轉(zhuǎn)載: 賭場是專供賭博的場所賭場,只有少數(shù)國家的特定地區(qū)賭博場所是為合法,賭博憑的是賭技,講的是信譽(yù);同時(shí)賭場也指非法的聚賭地方,這些地方一般稱為賭窟或賭坊。到2009年2月為止,賭場種類有海上賭場、地下賭場、網(wǎng)上賭場、真人賭場、甚至空中賭場也是存在的!目前全球知名的四大賭場為澳門、摩納哥、大西洋城、拉斯維加斯。賭場總有著許多“一夜暴富”的神話。在眾多造神活動(dòng)中,數(shù)學(xué)家封神又最讓人信服。
2012 年曾有“澳洲 19 名數(shù)學(xué)家組團(tuán)豪賭,狂贏 156 億”的傳聞,但很快就被證明是假消息。
那么數(shù)學(xué)到底能不能讓人在賭場無往不利?
能,只要選對了游戲。
在賭場少有真正的公平,總是莊家贏面略大,但在眾多游戲中,還有一種能通過計(jì)算概率達(dá)到 49% 的勝率。
那就是21點(diǎn)(Blackjack)*,職業(yè)賭徒的看家本領(lǐng)。
*注:就像斗地主中的王炸,初始牌拿到A與10則稱作“黑杰克(Blackjack)”,直接取勝,這也是21點(diǎn)又名“Blackjack”的原因。
相較于德州撲克、老虎機(jī)這些賭場游戲,21 點(diǎn)親民得多。
撲克中兩張鬼牌先剔除,其余的牌 2~9 分別記作 2~9 點(diǎn),10、J、Q、K 記作 10 點(diǎn),A 視情況記作 1 或 11 點(diǎn)。
游戲的勝負(fù)判定很簡單,執(zhí)牌雙方將手牌點(diǎn)數(shù)相加,通過比大小決定輸贏。
總數(shù)相加最大只能 21 點(diǎn),超過 21 點(diǎn)則為“爆牌”直接失敗,數(shù)字相同則為平局。
而帶有賭場特色的 21 點(diǎn),規(guī)則更為繁復(fù)。
游戲雙方分為莊家、玩家,所有玩家只需和莊家比大小。
通常莊家會(huì)在半圓形牌桌上應(yīng)戰(zhàn) 5~7 名玩家,因?yàn)閾淇伺埔话阋矠閮筛奔皟筛币陨稀?/p>
莊家由賭場方擔(dān)任,玩家各自決定單局籌碼,隨后游戲開始!
首回合,玩家與莊家各獲得兩張初始牌,一張翻開一張合上。
隨后而玩家可以選擇:拿一張牌(Hit)、結(jié)束拿牌(Stand)。
當(dāng)然,如果局勢大好也可以選擇賭注翻倍并拿牌(Double)。
還有一種情況,當(dāng)兩張初始牌相同,可將它們分開,另外壓一份賭注,再次補(bǔ)充至兩張,相當(dāng)于同一局玩兩次(Split)。
如果局勢不佳,有的賭場還允許選擇認(rèn)輸(Surrender)。
等所有玩家結(jié)束拿牌后,莊家看牌,并按規(guī)則操作:大等于17點(diǎn)則不拿牌,反之拿牌直至17點(diǎn),爆牌則所有玩家獲勝。
21 點(diǎn)并不復(fù)雜,感覺更像依靠運(yùn)氣的游戲。
但實(shí)則不然,21 點(diǎn)的樂趣頗似魔方,不懂的時(shí)候只能隨意玩玩,一旦把握了公式就像打開了新世界的大門。
作為一款被數(shù)學(xué)家一直欺負(fù)的游戲,絕對是有它好欺負(fù)的一面。
1931 年,美國內(nèi)華達(dá)州宣布賭博合法化,21 點(diǎn)開始公開出現(xiàn)在賭博俱樂部,一舉成為繼骰子游戲后最風(fēng)行的莊家游戲。
2008 年上映的美國賭博電影《決勝 21 點(diǎn)》,正是圍繞 21 點(diǎn)開展的故事。影片中,主角所在的麻省理工學(xué)院,有一個(gè)秘密團(tuán)隊(duì) Blackjack Team。
這個(gè)以高智商成員組建的團(tuán)隊(duì),便是靠著鉆研數(shù)學(xué)技巧在 21 點(diǎn)賭桌上取勝。正是這部電影將賭徒諺語“Winner winner,chicken dinner”,首次捧火。
“21”(2008)
電影中的吃雞大神,在現(xiàn)實(shí)中的原型叫馬愷文。
馬愷文被譽(yù)為“華裔賭神”,他憑借團(tuán)隊(duì)和數(shù)學(xué),在賭場大賺 500 萬美元從而名震算牌界。
馬愷文在 MIT 讀大三時(shí),是個(gè)品學(xué)兼優(yōu)的好學(xué)生。一次他受邀參加一個(gè) 21 點(diǎn)算牌興趣組,原以為這只是一個(gè)以 21 點(diǎn)為攻略對象的數(shù)學(xué)研討小組,卻不料上了賊船。
馬愷文天賦異稟,很快受到神秘教授(從沒有人愿意透露他的身份)的認(rèn)可,成為了小組的核心靈魂。
