，這也說明為什么每天作業(yè)時間增多有時反而會對開放題成績有負面影響的作用。
其三，作業(yè)本身的原因。第一，許多習題往往沒有針對性，學生的練習帶有一定的盲目性。第二，一些習題質量不高，題型音調(diào)思考程度較低。第三，習題的數(shù)量很多，重復較多，容易引起學生對數(shù)學學習的厭倦，這樣可能降低學生學習的效果。
長期以來，有些數(shù)學教師和學生都認為，只要時間花得多，學生成績一定會提高。教師只要多布置家庭作業(yè)，學生成績就能提高。本研究的結果表明，事實并不如此。學習過程的質比學習的量更重要。我們這里的研究結果，也許在一定程度上反映出目前數(shù)學教育中存在著一定的無效教學的情況，。這種教學的一個特征就是，學生花的時間多，題海戰(zhàn)術盛行，但沒有切實提高學生高層次思維能力和創(chuàng)新精神。
第五章小學生如何理解數(shù)概念
一、數(shù)學概念概述
1．概念形成是小學生獲得數(shù)學概念的主要形式
概念的獲得有兩種基本的形式：形成和同化。概念形成是從大量具體例子中抽象出某一類對象或事物的共同本質特征的過程。概念同化是指利用認知結構中已有知識來理解新的概念。
概念形成過程可概括如下：第一，辨別各種具體事例。第二，抽象出各個事例的共同屬性并提出它們的共同關鍵屬性。第三，概括并形成概念。第四，把新概念的共同關鍵屬性推廣到同類事物中去。概念教學一般分為這樣幾個步驟：引入、理解、鞏固、深化。
2．學生掌握數(shù)學概念的認知水平
在一般的教學條件下，小學生掌握數(shù)概念是從具體形象概括為主要形式過渡到以抽象邏輯概括為主工形式。第一階段是直觀形象水平。第二個階段是形象抽象水平。在他們對概念的理解中，形象的、本質特征的成分逐漸增加。第三個階段是初步的本質抽象。他們對概念進行一些抽象概括，但還不能脫離他們生活領域的基礎。
學生在理解概念時，有時會出現(xiàn)一些對概念的誤解。教師應該把這種誤解看作是一種正常的現(xiàn)象，因為每一個新概念的建構都必須經(jīng)過自我調(diào)整階段，所以幫助學生如何主動發(fā)現(xiàn)問題，并主動重新建構新概念才是最重要的。
二、幼小兒童是如何計數(shù)的
兒童在計數(shù)過程中必須遵循五條基本原則：（1）一一對應原則。（2）固定順序原則。（3）基數(shù)原則。（4）順序無關原則。（5）抽象原則。
兒童計數(shù)能力的發(fā)展，一般分為兩個階段：
1．按物點數(shù)。
2．按群計數(shù)。
小學生理解計數(shù)系統(tǒng)
1．認識十進制
數(shù)的十進制的基礎結構的確具有不少優(yōu)點。第一個優(yōu)點是有助于比較方便地生成新的數(shù)。第二個優(yōu)點是這種基數(shù)結構有助于寫數(shù)的讀數(shù)。第三個優(yōu)點是以十進制為基礎的計算高效、省時。
2．掌握計數(shù)法的特征：數(shù)的組成。
3．寫數(shù)的作用。
4．加法活動對掌握計數(shù)法的作用。
5．語言提示對理解數(shù)的組成的作用
四、小學生如何發(fā)展他們的“數(shù)感”
美國國家數(shù)學教師委員會對數(shù)感作了如下的解釋：（1）充分了解數(shù)意義；（2）了解數(shù)與數(shù)間的多種關系；（3）可以辨識數(shù)的相對大?。唬?）知道數(shù)運算的實際效果；（5）能把數(shù)學知識與他們周圍環(huán)境中常見的物體和情境相聯(lián)系。
1．在現(xiàn)實情境中把握數(shù)的意義
