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傾情巨制，嘔心瀝血；數(shù)萬大戲，粉墨登場；七大策略，助你成就中考壓軸夢（夸張之意，小小自戀，哈哈~~）

純文字兩萬字（不含公式編輯器以及圖片等，下面的兩個宣傳當然也不算在內(nèi)），單單編輯公眾號文章，就花費了我大量的時間，更不要說成文的艱辛過程，在此，先允許廣猛做兩個宣傳：一是好消息；二是壞消息！

       《特級教師解題教學研討會》

學習數(shù)學離不開解題，解題教學是數(shù)學教學的重要組成部分。如何真正培養(yǎng)學生的思維，讓學生整體地面對問題、整體地思考問題、獨立地探究問題？怎么解？為何這樣解？如何給學生講解？怎么回答學生“為什么我這樣解題不行？”。這是廣大一線數(shù)學同行迫切思考并想解決的問題，應廣大老師的熱切要求，名師講堂初中數(shù)學解題教學研討會將于2018年1月1日～2日在南京舉行。

本次研討會將邀請全國初中數(shù)學一線頂級名家，就有關(guān)“初中數(shù)學解題和解題教學中的若干熱點問題”進行專題互動研討。

授課專家簡介

于新華

江蘇省數(shù)學特級教師，常州市中學數(shù)學名師工作室領(lǐng)銜人，中國數(shù)學奧賽教練員，擔任多年初高中數(shù)學教研員，曾獲得“江蘇省十大杰出青年”，“常州市十佳青年”，“常州市優(yōu)秀教研員”等榮譽。擔任過從初中到高中各個年級的數(shù)學教學工作，在多年的教學實踐中，逐步形成“視野開闊，情趣交融；居高臨下，深入淺出”教學風格。

卜以樓

江蘇省中學數(shù)學特級教師，正高級教師。江蘇省優(yōu)秀教育工作者。國培、省培教師專家?guī)斐蓡T，江蘇省名師發(fā)展共同體指導導師、江蘇省特級教師后備指導導師。南京師范大學碩士研究生導師、南京市首批名師工作室主持人。他是“生長數(shù)學”的設(shè)計者、倡導者、探索者、實踐者，在訓練學生思維能力方面形成獨特的教學風格。  

易良斌

湖北省特級教師、浙江省特級教師。浙師大、杭師大兼職教授。善于調(diào)動學生的學習積極性，致力于發(fā)展學生的思維能力，形成了“條理清晰，重點突出，深入淺出，生動易懂，寓樂于教”的教學風格。在全國各地為中小學數(shù)學教師上示范課和專題講座160余場。多篇文章被中國人民大學報刊復印資料全文轉(zhuǎn)載。

黃金聲

江西省特級教師，中國數(shù)學奧林匹克高級教練員，東華理工大學碩士生導師，致力于“基于四維（自學合作展示引領(lǐng)）理念的初中數(shù)學主題教學”的探索與踐行，并創(chuàng)造性提出“講題的四種境界”之理念，江西省三所大學“國培計劃”特聘專家，多次參加省中考命題，并于2016年擔任江西省中考數(shù)學命題組長。

活動主要內(nèi)容

主題1.例談中考數(shù)學解題思想與方法(于新華)

主題2.解題有道：來路 思路 出路--45度角問題(黃金聲)

主題3.解析 解答 解法 解釋--在解題中學會解題   (易良斌)

主題4.自然 必然 超然--和你談生長數(shù)學下的解題教學 (卜以樓)

主辦單位：南京百創(chuàng)教育培訓中心          南京探航教育咨詢有限公司

承辦單位：南京師范大學附屬中學新城初中怡康街分校（南京市建鄴區(qū)秀山路21號）報到時間：2017年12月31日下午14:00-20:00

會議時間：2018年1月1日～2日

會務(wù)費用：600元/人，包含教材資料費及兩天的午餐（盒飯）。差旅及食宿費用自理，回原單位報銷。

會議地點：南京師范大學附屬中學新城初中怡康街分校（南京市建鄴區(qū)秀山路21號）

報到地點：

（1）2017年12月31號下午報到，地點在“維也納智好酒店”一樓大廳，地址：南京市河西應天大街店）782號

（2）2018年1月1號早報到，直接到“新城初中怡康街分?！?nbsp; 

