多年前，美國一位數(shù)學(xué)家愛德華·索普，拿著粉絲資助的1萬美金，來到賭城拉斯維加斯。索普先生出手不凡，屢戰(zhàn)屢勝，不多久就引起賭場老板的“關(guān)注”。但這并沒有影響事態(tài)的發(fā)展，索普先生愈戰(zhàn)愈勇，1萬美金很快翻了幾番，幾個(gè)賭場遭到不同程度的“血洗”。索普先生因此遭到賭場老板的封殺，以后要想過一把賭癮，還要喬裝打扮，潛入賭場。
為了不影響自己的“賭興”，索普先生把目光轉(zhuǎn)移到更大的賭場——華爾街。在這里，他把用在賭場上的理論發(fā)揚(yáng)光大，創(chuàng)立了全新的量化投資策略，并成立了第一支量化對沖基金。在上個(gè)世紀(jì)70、80年代，索普的量化對沖基金連續(xù)11年獲得了超過兩位數(shù)的回報(bào)。索普先生也被稱為“量化投資之父”。
索普先生的投資理論博大精深，非我吃瓜群眾能用一言半語解釋清楚的。今天我只拿當(dāng)年索普先生去賭場時(shí)用的一個(gè)小工具——?jiǎng)P利公式為主題，談?wù)勝€博和投資。
講凱利公式之前，咱們先熱熱身，算幾個(gè)賭博的小例子。
假設(shè)有人要和你賭博，猜從某個(gè)學(xué)校校門里出來的是男生還是女生，猜錯(cuò)輸?shù)糍€注，猜對贏得對方賭注。你如果知道這個(gè)學(xué)校的男女比例是2:1，那么這就是一個(gè)概率對你有利的游戲，你的策略應(yīng)該是每次都猜男生。如果初始資金是100塊錢，每次都下注資金的50%，咱們現(xiàn)在模擬一下各種情況下最終的資金情況。
從表中可以看出，每次都下注50%的資金，參與了3次，贏了2次，最終的資金是一樣，和輸贏出現(xiàn)的順序無關(guān)?？梢酝茰y，如果參與了300次，贏了200次，無論這200次盈利是以怎樣的順序?qū)崿F(xiàn)，最終的結(jié)果都是一樣的。
如果有人和你玩猜硬幣的游戲，你如果猜錯(cuò)了，會(huì)輸?shù)糍€注；如果猜對了，除了返還賭注外，還會(huì)再額外贏得2倍賭注（1賠3）。如果猜對和猜錯(cuò)的概率各是50%的話，這是一個(gè)賠率對你有利的游戲，你也應(yīng)該持續(xù)參與。你有100元，每次投入資金的80%，現(xiàn)在也模擬一下各種情況下的最終資金：
咦？怎么回事？不管是先贏再輸，還是先輸再贏，結(jié)果都是錢越賭越少了！再這么持續(xù)下去，來個(gè)10來輪，就剩個(gè)零頭了。說好的賠率對自己有利，要持續(xù)參與呢？
其實(shí)，在賭博中能否獲勝，不僅跟概率和賠率有關(guān)，還跟每次下注的比例有關(guān)。下注比例不合適，即使獲勝的概率大，賠率對自己有利，也不見得能獲勝。凱利公式就是專門用來解決賭博時(shí)每次下注比例的工具。
凱利先生等了這么久，終于該到了閃亮登場的時(shí)候了。凱利是美國貝爾實(shí)驗(yàn)室的物理學(xué)家，他通過研究信息論，發(fā)現(xiàn)賭徒可以在知道勝率和賠率的情況下，確定最優(yōu)的下注比例，從而使自己的長期復(fù)合收益最大化。凱利1956年發(fā)表了一篇論文，把這個(gè)方法發(fā)表了出來。
這里需要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，凱利先生雖然發(fā)明了凱利公式，但他卻對賭博興趣不大。而數(shù)學(xué)家索普看到這個(gè)論文后欣喜若狂，他把這個(gè)公式發(fā)揚(yáng)光大，在賭場和華爾街賺的盆滿缽滿，成就了自己量化投資之父的地位。
凱利公式有幾種形式，其中的一種如下：
f=p/a-q/b
其中：f表示分配的資金比例