數(shù)感的第一方面的含義是在現(xiàn)實情境中把握數(shù)的意義。其中包括了兩個方面的含義：第一，是對數(shù)意義的把握；第二，數(shù)的意義的現(xiàn)實應用。這兩方面實際表示學習者對數(shù)本身性質的敏感性。
2．數(shù)感發(fā)展的第二方面含義是在現(xiàn)實情境中把握運算的意義，即量的觀念的發(fā)展。發(fā)展運算概念對小學生而言也是相當重要的。數(shù)運算概念實際上表達了數(shù)與數(shù)之間的現(xiàn)實關系，它可讓小學生以“量”或者“量化”的思想觀察現(xiàn)實世界。
第六章小學生如何學習加減法
一、情境是學生理解加減法的基礎
學生的生活經(jīng)驗是他們學習數(shù)學的基礎。實際生活情境對于學生理解加減法具有十分重要的作用。低年級學生的思維水平以具體的形象為主，他們更多地關注發(fā)生在自己身邊的有趣而新奇的事物。學生在有趣的學習活動中，在運用數(shù)的知識解決簡單問題的過程中，可以體會加減法的意義，探索數(shù)量關系，掌握加減法的基本運算。
1．根據(jù)情境提出問題
學生根據(jù)情境提出問題是運算概念發(fā)展的重要途徑之一。問題提出和問題解決一樣，是學習的重要形式。學生學習加減法是學習數(shù)學運算的第一個階段，教師應該讓學生提出自己的問題，發(fā)展學生觀察和思考的能力，強化運算概念的現(xiàn)實背景。
2．情境在解決加減法問題中的作用
（1）實際情境有助于問題的解決。對于低年級學生來說，實物或者是表征實物的符號對于兒童解決問題有幫助。小學生逐漸把加減法和現(xiàn)實背景聯(lián)系起來，獲得加減法的現(xiàn)實意義。用這樣的方法來學習數(shù)學，小學生會對運算的方法感到有趣，也可以體會到數(shù)學的美和有用性。
（2）英國教育學者休格斯證明當數(shù)在沒有與有意義的情境相聯(lián)系時，兒童在理解簡單的加減法數(shù)目時會有困難。情境可以賦予數(shù)以意義，從而使抽象的數(shù)成為具體的物體。這說明在小學低年級數(shù)學教學中，教師適當創(chuàng)設學生熟悉的情境是必要的。
（3）隨著學生思維的抽象水平的提高，他們可以在頭腦中思考有關的情境，也可以用一些符號表示某些具體物體。
另外，教師在教學時要注意問題形式呈現(xiàn)的方式，適當安排一些多條件、多問題等的和開放式的問題，設計一些現(xiàn)實性強的和生動有趣的問題，改善學生的學習方式。
3．情境和加減法問題的類型
在良好的教學情境下，學生解決問題時不是把問題和類型相聯(lián)系，而是思考情境中的問題與加減法意義的聯(lián)系，在這一過程中獲得對加減法概念的進一步理解。
如果學生死扣解題的類型，學生就不會著重思考其中的數(shù)學意義。這樣，學生的思考空間縮小了。學生雖然發(fā)展了解題技能，但沒有發(fā)展學生的數(shù)學理解和思考能力。
解決問題的方案
運算意義
情境
問題類型
解決問題的方案
情境
二、學生如何形成運算技能
1．從情境出發(fā)學習運算
要進一步加強在計算教學中的操作活動的要求，發(fā)展學生的數(shù)感。
2．算法的多樣化
美國數(shù)學教育家培恩分析了一年級小學生的五種加法策略。第一種，數(shù)數(shù)。第二種，從大數(shù)算起。第三種，雙倍數(shù)。第四種，近似雙倍法。第五種，利用10的概念。（我覺得在計算20以內(nèi)進位加法時，還有湊10法等也應該算）。
20以內(nèi)退位減法的幾種方法。第一種，數(shù)數(shù)法。第二種，破十法。第三種，逆算法（想加做減法）。第四種退十加補法。實際上學生的方法還會更多。