報名咨詢： 紀老師手機（同微信號）15950596379  QQ：247546516郵箱247546516@qq.com

報名群號：初中解題研討會(南京)QQ:583034828

共400席位，報滿即停

QQ掃描下方二微碼，加入“初中解題研討會(南京)”報名群QQ:583034828

不好的消息是：本人的親表哥，最近傳來噩耗，進行了一個“輕松籌”的捐助活動，望廣大好友，點開網(wǎng)址，幫幫他，獻出一點點愛心，這個世界很美好， 在此，廣猛先表示感謝之情！

打開“輕松籌”鏈接，點擊幫助ta，獻出您的愛心：“ https://m2.qschou.com/project/love/love_v7.html?projuuid=8307b922-a41d-4982-84de-dcea504ed002&shareuuid=1602b92372e1-03331293f8-27604929-38400-1602b92372fe&sharecount=9&prevshareuuid=787a4c53-da09-11e7-9358-00163e13ff6b&prevtimestamp=2017120606161945375600458&platform=wechat&shareto=5&timestamp=2017120619245173702236368”

廣猛親表哥叫劉月亮，今年29歲，家境貧寒，原本靠著打魚和做些零工為生，日子過的艱難但也勉強得以維持生計。

2013年，父親的去世，使得原本困難的生活雪上加霜，巨大的生活壓力落到了亮亮一個人的身上，照顧弟妹，安撫整日以淚洗面的母親，打零工掙錢養(yǎng)家，高強度的勞作和心魔無情的腐蝕著他大好的青春年華，黝黑的皮膚，佝僂的背影，瘦弱的身軀，這完全不是一個29歲的青年人該有的樣子，讓人心疼！

就在失去父親的陰霾慢慢散去，生活也慢慢轉(zhuǎn)好的時候，命運又和他開了個玩笑，2016年，他出了車禍，斷了右腿，家中四處借錢治病，原本艱難度日的生活變得幾乎無以為繼，但是堅強的他似乎并沒有向命運妥協(xié)，養(yǎng)好腿之后又扛起了長子的重擔，因為他知道媽媽需要他，一家人都需要他。

然而老天好像并沒有就此罷手，12月2日，在做電焊工時，巨大的鋼管從船梁上墜落，重重的砸在了他的背上，脊椎被砸成多處斷裂，下半身完全癱瘓無知覺，大小便失禁，我不知道最悲慘的人生是什么樣子，但可能也就如此了吧。心痛！??！

現(xiàn)在他急需脊椎手術(shù)費用，住院幾天已經(jīng)花費幾萬元，家中四處借錢，已經(jīng)實在無力承擔巨額的醫(yī)療費用，真心的希望大家能夠幫幫他，伸出援助之手，獻出綿薄之力，能夠幫助他重新站起來，撐起這個家。

說了蠻多“廢話”，接下來，“干貨”到！

數(shù)學解題的功力在于思維的能力，聯(lián)想與構(gòu)造是訓練解題思維能力的有效途徑.本文擬以一道課堂中的習題為引，暢談與45°相關(guān)的解題機制，然后拓展到30°角，甚至任意角.

一、例題呈現(xiàn)

已知：點A（0，4），B（0，－6），C為x軸正半軸上一點，且滿足∠ACB＝45°，則點C坐標為　      　．

二、解法多探

此題精致，條件簡潔，關(guān)鍵是如何利用45°角，教學中發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學生無從下手.然而其解法甚多，筆者打算從聯(lián)想構(gòu)造的視角，提出幾種適合學生的方法：

基本策略一：45°→等腰直角三角形→一線三直角

45°是一個神奇美妙的角，一個讓人浮想聯(lián)翩的角，我們的故事就是從45°角開始的.

