探根尋源 直面差異
——對(duì)“三角形分類”教材的分析與思考
“三角形的分類”是小學(xué)幾何知識(shí)學(xué)習(xí)，尤其是三角形知識(shí)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要內(nèi)容。切實(shí)掌握三角形的分類，有利于學(xué)生更全面地理解三角形的特征，并為后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。為此，不管是課改以前還是課改以后各種版本的教材，在“三角形的分類”這個(gè)內(nèi)容的編排上，都非常重視，也編制出了各具特色的教學(xué)內(nèi)容。
結(jié)合教材的演變，將幾套教材進(jìn)行對(duì)比分析，我們發(fā)現(xiàn)有這樣兩個(gè)特點(diǎn)：
1.要學(xué)生掌握三角形按角分類，一直都是重要的教學(xué)要求，任何一套教材都大力凸顯這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。為了讓學(xué)生扎實(shí)學(xué)好這個(gè)知識(shí)，有一些教材甚至將此單獨(dú)編排一個(gè)課時(shí)，讓學(xué)生專門研究三角形按角分類的知識(shí)。同時(shí)，教材都無(wú)一例外地都采用集合圖，以形象地揭示三角形按角分得到的三種三角形之間的關(guān)系。
2.三角形按邊分類，一直都不強(qiáng)調(diào)要學(xué)生掌握分成幾類，最多要學(xué)生知道三角形、等腰三角形、等邊三角形之間的關(guān)系。現(xiàn)在已呈現(xiàn)出進(jìn)一步降低要求的趨勢(shì)，如人教版實(shí)驗(yàn)教材對(duì)此已不提及，蘇教版實(shí)驗(yàn)教材甚至已不設(shè)置三角形按邊分類的內(nèi)容，而將等腰三角形、等邊三角形的認(rèn)識(shí)獨(dú)立設(shè)置為一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。同時(shí)，很多教材也都已經(jīng)不呈現(xiàn)集合圖來(lái)揭示三角形、等腰三角形和等邊三角形之間的關(guān)系。
同樣是三角形的分類，但按角分、按邊分在內(nèi)容設(shè)置和教學(xué)要求上，卻存在這樣的差異，它有什么內(nèi)在的原因嗎？教科書上有一句話，“按邊分類要難一些”，我們又該怎樣去理解這句話呢？筆者根據(jù)自己的實(shí)踐和思考，想從以下兩個(gè)方面來(lái)談?wù)勥@個(gè)問(wèn)題。
1.按角分、按邊分，概念構(gòu)造的過(guò)程是不同的
三角形按角分類構(gòu)造概念的過(guò)程，是一個(gè)概念構(gòu)造中“強(qiáng)抽象”的典型例子。什么是“強(qiáng)抽象”呢？它是指在原型中引入新的本質(zhì)特征來(lái)強(qiáng)化原來(lái)結(jié)構(gòu)的一種思維過(guò)程，通過(guò)這種過(guò)程可得到一個(gè)新的概念，并使得這個(gè)概念成為原來(lái)概念的一個(gè)特例。如在“角”概念上加上“90度”的特征，就構(gòu)造出了“直角”這一概念，而“直角”是“角”的一個(gè)特例。這種造概念的方式，思維形式是順向的，且過(guò)程簡(jiǎn)單明了，比較適合小學(xué)生的思維特點(diǎn)，學(xué)生很容易理解接受。
因此，我們讓學(xué)生對(duì)若干個(gè)三角形按角進(jìn)行分類，學(xué)生就必定會(huì)自然地引入新的特征來(lái)強(qiáng)化原型，如根據(jù)三角形是否有直角，就會(huì)將三角形分成兩類，并自主建構(gòu)出直角三角形和非直角三角形（斜三角形）兩個(gè)概念。若要學(xué)生將斜三角形繼續(xù)分類，學(xué)生又會(huì)自然地再次在斜三角形中注入新的特征，就會(huì)繼續(xù)順利地抽象概念，只至得出按角分可得到的三種三角形。在這樣的概念構(gòu)造過(guò)程中，學(xué)生思維清晰，理解順暢，概念體系形成牢固。
反觀三角形按邊分時(shí)的概念構(gòu)造過(guò)程，卻有所不同。學(xué)生在將三角形按邊分類時(shí)，也是“強(qiáng)抽象”，一般都是先這樣分成三類：三條邊都不相等、只有兩條邊相等、三條邊都相等。我們都知道，這實(shí)際也是一種很好的分法，假如我們能修改等腰三角形的概念，即把“只有兩條邊相等”的三角形命名為等腰三角形，那么，這樣的分類及概念構(gòu)造過(guò)程，學(xué)生理解起來(lái)也是非常簡(jiǎn)單的。然而，現(xiàn)實(shí)的情況是我們不能修改定義，因此，我們只能引導(dǎo)學(xué)生將分出來(lái)的三種情況中的后兩者歸并在一起，得出共同之處“有兩條邊相等”，再把它命名為等腰三角形。即等腰三角形這個(gè)概念的構(gòu)造，是先有兩個(gè)下位概念，再通過(guò)尋找到它們的共同特征——有兩條邊相等，來(lái)歸并得到其上位概念的。