在學生學習中除了要形成一種較為高效的運算方法外，也應該適當關注算法多樣化的問題。算法的多樣化對于發(fā)展學生的獨立思考和創(chuàng)造思考的能力是有幫助的。另一方面，在算法多樣化的基礎上，還要進一步比較、歸納，對計算方法進行優(yōu)化，形成較為高效的方法，并對一些基本的運算通過種方式達到熟練。
3．算法的熟練化
（1）從建構事實到提取事實
對于算法的熟練化而言，適量的基本口算練習是必要的。20以內(nèi)的進位加法和退位減法要達到熟練程度，計算中的一些常用的數(shù)據(jù)要在理解的基礎上熟練記憶，這樣會大大豐富學生的數(shù)字性事實，使學生較好地使用提取事實的方法解決問題。
但如果一開始學習加減法計算時，就讓小學生記憶一些基本加減法口訣是不妥的。因為這時學生在頭腦中，還沒有理解這些數(shù)的事實。在沒有理解的基礎上記憶或者練習加減法不利于發(fā)展學生的思維，也不利于數(shù)學技能的真正掌握。
（2）學生掌握筆算方法的過程
學生在形成筆算歷程中有三個階段：認知階段、聯(lián)結階段及自律階段建立聯(lián)結是小學生筆算技能形成的中心環(huán)節(jié)。
三、學生數(shù)學思維策略發(fā)展
1．相等的策略
2．比較的策略
3．轉換的策略
轉換是一種重要的數(shù)學策略。運用這一策略涉及了兩種基本的思考方法。一是多種角度思考的方法，學生在解決問題時，可以從不同的角度思考，從中選擇最佳的思路和方法。二是逆向思考的方法，當正向思考出現(xiàn)阻礙時，學生可以用逆向思考的方法。逆向思維一般比較困難，在課堂教學中，一些逆向思維的問題可以以思考題形式出現(xiàn)。
第七章學生如何學習乘除法
一、乘除法和新的數(shù)學情境
1．一對多的情境
2．兩個變量的情境
3．平分的情境
二、小學生對乘除法問題的理解：乘法推理
1．兒童何時產(chǎn)生乘法推理
2．小學生如何解決乘法扒理問題
三、與乘除法有關的數(shù)學思想的發(fā)展
1．體驗函數(shù)的思想
2．體驗比例關系
3．理解“不變量”
四、學生運算和解決問題策略的發(fā)展
1．估算策略
2．口算策略
第八章空間觀念的發(fā)展
一、經(jīng)驗幾何的概念
小學幾何包括簡單的幾何形體的認識、變換（平移、旋轉、對稱）、位置與方向的認識、周長、面積的計算及坐標的初步體驗。這些內(nèi)容是在小學生的經(jīng)驗和活動基礎之上的。對于小學生的學習方法而言，他們對幾何圖形的認識是通過操作、實驗而獲得的，幾何推理也以操作為基礎。學生的幾何思維也具有具體性和抽象性相結合的特點。
小學幾何教學的目的是什么？是形成知識還是發(fā)展能力？我們認為，發(fā)展學生的空間觀念是小學幾何學習的核心。
二、學生幾何思維的發(fā)展
小學生思維具有一定的具體性和形象性。通過觀察、操作、歸納、類比等過程，獲得具體的描述性結論，初步形成學生的推理能力和數(shù)學理解能力。
Van Hiele夫婦把幾何學習的思維水平劃分為五個等級。第一個是直觀等級，學生能從外形上整體地認識圖形，但不能清楚地確定圖形的性質。第二個等級是分析，學生能對圖形的性質進行分析。第三個等級是抽象，學生能將一些圖形或性質聯(lián)系起來，但還不會組織起一系列的例題來證明觀察到的東西。這一階段，學生能進行一些非正式的推理。第四個等級是演繹，學生能展開一系列例題，并進行推理。但他們還不能認識到嚴密性的要求，也不能理解演繹體系內(nèi)部關系。第五個等級是嚴密，學生能以較高程度的嚴密性進行各種演繹推理。對小學生來說，主要達到前三個水平。
皮亞杰的觀點歸納起來可以以下幾個方面：第一，學生學習幾何，先有具體概念，再有定義概念。第二，學生動手畫圖可以反映學生對幾何概念的理解。第三，學生必須有積木游戲或者立體模型的經(jīng)驗才能認識立體圖形，若從一個角度觀察教師出示的模型是有限制的。第四，要讓學生理解圖形不變的原則，即認識圖形不管怎么移動，其形狀和大小都不變化。學生學習幾何，應該著重開展各種活動。