依托于45°角，自然聯(lián)想到構(gòu)造等腰直角三角形，然后依托于等腰直角三角形，再構(gòu)造“一線三直角”，這是處理45°角問題的基本策略.

如圖1，若已知∠ACB＝45°，一般有四種方式構(gòu)造直角三角形，

但建議將已知點作成直角頂點，相對而言會更簡單些，這也體現(xiàn)出“以不變應萬變”的解題策略，下面提供這四種解法，以供類比：

解法3：如圖1－5，與解法1類似，下略；

解法4：如圖1－6，與解法2類似，下略；

反思1：聯(lián)想與構(gòu)造，是一種重要的數(shù)學解題能力與品質(zhì)，由45°角自然聯(lián)想等腰直角三角形，再依托構(gòu)造的等腰直角三角形，作“水平－豎直輔助線”，構(gòu)造“一線三直角”結(jié)構(gòu)，這也是數(shù)學中極其重要的改“斜”歸正、化斜為直的思想方法，尤其是在平面直角坐標系中，“橫平豎直輔助線”要成為解題習慣，勇于嘗試，或許就能找到解題金鑰匙；

 上面的四種解法中，解法1與解法3將已知點A或B作成直角頂點，采用了直接設(shè)元的方式；而解法2與解法4，未知頂點D作成了直角頂點，只能采取間接設(shè)元的方式，相比之下，前者優(yōu)于后者；

本題體現(xiàn)的還不是特別明顯，有些題目若將直角頂點作成已知點，往往可以做到如行云流水般的口算解答，而后者可能要設(shè)“二元”，列兩個方程方能解決問題，需引起注意.

基本策略二：一個45°→兩個45°→母子型相似

在x軸上已有一個45°角，可以考慮在y軸上再補上一個45°角，構(gòu)造“母子型相似”結(jié)構(gòu)解決問題.

反思2：已知x軸上有一個45°角，在y軸上構(gòu)造另一個45°角，從而產(chǎn)生一個“母子型相似”結(jié)構(gòu)，利用勾股定理結(jié)合射影定理，設(shè)元列方程，順利解決問題；

此法簡潔明了，讓人賞心悅目，值得細細品味；

既然可以在y軸正半軸上構(gòu)造45°角，當然也可以在y軸負半軸上下功夫，如圖1－8所示，不再贅述.

基本策略三：一個45°→三個45°→一線三等角

在x軸正半軸上已有一個45°角，可以考慮在x軸正半軸上再補上兩個45°角，構(gòu)造“一線三等角”結(jié)構(gòu)解決問題.

反思3：相似是解決許多問題的一大重要工具，識別基本相似型屬第一層次，而構(gòu)造是更高層次，這就不僅要求認識基本相似型，而且要非常熟悉基本相似型的結(jié)構(gòu)，從一些蛛絲馬跡中能夠聯(lián)想到學過的或做過的基本圖形，敢于嘗試，勇于探索，殺出一條血路；

解法5與解法6都屬于基本相似型的構(gòu)造，有異曲同工之妙，可類比琢磨；

以常見的“一線三等角”為例，其應用分三重境界：

第一重境界：當一條線上已有三個等角時，只要識別、證明，直接應用模型解題，包括如圖1－10所示的“同側(cè)型一線三等角”以及圖1－11所示的“異側(cè)型一線三等角”；

第二重境界：當一條線上已有兩個等角時，需要再補上一個等角，構(gòu)造模型解題；

第三重境界：當一條線上只有一個角時，需要再補上兩個等角，構(gòu)造模型解題，如圖1－12及圖1－13所示；

解法6就屬于第三重境界，在x軸上已有一個45°角的基礎(chǔ)上，再補上兩個45°角，構(gòu)造出“異側(cè)型一線三等角”，從而解決問題.

