(一)
一個(gè)賭局,拋硬幣,如果正面你就給我100元,如果反面我就給你150元,你玩不玩?
對(duì)你來(lái)說(shuō),這個(gè)賭局的數(shù)學(xué)期望是150*50%-100*50%=25元(平均預(yù)期收益),挺劃算,但很多人不愿意賭,因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)厭惡(loss aversion),還是有失去100元的風(fēng)險(xiǎn)。
可要連賭一萬(wàn)把,那你還愿不愿意玩呢?當(dāng)然愿意。大數(shù)定律告訴我們,當(dāng)數(shù)據(jù)量足夠多時(shí),其發(fā)生頻次將趨近于其理論概率。賭一兩把你可能會(huì)輸,但一萬(wàn)把幾乎會(huì)把所有波動(dòng)拉平,你預(yù)期收益就是25*10000=25萬(wàn)。
現(xiàn)實(shí)生活不可以這么簡(jiǎn)化,100元對(duì)于年收入1000萬(wàn)的人來(lái)說(shuō)其效用和對(duì)于年收入10萬(wàn)的人也是不一樣的,現(xiàn)實(shí)生活也沒(méi)人跟你賭一萬(wàn)把,現(xiàn)實(shí)生活是不可計(jì)算的,那個(gè)男生看上去可靠帥氣,我該不該把身心全部交出去?英語(yǔ)好難,單詞記不住,我要不要報(bào)個(gè)班?
這個(gè)思想實(shí)驗(yàn)只是告訴你,人生不是一次博弈而是重復(fù)博弈,在你跌倒一次又不至于死去之前,只要其數(shù)學(xué)期望值是正的,你就應(yīng)該一直嘗試,正如丹尼爾·卡尼曼在《思考,快與慢》書(shū)里的建議:生活中的確沒(méi)人跟你連賭一萬(wàn)把,但是你可以把一生之中大大小小的概率選擇當(dāng)成一個(gè)系統(tǒng)來(lái)全盤考慮。只要每一次遇到數(shù)學(xué)期望為正的時(shí)候你都選擇賭,那么長(zhǎng)期看來(lái),你必然是贏的。
你要像商人一樣去思考,按照概率下注,不要過(guò)多糾結(jié)于沉沒(méi)成本,不要在乎一朝一夕,你要的是一生一世。
“老百姓關(guān)心具體事件的成敗,高手關(guān)注的是一個(gè)概率系統(tǒng)。只要我這個(gè)系統(tǒng)合理,那么具體事件結(jié)果都是偶爾波動(dòng),長(zhǎng)期看我一定是贏?!?br>? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? --萬(wàn)維鋼
(二)
有一個(gè)贏2賠1的賭局,扔硬幣下注,如果正面就翻倍,反面就輸?shù)舯窘?,你總賭資為100元,每次下注都可投入任意金額,那你怎么賭呢?
如果你喜歡冒險(xiǎn),可能會(huì)選擇干脆玩把大的,100元全押上,輸就輸個(gè)精光,贏就掙筆大的!如果你偏保守,會(huì)謹(jǐn)慎點(diǎn),細(xì)水長(zhǎng)流慢慢來(lái),一次只玩一塊錢。每次只下注1元,正面贏2元,反面輸1元。但玩了20把,又覺(jué)得辛辛苦苦半天都不如人家一次20元贏的多,太憋屈。
100太多1塊太少,那該投入多少比例下注呢?凱利判據(jù)告訴你答案:
f* =(bp-q)/ b
在公式中,各參數(shù)意義為:
f* = 應(yīng)投注的資本比值
p = 獲勝的概率(也就是拋硬幣正面的概率)
q = 失敗的概率,即1 - p(也就是硬幣反面的概率)
b = 賠率,等于期望盈利 ÷可能虧損(也就是盈虧比)
公式中的分子bp-q代表“贏面”,數(shù)學(xué)中叫“期望值”,假設(shè)贏概率是75%,獎(jiǎng)勵(lì)80,輸概率25%,懲罰150,那么其數(shù)學(xué)期望值就是:75%*80-25%*150=22.5.