馬愷文(左)
隨后,被選召的孩子們在教授的帶領(lǐng)下,開始到賭場實(shí)踐。他們不斷打磨技術(shù)、調(diào)整策略,終于走上贏錢道路。第一次贏錢時(shí),馬愷文還給自己買了塊 2000 美元的手表,一直保留至今。
他們將賭場當(dāng)提款機(jī),每周就帶著 10 萬美元去贏幾十萬美元。賭場也不傻,他們很快被列入黑名單,經(jīng)常一進(jìn)場就被服務(wù)員“請出”賭場。為了繼續(xù)提款,他們只得喬裝打扮混入場,有時(shí)是穿金戴銀的土豪、有時(shí)是下班發(fā)泄欲望的職員……
在 90 年代中期,他們就以 20 來歲的年紀(jì)享受在賓館里數(shù)錢為樂的生活。
但 Blackjack Team 所使用的技巧并非什么絕密神技。只需將 21 點(diǎn)的游戲,細(xì)細(xì)拆分便能理解。
之所以將 21 點(diǎn)說成是賭場最容易贏錢的游戲,是因?yàn)樵谡莆兆罴巡呗缘那闆r下,玩家勝率高達(dá) 49% 。而最佳策略也不難掌握,其實(shí)就是“算概率”。
假設(shè)玩家初始牌點(diǎn)數(shù)為12點(diǎn),莊家明牌為7,計(jì)算拿牌與結(jié)束拿牌兩種選擇的勝率。
①選結(jié)束拿牌(Stand)時(shí),獲勝情況僅一種:
莊家爆牌,設(shè)概率為P(S)
莊家的另一張牌有 13 種可能性,概率計(jì)算如下
F(T+7)時(shí),莊家不抽牌則不爆牌,不考慮
(以 T 代表10、J、Q、K)
F(9+7)時(shí),抽中 6~T 則爆牌,F(xiàn)(9+7)=8/13
……
以此類推,最終P(S)=∑F=0.26231
②選拿牌(Hit)時(shí),獲勝情況兩種:
莊家爆牌,玩家不爆;莊家玩家均不爆牌,但玩家更大,設(shè)概率為P(H)
爆牌概率同上,但還得算上玩家情況,即(1-4/13)
不爆牌獲勝,則有以下可能
1。玩家拿到 21 點(diǎn),莊家拿到 20~17 點(diǎn)
2。玩家拿到 20 點(diǎn),莊家拿到 19~17 點(diǎn)
3。玩家拿到 19 點(diǎn),莊家拿到 18 和 17 點(diǎn)
4。玩家拿到 18 點(diǎn),莊家拿到 17 點(diǎn)
以最簡單的情況 4 作計(jì)算
先分析,玩家從 12 到 13,只有抽到 A 一種可能
因此設(shè) W(12)=1
則 W(13)=W(12)*1/13=0.07692
以此可推算 W(18)
而莊家拿 17 點(diǎn),用同理可算 Z(17)
P4=W(18)+Z(17),同理可算 P1、P2、P3
P(H)=P1+P2+P3+P4+P(S)*9/13=0.43577
對比,P(H)>P(S),因而當(dāng)玩家手牌為12,莊家明牌為7時(shí),應(yīng)該選擇Hit為最優(yōu)策略。
所有情況下的選擇
最優(yōu)策略能幫玩家做出正確選擇,將勝率拉至 49%,數(shù)學(xué)的威力可見一斑。但明眼人肯定能發(fā)現(xiàn),最優(yōu)策略也不是很好。
不僅將抽所有牌概率當(dāng)作 1/13,同時(shí)最優(yōu)策略勝率也不能保證 50% 以上。有什么方法可以再提高一下勝率?這個(gè)問題也困擾了不少數(shù)學(xué)家。
Blackjack 的戰(zhàn)術(shù)——高低數(shù)法是最先突破瓶頸的。
高低法確實(shí)誕生于 MIT,但不是馬愷文的杰作。
真正的發(fā)明人同樣傳奇,是 MIT 教授愛德華·索普(Edward Thorpe)。就是他開啟了數(shù)學(xué)虐 21 點(diǎn)的時(shí)代。
愛德華·索普(Edward Thorpe)
索普始終認(rèn)為,數(shù)學(xué)是解開賭博的最終密鑰。
真正開啟 21 點(diǎn)之路的是一篇論文:《二十一點(diǎn)撲克游戲的最佳策略》(Roger Baldwin 著)。
按 Baldwin 的策略估測,以 1 美元一把下注,玩 1000 把也只用交給賭場 6 美元手續(xù)費(fèi)。
索普一學(xué)會(huì)這套方法,就奔赴拉斯維加斯大展身手,結(jié)果吃了好幾個(gè)月的土。
他決定改進(jìn) Baldwin 的方法。
在香農(nóng)的建議下,他研究出制勝秘訣 1.0,還發(fā)表了論文《財(cái)富公式:二十一點(diǎn)的制勝秘訣》。
這時(shí)紐約最大的莊家找上了他,決定投資他。