此題還可以構(gòu)造“同側(cè)型一線三等角”解決問題，具體如下：

反思4：同理，也可以如圖1－16所示構(gòu)造，不再贅述；

更神奇的是，理論上，過點C任意作一條確定的直線，在該直線上補上兩個45°角，與∠ACB＝45°，構(gòu)成“一線三等角”結(jié)構(gòu)，都可以解決問題，但計算繁簡不一，一般取特殊的直線，如解法6至解法8.

結(jié)合“母子型相似”與“一線三等角”的兩種構(gòu)造方式，此題還有如下精彩解答：

反思5：相似是解決問題的基本手段之一，構(gòu)造基本相似型是重要的解題之道，解法7的本質(zhì)屬構(gòu)造“旋轉(zhuǎn)相似型”，從而解決問題；

同理，也可以如圖1－18所示構(gòu)造輔助線，不再贅述.

基本策略四：“邊對角”→輔助圓

輔助線的添加需要充分的聯(lián)想，除了可以考慮直線型輔助線，若能識別“邊對角”結(jié)構(gòu)，常可以考慮構(gòu)造輔助圓解題，其核心結(jié)構(gòu)如圖1－19所示.

反思6：“邊對角”是一個重要的基本圖形，“定邊對定角”屬于其內(nèi)涵之一，其實應該還包括“定邊對動角”、“動邊對定角”等結(jié)構(gòu)，值得探索與研究；

解法7中，敏銳地識別到“定邊對定角”結(jié)構(gòu)，構(gòu)造輔助圓，將直線型問題轉(zhuǎn)化為圓的問題.從確定性的角度分析，⊙M確定（圓心及半徑都確定），它與x軸正半軸的交點C當然確定，必可求；

更重要的是，可以結(jié)合圓中的相關(guān)知識來計算，如垂徑定理等；

探索無終點，思考無止境，筆者一直奇怪，前文的各種解法中，為何總出現(xiàn)x＝－2這個“增解”，結(jié)合輔助圓，方才恍然大悟，（－2，0）正是此圓與x軸負半軸的交點，若記此點為C′，則∠AC′B＝135°，原來如此，何其趣哉!

基本策略五：45°→兩次對稱→正方形中“半角模型”

45°角與直角之間有一段不解之緣，前者的兩倍是后者，后者的一半是前者.在45°角內(nèi)部找一點，關(guān)于45°角兩邊作對稱，自然會產(chǎn)生倍角90°；

90°又與正方形（或矩形）有很深的淵源，若聯(lián)想到正方形中“半角模型”，其核心結(jié)構(gòu)及簡證如圖1－21所示，又會產(chǎn)生如下精彩解答：

反思7：正方形中“半角模型”是一個常見模型，解法9中，在已知∠ACB＝45°的基礎(chǔ)上，通過兩次對稱的手段，巧妙構(gòu)造出正方形，不自覺產(chǎn)生了“半角模型”，直接設(shè)元，利用勾股定理列出方程，順利解決問題；

這也是一個常見的套路，需要細細咀嚼，琢磨后變?yōu)樽约旱慕忸}之術(shù).

基本策略六：45°→等腰直角三角形中“半角模型”

“半角模型”除了存在于正方形中，還可以在等腰直角三角形中，其核心結(jié)構(gòu)及簡證如圖1－23所示；

是否可以構(gòu)造等腰直角三角形中“半角模型”呢？請看下面的解法：

反思8：“半角模型”是學生平時常遇到的習題或模型，解法9與解法10都是在∠ACB＝45°的基礎(chǔ)上，聯(lián)想構(gòu)造“半角模型”來解題；

由此可見，平時做過的例習題或總結(jié)的基本圖形等很可能是今后解題的重要工具，因此日常解題絕不能停留于題目本身，而應細琢磨其結(jié)構(gòu)，多反思其用途與變化，使其成為自身的解題利器；

值得一提的是，上述兩個“半角模型”可以完全呈現(xiàn)在同一個圖中，如圖1－25所示，便于記憶與理解，而此圖中的相關(guān)結(jié)論多如鴻毛，探索之趣溢于言表. 