代入公式,拋硬幣每次應(yīng)該投入(bp - q) ÷ b = (2 * 50% - 50%) ÷ 2 = 25%,即每次你應(yīng)該投入總賭資的25%,25元。凱利判據(jù)告訴我們要通過(guò)選擇最佳投注比例,才能長(zhǎng)期獲得最高收益,以避免屁股輸?shù)镁狻?br>
公式如此優(yōu)美,含義卻很難吃透。什么時(shí)候要全部all in呢?要是贏了不止2倍呢?10倍,100倍,1000倍如何?算算,即使1000倍,你最大下注比例也才為0.4995.只要概率不變,多大盈虧比你都不應(yīng)該全部下注,一直all in 你總有一把全部賠光。
(三)
賭場(chǎng)中莊家優(yōu)勢(shì)最小的賭局是21點(diǎn),莊家只贏玩家0.4%,大約50.2%,玩家大約49.8%的勝率,所以你知道為什么長(zhǎng)期來(lái)看,十賭九輸了吧。
你相信運(yùn)氣,賭場(chǎng)相信概率。大部分人卻想用心存僥幸去戰(zhàn)勝賭場(chǎng),殊不知賭場(chǎng)背后是你撼動(dòng)不了的概率計(jì)算。即使告訴你算牌規(guī)則,大多數(shù)人僅限于個(gè)位數(shù)的運(yùn)算能力也不夠上線使用。
《決勝21點(diǎn)》是講述一群MIT學(xué)生戰(zhàn)勝賭場(chǎng)的電影,其真實(shí)原型來(lái)自于麻省理工學(xué)院的愛(ài)德華·索普教授。
21點(diǎn)規(guī)則變化很多,但簡(jiǎn)單說(shuō),莊家輪流發(fā)牌,誰(shuí)率先超過(guò)21點(diǎn),就爆掉,剩者贏。
當(dāng)點(diǎn)數(shù)小于17點(diǎn)時(shí),莊家必須繼續(xù)要牌,而玩家則可選擇要還是不要。此時(shí),若是之前出現(xiàn)的都是小牌,那么剩下的排堆里大牌就比較多,莊家爆掉的可能性就比較大,玩家此時(shí)就應(yīng)該加大籌碼。
大神索普琢磨出了一套算牌技巧,以大于50%的概率猜出莊家手里的牌數(shù),就靠這僅僅的幾個(gè)概率點(diǎn)再配合凱利公式優(yōu)化自己每次最優(yōu)下注比例,持續(xù)下注,他戰(zhàn)勝了賭場(chǎng)。
簡(jiǎn)單說(shuō),索普大神遵循的是:勝算大時(shí)出重手,勝算小時(shí)就下小手。
用預(yù)期收益/賠率是對(duì)賭場(chǎng)人士而言,對(duì)于普通民眾,其普世意義就是用優(yōu)勢(shì)/劣勢(shì)。在一個(gè)局里,看你有沒(méi)有優(yōu)勢(shì),如果預(yù)期收益為正,你可以繼續(xù)玩,理性下注保持坐在桌子上繼續(xù)玩下去的可能,耗到對(duì)手死亡。如果你劣勢(shì)較大,預(yù)期收益為負(fù),人為刀俎,你為魚(yú)肉,絕不能玩。
(四)
人生漫長(zhǎng),并非一次博弈,是一連串事件的選擇。找準(zhǔn)你認(rèn)為對(duì)的事,持續(xù)做,做到你積累的優(yōu)勢(shì)別人無(wú)法再忽視,也無(wú)法再追趕。找到一個(gè)長(zhǎng)坡,上面有略微濕潤(rùn)的雪,團(tuán)起你的小雪球,順勢(shì)推下。
那什么事情又值得all in 呢?
我想,學(xué)習(xí)總在名單之列。不僅要all in 投入,還要加杠桿,正如索羅斯曾說(shuō):對(duì)高確定性的交易,要直取咽喉,不僅要投入自己的身家性命,還要借錢來(lái)賭。所以才有了保爾遜基金2007做空美國(guó)次貸,狂賺40億美金的傳奇。
而在你沒(méi)有把握的地方,要永遠(yuǎn)謹(jǐn)慎地樂(lè)觀,不要被趕下牌桌,贏局再大,也與你無(wú)關(guān),正如羅斯福曾說(shuō)“榮譽(yù)屬于真正置身于競(jìng)技場(chǎng)上的人?!?/p>
最后,借用一句話“篤信加上耐心,才有可能幫你熬過(guò)偶然的失落,等到必然的好運(yùn)?!?/p>
參考得到萬(wàn)維鋼、王爍專欄、老喻微信公號(hào)“孤獨(dú)大腦”。
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