說題
對于此題，首先我們可以知道：對于△ABC，根據(jù)已知的條件，這個三角形是能夠唯一確定的，因此肯定可以通過適當(dāng)?shù)姆椒▉砬蟮萌切蔚南嚓P(guān)量.
解法1
（構(gòu)造直角三角形）
要運用勾股定理來求解，首先得構(gòu)造出直角三角形，自然地想到過點B作BE垂直AC，高AD就轉(zhuǎn)化成AF與FD的和，再借助全等三角形和相似三角形來求解相關(guān)線段的長.用ASA容易證得△AFE與△BCE為全等三角形，求得AF=BC=10.再通過△BDF與△BDC為相似三角形，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可知BD:AD=DF:DC，不妨設(shè)DF=x，則有6：(x+10)=x:4， 而求得AD=AF+FD.
解法2
（構(gòu)造相似三角形）
本題還可以站在新的視角下去構(gòu)造相似三角形.注意到∠1+∠2=45°，如果能夠找到一個∠3，滿足∠2+∠3=45°.這跟同角的余角相等的推導(dǎo)模式極為類似，也自然地聯(lián)想到母子相似模型.而∠3的出現(xiàn)又跟45°角密不可分，因此要盡可能多地構(gòu)造出45°角，想到在△ABC內(nèi)構(gòu)造兩個含45°角的直角三角形如圖.容易發(fā)現(xiàn)還有一對大角∠AEB與∠AFC相等.成功地構(gòu)造出了一對相似三角形△ABE與△CAF:，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可知BE:AF=AE:FC，從而求得AD.
從已知條件看，條件中有個特殊角45°，注意到它的兩倍角90°依然還是一個特殊角.如何實現(xiàn)從45°角到90°角的轉(zhuǎn)化呢？可以通過圖形的變換或者在圓中實現(xiàn)角度間的轉(zhuǎn)化 .這又為我們添設(shè)輔助線提供了信息和依據(jù).因此又得到了以下兩種解法.
解法3：（構(gòu)造軸對稱圖形）
分別以AB、AC為對稱軸，作Rt△ABD和Rt△ACD的軸對稱圖形Rt△ABE和Rt△ACF，延長EB和FC交于點G.容易發(fā)現(xiàn)四邊形AEGF中有三個角是直角，是個矩形，并且有一種鄰邊相等AE=AF.所以四邊形AEGF是個正方形，且它的邊長就是所求的高AD的長度.不妨設(shè)AD=x，則有AE=EG=GF=FA=x，
從而得到BG=x-6,CG=x-4，BC=4+6=10.
在Rt△BGC中運用勾股定理得(x-6)(x-6)+(x-4)(x-4)=100,從而求出AD的長.
解法四
（構(gòu)造輔助圓）
由圓周角定理可知：一條弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半.作△ABC的外接圓圓O ，過點O作OE⊥BC于點E，OF⊥AD于點F.
因為AD⊥BC,所以四邊形OEDF為矩形，即有DF=OE，OF=ED.由∠BAC=45°知∠BOC=90°，在等腰直角三角形BOC中，有OE=BE=EC=5
所以有DF=OE=5，OF=BD-BE=1，OA=OB=5√2.在Rt△AOF中利用勾股定理AF·AF=OA·OA-OF·OF得，從而求得AF與AD的長.
45°角有上述四種解法，那么換成60°角或者是其他特殊角是否還存在著這些解法呢?以60°為例，再來細細品味一下這些解法.
解法一
解法二
解法三
解法四
本題的角度不再是特殊角，而是已知一個角的三角函數(shù)值.此時，只需構(gòu)造一個輔助圓，同樣可以把零散的條件集中到直角三角形BEO和直角三角形AOF中.通過三角函數(shù)和勾股定理求出相關(guān)線段的長度，彰顯了輔助圓這一方法的優(yōu)越性，不得不感嘆這是一種精致、精巧、精妙的構(gòu)造法.
將其放在直角坐標(biāo)系中進行研究，本質(zhì)沒有發(fā)生改變，完全可以抽象出之前一直在討論的圖形.要注意的是，因為點C是動點，有可能會在軸的負半軸，避免漏解.
證明如下：
借助解法三中構(gòu)造出來的正方形，運用面積法來求解.等式左邊的AD·AD就是正方形AEGF的面積。等式右邊AD·BC的一半就是△ABC的面積，由于軸對稱，那么AD·BC就是五邊形AEBCF的面積。這些量之間的關(guān)系式可以由下圖清晰地表現(xiàn)出來.問題就轉(zhuǎn)化成只需證明BD·CD=S△BGC.這個可以通過用代數(shù)法來證明.為了說明的方便，不妨設(shè)AD=x,BD=u,CD=v，求證的是2uv=(x-u)(x-v)，化簡得uv=x·x-(u+v)x.而架起這三條線段之間的橋梁的是勾股定理，它們滿足(x-u)(x-u)+(x-v)(x-v)=(u+v)(u+v)，化簡后得：x·x-(u+v)=uv.而這正是我們要證明的式子.通過代數(shù)的方法證得了這個等式，巧妙地將代數(shù)與幾何結(jié)合起來了.同時也看到了面積法也是解決問題中常用的一種方法.
總結(jié)提升：
1.在三角形中求線段的長度通常采用構(gòu)造全等三角形、相似三角形、直角三角形等方法，根據(jù)邊的關(guān)系，通過設(shè)元、列式進行求解.
2.在遇見特殊角時，可以嘗試?yán)锰厥饨菍D形進行轉(zhuǎn)化，通過翻折、構(gòu)造外接圓等方法對圖形進行擴展.
3.不論圖形處于何種背景載體中，只要根據(jù)題目條件確定的圖形是唯一的，我們就能通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，來求得相關(guān)量，以不變應(yīng)萬變.
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