基本策略七：45°→矩形大法→兩角和為45°的正切公式

反思9：矩形大法，威力巨大，神奇構(gòu)圖，公式自現(xiàn)；

這個公式還可以通過構(gòu)造正方形來證明，如圖1－27所示；

此外，還可以拓展成更一般的形式，譬如：

當然，這其實是高中的兩角和與差三角函數(shù)公式，但我們通過初中構(gòu)圖的方式，基本實現(xiàn)了“無字證明”，不亦樂乎，要有幾何構(gòu)造的情趣??！

至此，此題得到了比較完滿的解答，可能還有其他的解法，但未必適合學生或者構(gòu)造復雜，亦或者筆者能力不足.七大策略，全部掌握，靈活運用，實屬不易.

三、變中尋通

一題多變，玩出精彩，45°變?yōu)?0°又會怎樣？135°呢？甚至于任意角呢？

探索之門，已經(jīng)敞開，讓我們一起遨游吧！

下面提供兩道變式，一一對照七大策略，筆者給出簡解圖形，供參考之用：

變式1：如圖2，在△ABC中，CO⊥AB于點O，OA＝4,OB＝6，且∠ACB＝45°，求OC的長．

策略二：30°→直角三角形→一線三直角

策略四：一個30°→三個30°→一線三等角

所謂“一線”，可以是水平線、豎直線、斜直線，甚至于任意線，有下面三種常見的構(gòu)造方式，如圖2－5所示，不再贅述.

策略五：“半角模型”

30°→兩次對稱→四邊形中“半角模型”：如圖 2－6所示，最后還需要解△ABF；

30°→等邊三角形中“半角模型”：如圖2－7所示，最后也需要解△BEF；

這兩種解法，得不償失，過于麻煩，呈現(xiàn)出來，只作了解，不必深入.

變式2：如圖3，在△ABC中，CO⊥AB于點O，OA＝8,OB＝12，且tan∠ACB＝2，求OC的長．

策略一：定邊AB對定角∠ACB→思構(gòu)輔助圓

如圖3－1，作△ABC的外接圓M，由圖顯知：OC＝OE＋CE＝16.

策略四：一個∠ACB→三個∠ACB→一線三等角

所謂“一線”，可以是水平線、豎直線、斜直線，甚至于任意線，有下面三種常見的構(gòu)造方式，如圖3－5所示，不再贅述，相對而言，“水平－豎直線”更簡單些.

作“斜直線”，比較麻煩，而若構(gòu)造“半角模型”，更是麻煩至極，直接扔掉.

兩個變式，由簡單到復雜，由特殊到一般，通過探究，可以發(fā)現(xiàn)：構(gòu)造輔助圓是解決此類“邊對角”問題的最佳方法，從頭至尾，口算而已；“母子型相似”、“一線三等角”以及“矩形大法”都是解決此類問題的通解通法，但都需要結(jié)合方程思想解決問題，或直接設(shè)元，或間接設(shè)元，或巧設(shè)等；而“半角模型”僅僅較適合于45°角相關(guān)問題，更一般的角不太適合，計算繁瑣.

四、類題鞏固

題以類聚，法以通匯.筆者再提供系列類題，以鞏固各法，體會萬法朝宗，多題歸一.

注：部分習題，學悟于各網(wǎng)友微信公眾號，特此一并鳴謝.

此題是上面兩小題的進化版本，需要先利用∠POA＝45°，構(gòu)造等腰直角三角形，然后再造“一線三直角”，最后求交點坐標.