這種與三角形按角分得出概念過(guò)程正好相反的思維方式，實(shí)際上就隱藏了“概括”的思想方法。所謂“概括”，就是指把同類事物的共同屬性聯(lián)結(jié)起來(lái)，并以此來(lái)加深對(duì)它們所屬的上位概念特性的認(rèn)識(shí)。這種思維方式需要一定的對(duì)比、提煉能力，對(duì)于學(xué)生而言，當(dāng)然會(huì)感到一些困難。
而最為關(guān)鍵的是，同樣是分類，按角分得出概念的過(guò)程是單純的抽象，而按邊分形成概念體系，則是先抽象后概括，兩者并存，思維過(guò)程多了，要求增加了，學(xué)習(xí)難度自然也加大了。
可見(jiàn)，三角形按角分、按邊分，因?yàn)閮煞N分法中構(gòu)造概念的過(guò)程有難易之分，思維要求有高低之別。所以，教材編排時(shí)出現(xiàn)重按角分、輕按邊分的現(xiàn)象，那是符合知識(shí)內(nèi)涵特征的處理方法。
2.按角分、按邊分，概念系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是不同的
對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行分類，主要是為了讓人理清各種概念之間的關(guān)系并形成概念系統(tǒng)，這是構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要方法。分類有一些原則：不重復(fù)、無(wú)遺漏、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、逐層劃分。以這個(gè)原則去實(shí)施分類，每次構(gòu)造出來(lái)的概念系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，都應(yīng)該是將一個(gè)屬概念分成幾個(gè)互不相容的種概念，也就是概念之間是并列式的關(guān)系。這樣的結(jié)構(gòu)，邏輯簡(jiǎn)單，理解容易。而三角形按角分，恰巧就是這樣的典型素材。
從圖1和圖2可見(jiàn)，三角形按角分，不管是分成兩種還是分成三種，都完全符合概念分類的原則，都完整地展現(xiàn)了分類的結(jié)果。這樣的集合圖，更是標(biāo)準(zhǔn)分類方法的直觀體現(xiàn)，能夠有效地支撐學(xué)生進(jìn)一步明確概念間的邏輯關(guān)系。因此，學(xué)生學(xué)習(xí)三角形按角分類，理解分類后概念系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，是件比較容易的事情。
三角形按邊分，概念系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)卻比較復(fù)雜。因?yàn)樗恼麄€(gè)概念系統(tǒng)舍棄了一些不常用的概念，而只去關(guān)注其中的特例，這就造成了整個(gè)概念系統(tǒng)的不完整。如三角形按邊應(yīng)該可以分成等腰三角形和不等邊三角形，但我們卻撇開(kāi)不等邊三角形不談，而只去研究其中的特例——等腰三角形；等腰三角形從邊的角度考慮，可以分成只有兩條邊相等的和三條邊都相等的三角形，但我們還是舍棄了只有兩條邊相等的三角形，而只去研究其中的特例——等邊三角形。這樣一來(lái)，整個(gè)需要研究的概念系統(tǒng)就呈現(xiàn)出從屬式的關(guān)系（如圖3）。
在這個(gè)從屬式的邏輯關(guān)系中，種概念是不完整的，從嚴(yán)格意義上來(lái)講，它不能算是分類。因此，如果要學(xué)生從分類角度去理解這種概念系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，當(dāng)然是有難度的。其次，這個(gè)概念系統(tǒng)，尤其是這個(gè)集合圖，還涉及到了兩級(jí)分類，即里面有兩個(gè)屬種關(guān)系。學(xué)生對(duì)一個(gè)屬種關(guān)系的理解都感到頭疼（如理解正方形是特殊的長(zhǎng)方形），現(xiàn)在面對(duì)兩個(gè)屬種關(guān)系的，困難更是不言而喻的。因此，教材不再出現(xiàn)集合圖，淡化（甚至是不提及）兩者關(guān)系，也是一種符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的編排策略。
當(dāng)然，我們也要認(rèn)識(shí)到，因?yàn)樯釛壍母拍?，如“不等邊三角形”，于小學(xué)生而言，無(wú)大的研究?jī)r(jià)值；要研究只有兩條邊相等的三角形，還得給它定義一個(gè)新的名稱……種種難處，也是教材淡化三角形按邊分類的重要原因。
根據(jù)上述分析，我們就不難理解，為何教材清晰地展示三角形按角分類的結(jié)果，卻一直不強(qiáng)調(diào)按邊分可以分成幾類；為何有教材將等腰三角形、等邊三角形的知識(shí)脫離“分類”，單獨(dú)來(lái)進(jìn)行教學(xué)；我們想必也能深刻地認(rèn)識(shí)教參上所說(shuō)“按邊分要難一些”這句話的真實(shí)含義。