三、學生發(fā)展空間觀念的基本途徑
學生發(fā)展空間觀念的途徑包括：生活經(jīng)驗的回憶、實物觀察活動、操作活動、想象與表達活動等。
1．生活經(jīng)驗的再現(xiàn)
2．觀察活動
3．操作活動
4．想象活動
5．交流活動
6．幾何推理
7．創(chuàng)作活動
四、空間觀念發(fā)展的幾個心理特點
1．直觀性
2．描述性
3．漸進性
4．偏重于明顯要素
5．偏重于單個要素
6．從標準圖形到變式圖形
7．偏重對稱圖形
8．從二維空間到三維空間
五、影響空間能力發(fā)展的知覺障礙
1．辨位困難
2．視覺知覺
六、改善小學幾何教學的思考
1．應進一步學習圖形變換、確定方向和位置的知識，更全面地感知和體驗周圍的事物，認識和理解圖形，逐步形成空間感。
2．要在對圖形觀察與操作、探究物體間的位置關系、想象與設計圖形等活動中，逐步形成空間感；獲得與圖形和空間有關的基礎知識和基本技能；經(jīng)歷觀察、操作、歸納、類比、猜測等過程，發(fā)展合情推理能力；運用圖形與空間的知識解決現(xiàn)實生活中的問題，并進行交流；體會幾何發(fā)現(xiàn)的樂趣，初步感受圖形與空間的美和推理的價值。
3．在學習方式上，我們提倡自主探索，逐步認識簡單圖形的形狀、大小 和相互位置關系，初步認識一些圖形的特征及性質，學會運用測量、計算、實際操作、圖形變換、代數(shù)化以及簡單推理等手段，解釋和處理一些簡單的幾何問題，并在此過程中，發(fā)展學生的空間觀念、幾何直覺、圖形設計以及推理能力。要在幾何中大量增加有關空間圖形和實驗幾何的內(nèi)容。
4．要加強幾何與生活的聯(lián)系。要重視量與量的單位的實際意義，在測量過程中學會根據(jù)現(xiàn)實問題選擇適合的測量工具，重視估測以及在現(xiàn)實生活中的應用。將視野拓寬到生活的空間，重視現(xiàn)實世界中有關的空間與圖形的問題。通過自主探索，逐步認識簡單圖形的形狀、大小 和相互位置關系，初步認識一些特殊圖形的特征及性質，學會運用測量、計算、實際操作、圖形變換、代數(shù)化以及簡單推理等手段，解釋和處理一些簡單的幾何問題。并在此過程中，通過從不同的角度面容物體、認識方向、制作模型等活動，發(fā)展學生的空間觀念、幾何直覺和圖形設計與推理能力。
第九章問題解決的學習
一、問題解決的含義
1．什么是問題
在數(shù)學增長率領域，對問題解決的理解，主要存在兩種觀點。第一種觀點是，問題作為一種日常的練習，問題解決等同于算法的操練。第二種觀點是，問題指非常規(guī)的問題，學生必須探索、推理并有效地利用數(shù)學方法解決這些問題。問題解決的核心是要引起學生的數(shù)學思維。第一種觀點把問題解決看作是鞏固知識和獲得新的技能的一種手段，通過問題來引入、復習、鞏固數(shù)學知識。第二種觀點把問題解決看作在新的情境下的數(shù)學思維，通過解決一系列非常規(guī)的問題，使學生的數(shù)學能力得到增強，而不僅僅是獲得新的技能。
問題解決和解題練習有什么區(qū)別呢？第一，練習著重尋找答案；而問題解決著重尋找解決問題的過程。第二，練習往往針對某個知識或技能，著重對某項數(shù)學技能進行練習；問題解決著重“如何”將刑事處分知識和技巧運用到新情況中，具有綜合性的特點。第三，練習著重快速獲得正確答案；而問題解決著重如何尋求創(chuàng)造性的用法，問題解決是一種探索和研究的活動。第四，練習可以對某一類習題反復演練；問題解決中的“問題”具有新穎性?？傊瑥倪@些觀點看小學數(shù)學教學，問題解決是一個學生進行數(shù)學思考的歷程。