該解法從頭至尾幾乎口算完成，不需設(shè)元，緣在構(gòu)造等腰直角三角形時，將已知點A作成了直角頂點，這一點值得關(guān)注，否則需要設(shè)元求解，稍顯麻煩；

此外，也可以利用矩形大法得出的兩角和為45°的計算公式秒殺：

此題是第3題的變式，依托確定的∠POA，先構(gòu)造直角三角形，然后再造“一線三直角”相似結(jié)構(gòu)，最后求交點坐標. 

要求點P的坐標，只要求出直線OP的解析式，這就需要找到OP上除點O外的另一個點坐標，上述解法都是通過構(gòu)造直角三角形，再造“一線三直角”結(jié)構(gòu)，從而求出所需點B的坐標；

除了求點B外，還可以通過求點A繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)∠AOP所對應的點A′坐標，而這又是一個極其有趣的話題，請看下面三個核心問題：

問題1：已知點A（3，4），將點A繞原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)45°角，求其對應點A′的坐標.

解析：一個圖形的旋轉(zhuǎn)（運動）本質(zhì)是點旋轉(zhuǎn)（運動）；反過來，一個點的旋轉(zhuǎn)（運動）可以捆綁成一個圖形的旋轉(zhuǎn)（運動）；

第一步（“捆綁旋轉(zhuǎn)”）：如圖8－1，作AB⊥y軸于點B，則AB＝3，OB＝4；

本題中，點A繞原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到點A′，可捆綁看成：Rt△OAB繞原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到Rt△OA′B′，則A′B′＝3，OB′＝4，且∠BOB′＝45°；

第二步（“一線三直角”）：如圖8－2，依托旋轉(zhuǎn)后的Rt△OA′B′，作系列“水平－豎直輔助線”，構(gòu)造“一線三直角”相似結(jié)構(gòu)，即Rt△OCB′∽Rt△B′DA′；

事實上，△OCB′與△B′DA′都是等腰直角三角形；

問題2：已知點A（4，6），將點A繞原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)a角，其中tana＝1/2，求其對應點A′的坐標.

解析：第一步（“捆綁旋轉(zhuǎn)”）：如圖8－3，作AB⊥y軸于點B，則AB＝4，OB＝6；

將Rt△OAB繞原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)a角得到Rt△OA′B′，則A′B′＝4，OB′＝6，且tan∠BOB′＝tana＝1/2；

問題3：已知點A（a，b），將點A繞原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)a角，求其對應點A′的坐標.

解析：不失一般性，不妨都在第一像限內(nèi)思考問題：

第一步（“捆綁旋轉(zhuǎn)”）：如圖8－5，作AB⊥y軸于點B，則AB＝a，OB＝b；

將Rt△OAB繞原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)a角得到Rt△OA′B′，則A′B′＝a，OB′＝b，且∠BOB′＝a；

第二步（“一線三直角”）：如圖8－6，依托旋轉(zhuǎn)后的Rt△OA′B′，作系列“水平－豎直輔助線”，構(gòu)造“一線三直角”相似結(jié)構(gòu)，即Rt△OCB′∽Rt△B′DA′；

故B′C＝bsina，OC＝bcosa，A′D＝asina，B′D＝acosa，點A′的坐標為（acosa＋bsina，bcosa－asina）.  

此法是求一點繞著某定點旋轉(zhuǎn)一定角的通解通法，易于實施，便于掌握，非常有趣，值得擁有.

上面的題3與題4，也可借助此法單獨求出相應的點A′坐標后，再求直線OP的解析式，可自行探索，不再贅述.

注：此法學悟于八一常州之行（2017年8月1日），昆明鄭帆大神于第一屆數(shù)學行者大會上精彩報告，在此特別感謝，并感慨良多，多出去，勤學習，好處多多.

點評：解法1中，將已知點B作成了直角頂點，使得計算異常輕松，從頭到尾幾乎口算，其他類似解法，不再詳述.