他毫不猶豫的答應(yīng)了,居然真的贏出第一桶金。
隨后他寫了一本書《戰(zhàn)勝賭場》,內(nèi)容以數(shù)學(xué)研究為主,將高低數(shù)法公諸于世。
所謂高低數(shù)法(H-L法)說起來很簡單。
將 2~6 記作1,7~9 記作 0,10~A 記作 -1,通過簡單的加減法快速記住場上牌的變化。
而高低數(shù)法認(rèn)為,當(dāng)余下的牌中,大牌越多,則對玩家有利(莊家更容易拿到大牌而爆牌),反之亦然。
例如已經(jīng)出現(xiàn)了 4、9、10、5、J、A、8,則現(xiàn)在點(diǎn)數(shù)是 -1,逆風(fēng)局。
在實(shí)際運(yùn)用中,還需要計(jì)算真數(shù),真數(shù)=點(diǎn)數(shù)/N 副牌。
如點(diǎn)數(shù)為 5,而莊家共使用 5 副牌發(fā)牌,則真數(shù)為 1。
真數(shù)越大贏面越大,真數(shù)越小則贏面越小。
因?yàn)樗髌盏囊槐緯?,?dāng)時(shí)許多人都去賭場博 21 點(diǎn)。
不過賭場有意防范,真如索普一樣封神的并不多。
而且高低數(shù)法只不過提高了 2% 的勝率,只有掌握好壓注技巧,才能保證一定回合后不虧錢。就算是 Blackjack team,也是經(jīng)過大量訓(xùn)練,才有可能賺個(gè)盆滿缽滿。
2004年黑杰克世界錦標(biāo)賽
其實(shí),不論是最優(yōu)策略,還是高低數(shù)法,都是為了削弱莊家優(yōu)勢。莊家優(yōu)勢是指在長遠(yuǎn)期限下,莊家占有數(shù)學(xué)優(yōu)勢,以確保賭場最終賺錢。
盡管每一次游戲的結(jié)果都是隨即或是說相互獨(dú)立的,但總的來說,會(huì)趨向一個(gè)預(yù)期值,或稱假設(shè)回扣。這也就導(dǎo)致,盡管短期可能賺錢,但長期來說還是會(huì)趨向于虧本。
黑色直線以上為賺以下為虧,藍(lán)色斜線為假設(shè)回扣
為了減少這種莊家優(yōu)勢,數(shù)學(xué)就派上了用場。通過正確的決策思維,規(guī)避不必要的錯(cuò)誤,奪取百分之幾的優(yōu)勢。
但這百分之幾投映到長遠(yuǎn)期限下,回報(bào)很驚人??梢哉f,這就是數(shù)學(xué)家與賭場數(shù)學(xué)的一場博弈。
談及數(shù)學(xué)的博弈,自然不可避免提到凱利公式。
凱利公式由約翰·凱利于 1956 年在《貝爾系統(tǒng)技術(shù)期刊》發(fā)表。
凱利公式是為了計(jì)算下注比例,當(dāng)知道獲勝率與賠率,可以推算出下注比例以求最大化收益。
John Kelly與他的凱利公式
凱利公式的要點(diǎn)就在于如何推算獲勝率。
因此凱利提出凱利公式時(shí),就建立在有內(nèi)線提供獲勝率情報(bào)的情況下。
但這個(gè)公式硬是被他的同事索普運(yùn)用在 21 點(diǎn)上。
索普不需要內(nèi)線,用高低數(shù)法自己推測情報(bào)。
推算獲勝率,給出最佳下注比例,大賺一筆。
數(shù)學(xué)家憑借異乎常人的計(jì)算能力自然能與賭場較量一番,同時(shí)也說明了一件事:我們沒有數(shù)學(xué)家那么好的計(jì)算能力,如果有那么好的計(jì)算能力的話,可以去嘗試一下,但是建議不要心太大,導(dǎo)致一下子傾家蕩產(chǎn),慎重賭博,對自己負(fù)責(zé)。
對于個(gè)人來說,有可能導(dǎo)致貧困潦倒甚至造成家破人亡。古往今來,賭博并沒有使一般的賭徒發(fā)財(cái)致富,而真正富起來的只有開賭場的廠主們。如果成為賭徒人整天沉迷于賭博中,對別的事情毫無興趣和動(dòng)力,他們不想勤勞耕作,只想靠運(yùn)氣發(fā)財(cái),結(jié)果越賭越窮。窮人想變富的欲望更強(qiáng)烈,因而不惜冒極大的風(fēng)險(xiǎn)來博取一舉得富的機(jī)會(huì)。于是形成越賭越窮,越窮越賭的惡性循環(huán)局面。走投無路時(shí),用消極方法來解決問題的人也有。對國家來說,賭博會(huì)影響生產(chǎn)及造成經(jīng)濟(jì)損失。賭博肯定要占用一定勞動(dòng)力。農(nóng)民賭博可能會(huì)耽誤耕作,工人賭博則耽誤生產(chǎn),老師賭博可能會(huì)誤人子弟。國家也會(huì)因此受到巨大的損失。
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