問題解決的實質是數(shù)學思考。問題解決是指一種受目標指引的認知性操作序列。其中包括三方面的因素：目標的指引性、、操作序列及認知性的操作。
2．問題解決的模式
第一種模式是信息加工的模式。
第二種模式是元認知模式。
第三種模式是社會應用模式。
第四種模式是人文數(shù)學的模式。
3．問題的現(xiàn)實性、思考空間和趣味性
（1）問題的呈現(xiàn)應該能激起學生的思考。應用問題的敘述方式，解決問題步驟的多少，是否具有中間問題和隱蔽條件等，都對思考空間有影響。另一方面，學生對問題熟悉程度，也對思考空間有影響。（2）問題要有一定的現(xiàn)實性。第一，是內(nèi)容的現(xiàn)實性。問題的內(nèi)容應該是學生熟悉的內(nèi)容，而且是現(xiàn)實生活中可能發(fā)生的。（3）要使問題具有現(xiàn)實性，設計問題時的加工度要適當。要使問題具有現(xiàn)實性，對問題的加工不應太精細。（4）問題要有一定的趣味性。首先，語言要簡單明了；其次，內(nèi)容結合學生的生活實際，情節(jié)比較有趣。
二、問題解決的過程
1．問題解決中思考的過程
美國心理學家奧蘇伯爾等認為，解決問題一般要經(jīng)歷下述四個階段：第一階段，呈現(xiàn)問題情境的命題。第二階段，明確問題終目標與已知條件。第三階段，填補空隙過程。學生看清了已知條件和目標之間的空隙或差距，并建立聯(lián)系。這一過程是解決問題過程的核心。第四階段，解答之后的檢驗。
心理學家澳勒斯根據(jù)發(fā)明家解決問題的經(jīng)驗，探索創(chuàng)造性問題解決的過程，將此過程劃分為四個階段，即準備、孕育、明朗和檢證。
杜威提出了五步模式。第一步產(chǎn)生懷疑，即產(chǎn)生認知上的困惑感；第二步嘗試從情境中識別出問題；第三步使問題情境中的命題與已有的認知結構聯(lián)系起來，激活有關的頭腦中已有知識與方法，又進一步對這些知識和方法重新進行組織或轉換，提出解決問題的假設；第四步對假設作檢驗；第五步將成功的答案組合到認知結構中。解決問題中策略性知識等具遷移的作用，它可以應用于許多新的例子。在不少的實際情況下，這五步順序是交錯使用的。
小學生解決數(shù)學問題的思考過程大致也是經(jīng)歷了以下幾個五一節(jié)：第一，要有一個問題的情境以激發(fā)小學生的疑問；第二，讓小學在已有知識的基礎上提出解決問題的過程。這一過程是學生的思考不斷發(fā)展的過程。
2．問題解決的活動步驟
解決問題中五個步驟看來是有普遍意義的。第一步是認清問題。小學生必須認識問題之存在，注意問題的性質與特點。第二步是分析問題。第三步是提出設想。第四步是選定最佳方案并解決問題。第五步是進行反思。
發(fā)現(xiàn)問題是解決問題的基礎。在進行解答問題教學活動前，要讓學生自己發(fā)現(xiàn)和選擇問題。無論是從課堂的教學活動中，從學校的學習環(huán)境中，或從學校所在的社區(qū)內(nèi)，都存在著值得研究的數(shù)學問題。教師要注意引導學生去發(fā)現(xiàn)和提出各種數(shù)學問題。
三、小學生問題解決策略性知識的發(fā)展
1．幾種重要的策略
一般說來，小學生解決問題的策略大致有以下幾個方面。
第一， 猜測。猜測是一項重要的思考策略。
第二， 作圖。作圖不僅包括線段嵊，而且包括實物簡圖等。
第三， 舉例。這項解題策略的裨就是把問題情境圖解化。
第四， 情境。學生在解決問題的過程中，用人或物模擬問題的情境，使學生比較清楚問題的具體情境，使語言敘述的問題變得生動具體，便于理解。