明確了兩個(gè)內(nèi)容存在的差異和產(chǎn)生原因，我們就應(yīng)該直面差異，深層考慮，合理教學(xué)。具體可以注意以下兩點(diǎn)：
1.設(shè)置合理的教學(xué)目標(biāo)
我們要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的不同特點(diǎn)，合理設(shè)置不同的教學(xué)目標(biāo)。比如說(shuō)，三角形按角分類，構(gòu)造概念的過(guò)程清晰，概念間的關(guān)系簡(jiǎn)單，學(xué)生理解容易。因此，對(duì)于三角形按角分類，我們要全面挖掘這塊內(nèi)容的內(nèi)涵，要把它做強(qiáng)放大。教學(xué)目標(biāo)制定時(shí)，一方面應(yīng)要求讓學(xué)生牢固掌握三角形角的特征，另一方面還應(yīng)重點(diǎn)讓學(xué)生去感悟抽象或分類的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)的具體實(shí)施，更要時(shí)刻圍繞著這樣的目標(biāo)去展開(kāi)。比如說(shuō)，當(dāng)學(xué)生不能正確分類時(shí)，我們可以引導(dǎo)學(xué)生去觀察角的特征，使分類得以進(jìn)行；當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)將三角形按角分成兩類或三類時(shí)，我們則可以引導(dǎo)學(xué)生去對(duì)比其中的聯(lián)系，使學(xué)生認(rèn)識(shí)鈍角三角形、銳角三角形就是在斜三角形基礎(chǔ)上的細(xì)化分類；在每次分類后，讓學(xué)生去對(duì)照分類的要求來(lái)檢驗(yàn)分類是否正確。等等措施，既幫助學(xué)生牢固掌握了三角形角的特征，又使學(xué)生初步感悟了強(qiáng)抽象的造概念方式。
而對(duì)于三角形按邊分，由于概念得出過(guò)程較迂回，概念系統(tǒng)結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，我們就應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，這塊內(nèi)容，應(yīng)降低要求，要淡化分類意識(shí)及其它數(shù)學(xué)思想，要將學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)轉(zhuǎn)移至研究等腰三角形、等邊三角形邊的特征，以掌握這兩種三角形的特征為主要的教學(xué)目標(biāo)。在教學(xué)實(shí)踐中，我們可以不深究按邊分類的結(jié)果到底是怎樣的，可以不過(guò)分注重等腰等邊關(guān)系的理解。我們只要讓學(xué)生通過(guò)按邊分的操作和思考，找尋到三角形邊的特征，清晰地建構(gòu)起等腰三角形、等邊三角形各自的表象即可。
2.采用合理的教學(xué)方法
在教學(xué)中，我們也應(yīng)當(dāng)采取針對(duì)性的教學(xué)方法，合理開(kāi)展兩個(gè)內(nèi)容的教學(xué)。如教學(xué)按角分的內(nèi)容時(shí)，我們應(yīng)該發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，讓學(xué)生充分利用學(xué)具，切實(shí)展開(kāi)操作，通過(guò)獨(dú)立思考、自主探索，真正經(jīng)歷三角形按角分類的過(guò)程，掌握三角形角的特征，體驗(yàn)“分類”和“抽象”的思想方法。與之相對(duì)應(yīng)的是，教師在這個(gè)過(guò)程中起的作用則是引導(dǎo)和啟發(fā)，即教師所要做的，主要是創(chuàng)設(shè)好恰當(dāng)?shù)那榫?，調(diào)控好探索的進(jìn)程，組織好學(xué)生的討論，最后在學(xué)生形成正確認(rèn)知時(shí)適當(dāng)引領(lǐng)一下即可。
而對(duì)于按邊分的內(nèi)容，我們要考慮到概念系統(tǒng)的不完整，考慮到思維形式的相對(duì)復(fù)雜性，教學(xué)方法就應(yīng)當(dāng)與上不同了。我們可以采用教師講解、傳授為主的方法，通過(guò)直接揭示概念，通過(guò)講解、演示，通過(guò)學(xué)生的模仿、實(shí)踐，幫助學(xué)生快捷地建立清晰表象，形成正確的認(rèn)知。這樣的教法可以使學(xué)生避免復(fù)雜的思考過(guò)程，從而讓他們集中精力去研究等腰三角形、等邊三角形邊的特征，去記憶其中的一些專用名稱，去完成按角分、按邊分之間的溝通。同時(shí)，這樣的方法，也可以有效解決按角分、按邊分兩個(gè)內(nèi)容合在一起教學(xué)所產(chǎn)生的教學(xué)時(shí)間緊張的問(wèn)題。
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