p表示獲勝的概率
q表示失敗的概率
a表示失敗損失率，指失敗后押注的資金從1變成1-a
b表示獲勝增長率，指獲勝后押注的資金從1變成1+b
如果f算出來是0，表示這是一個(gè)期望收益為0的游戲，最優(yōu)決策是不參加。
如果f算出來是負(fù)數(shù)，表示這是一個(gè)期望收益為負(fù)的游戲，更是不能參加了。
如果f算出來是小于1的正數(shù)，就應(yīng)該按照這個(gè)比例下注；如果是個(gè)大于1的數(shù)，最優(yōu)的決策是需要借錢來參與這個(gè)游戲。
對于例1來說，我們把數(shù)字代入進(jìn)去：
p=2/3，q=1/3，a=1，b=1，計(jì)算出f=1/3
我們把例1重算一下，利用凱利公式，每次投入資金的1/3，結(jié)果如下表所示
可以看出，每次下注1/3，比每次下注50%最終的收益要高。
對于例2來說，我們把數(shù)字代入進(jìn)去：
p=0.5，q=0.5，a=1，b=2，計(jì)算出f=0.25
現(xiàn)在把例2重新計(jì)算一次，用的是凱利公式，每次押注25%的本金
可以看出，每次下注25%的資金，最終的收益不但遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于下注80%，而且實(shí)現(xiàn)了正收益?？磥?，賭徒即使發(fā)現(xiàn)一個(gè)期望收益為正的游戲，如果不知道凱利公式而胡亂下注，最終也很有可能是虧損的。
大家如果感興趣可以自己算一下，用任何其他只要不是凱利公式算出來的比例，最終的收益一定低于用凱利公式算出來的比例。
賭徒不可怕，就怕賭徒有文化啊。
賭博和投資在很多方面都是有相通之處的。有時(shí)想一想，我們做的投資決策，如果成功的概率不是100%，何嘗又不是一種賭博呢？
舉例來說，某只在美國上市的中概股，原本價(jià)格是50，突然宣布要私有化退市了，私有化價(jià)格為110。消息公布后，股票價(jià)格漲到100。這時(shí)，你通過對大量的信息進(jìn)行分析后，得出如下的判斷：最終成功私有化退市的概率為80%，不成功的概率為20%。
那么問題來了：應(yīng)該參與這次的私有化退市套利嗎？如果參加，資金投入的比例應(yīng)該是多少？
可以看出，如果私有化成功，獲利會(huì)是10%；如果失敗，虧損會(huì)是50%。這時(shí)用凱利公式代入各項(xiàng)數(shù)值進(jìn)行計(jì)算：
p=0.8，q=0.2，a=0.5，b=0.1，算出f=-0.4
由于f是負(fù)數(shù)，所以我們不應(yīng)該買入這樣的股票，甚至應(yīng)該做空這只股票。
但如果成功的概率是90%，失敗的概率是10%的話。此時(shí)p=0.9，q=0.1，a=0.5，b=0.1，算出f=0.8
這時(shí)應(yīng)該投入80%的資金參與私有化套利。（并不是全部資金的80%，而是計(jì)劃參與私有化套利資金的80%）
看到這里，凱利公式就基本介紹完了。大家看完后千萬不要太激動(dòng)，認(rèn)為自己學(xué)會(huì)了凱利公式就可以在投資中所向披靡了。投資的世界實(shí)在是太復(fù)雜，遠(yuǎn)不是一個(gè)凱利公式就能解決所有問題的。但是，通過凱利公式，我們還是能夠得到一定的啟發(fā)，那就是：
1. 只參與期望收益為正的游戲，期望收益為零或者為負(fù)的游戲堅(jiān)決不碰；
2. 利用數(shù)學(xué)工具用量化的手段來幫助我們做投資，與憑感覺做投資相比，更具有優(yōu)勢。
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