第五， 簡化。簡化可以是去掉一些無關的因素，也可以把大問題變化成幾個小問題，使因果關系比較清晰。省略也是一種基本做法，即除去不適用的資料，減少解題活動時的困擾。
第六， 驗證明。驗證是確定結果的過程。驗證可以多種方法進行，驗證也涉及到多種思考的方法，驗證也涉及到對解決問題過程的回顧。更進一步，學生可以通過演繹或者圖解說明某一假設或者一個結果。
第七， 延伸。
也有一些研究者把解決問題的策略分為審題、解決問題和回答問題三個部分。審題的策略如：再讀一次題目，寫下已知的信息；找尋關鍵詞句；找出重要信息；用自己的話復述等。分析問題的策略，打出數(shù)量關系，畫圖。猜測并檢驗，列出清單或表格，使用物體模仿題目情境，使用推理策略，簡化問題，倒回來解題等。解答問題包括反思，學生可以問自己有沒有使用所有重要的信息？工作過程有無錯誤？得出答案是還有意義？等等。
2．理解數(shù)量關系
發(fā)展學生學習問題解決策略的要點：第一，教師應鼓勵學生不要對問題心存恐懼。第二，教師應鼓勵學生發(fā)問。第三，教師應設法維持學生學習的欲望，有時候可以讓學生自行挑選題目作答。第四，教師應鼓勵學生嘗試新問題，發(fā)現(xiàn)新的解法。第五，教師必須發(fā)展學生正確的學習態(tài)度。第六，教師必須發(fā)掘學生潛在解答問題的技能。第七，教師應該多發(fā)現(xiàn)有趣的問題，應創(chuàng)造富有啟發(fā)性的教學環(huán)境。第八，教師根據(jù)學生的學習意愿，制訂學習解答問題的計劃，教師并不要求學生解答所有的問題，有時可以以問題作為新單元的引導。同時，小學數(shù)學教師本身也要加強對解決問題策略的學習。
問題解決是近二十年來數(shù)學教育的重點，它也是目前我國小學數(shù)學教學改革的一個重要問題。我們認為，問題解決學習應該處于小學數(shù)學學習的中心地位。小學數(shù)學教師應該把學生引導到問題解決活動中去。生活活潑的、思考性的現(xiàn)實的問題解決活動應該成為小學數(shù)學學習中的一個重要內(nèi)容。小學數(shù)學教師應當努力創(chuàng)造一種鼓勵學生探索、解決問題，進行數(shù)學思維的課堂環(huán)境。
第十章改善小學生數(shù)學學習方式
一、“做數(shù)學”的理念
二、學習形式多樣化的幾種探索
1．“生活中的數(shù)學”
2．“Hands on”的活動
3．在計算機環(huán)境中學習數(shù)學
4．“小課題”與“長作業(yè)”
第十一章對小學數(shù)學教學的思考
對教學觀念的思考
1．關注學生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的發(fā)展
2．激勵和尊重學生多樣性的獨立思維方式
3．提倡多樣化的數(shù)學學習方式
4．加強數(shù)學學習和現(xiàn)實的聯(lián)系
5．讓學生成為學習的主人
6．讓學生會學和樂學
7．開展綜合實踐活動
8．努力使用計算機科技
9．教學目標的個性化與差別化
10．關注數(shù)學與其他學科的綜合
二、對教學策略改革的思考
1．討論策略
討論是一種重要的教學策略，它的方式有很多種：第一種是小組主題討論。每人擔當一項工作，圍繞一個主題進行討論，這種方法比較適合課題學習。第二種方法是角色扮演。這種方法比較適合通過模擬情境解決應用問題。第三種方法稱為頭腦風暴的討論。請各級成員盡量把想到的點子寫下來，越多越好。
2．探究的教學策略
在小學數(shù)學教學過程中，主要應用歸納探究的教學策略。歸納探究是學生的一種思考的歷程，學生對呈現(xiàn)的各種實例進行觀察、推論，并進行概括。分為引導式和非引導式兩種情況。
3．思考教學的策略