點評：解法2的構(gòu)思，讓筆者都直呼過癮，巧妙而精彩，由此可見，本文中提及的幾大策略是重要的解題法寶，需要靈活掌握并能應用嫻熟，方可立于不敗之地；

同理，也可以在y軸上補出一個45°角，構(gòu)造“母子型相似”，求出直線AC與y軸的交點亦可，請自行探究；

此外，利用“母子型相似”的解題策略，筆者又有如下的“驚人之舉”：

點評：解法3與解法2的本質(zhì)相同，前者依托于目標點C去構(gòu)造“橫平豎直輔助線”，并結(jié)合相似技巧，“眼中有角，心中有比”，巧妙設(shè)元，順利得解，真是讓人“大跌眼鏡”.

注：此法巧在設(shè)元上，“哪里有比例，哪里有巧設(shè)”，確定的角對應著確定的比，否則直接設(shè)出點的坐標，計算量將異常的大.

點評：此法表示AF、CF的長度時，理應過點C向EF作垂線，但因數(shù)據(jù)巧合性，垂足恰好為點E，故圖中并未作出，特此說明；

另外，也可以鎖定AC與x軸的交點，類似此法構(gòu)造“一線三等角”結(jié)構(gòu)，求出這個交點，然后聯(lián)立直線AC與雙曲線的解析式求出點C的坐標；

構(gòu)造“一線三等角”時，所謂“一線”既可以是“水平線”，也可以是“豎直線”甚至于“斜線”，如圖10－5及圖10－6所示，不再贅述;

三種構(gòu)造法大同小異，相對而言，此題反而構(gòu)造“斜線”更簡單，有趣有趣.

點評：此題采取“邊對角→輔助圓”策略，相對而言，比較繁瑣，緣在這里的邊BD非定邊，導致設(shè)元求解，鎖定圓心，實施“橫平豎直輔助線”，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列方程求解，相當于“動邊對定角”；

此外，借助輔助圓策略，此題還可以如圖10－8構(gòu)造△ABD的外接圓交x軸于另一個點E，則∠BEO＝∠BAD＝45°，從而OE＝OB＝2，點E的坐標為（2,0），則AE⊥x軸，于是AD為直徑，從而∠ABD＝90°，再實施“一線三直角”解題策略，也可解題，但此法取決于數(shù)據(jù)巧合，不甚推薦.

此外，也可以如圖10－10所示構(gòu)圖，不再贅述；

若是構(gòu)造等腰直角三角形中“半角模型”，也并非不可以，如圖10－11所示，構(gòu)造等腰Rt△ADE，可證E、B、D三點恰好共線；

基本策略七：45°→“12345”秒題技

此即于頭另一絕招“12345秒題技”，這個結(jié)論還可以構(gòu)造常見的“倍半角模型”得到，如圖10－13所示，由此結(jié)論可以快速秒題，同解法7；

此外，這個圖形豐富多彩，還可以得到以下神奇數(shù)據(jù)，用于秒題，往往事半功倍：

⑥可以看作②的推導，尤其是等式“1”＋“2”＋“3”＝180°，讓人感嘆造物主之神奇，如圖10－14所示，這里的紅色數(shù)字指相應角的正切值，而藍色數(shù)字指三邊比例，記住這些邊角關(guān)系，往往可以口算答案.

拿本題來說，還有如下解法：

        解法8：如圖10－15，由“1/2”＋45°＝“3”，可知tan∠DAG＝3，故DG＝6，點D的坐標為（0,－3），下略. 

基本策略八：45°→“捆綁旋轉(zhuǎn)”

解法8：如圖10－16，將定點B繞定點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°至點B′，則點B′落在AC上；

第一步（“捆綁旋轉(zhuǎn)”）：如圖10－17，作AG⊥y軸于點G，則AG＝2，BG＝1；

點B繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到點B′，可捆綁看成：Rt△ABG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到Rt△AB′G′，則AG′＝2，B′G′＝1，且∠GAG′＝45°；

第二步（“一線三直角”）：如圖10－18，依托旋轉(zhuǎn)后的Rt△AB′G′，作系列“水平－豎直輔助線”，構(gòu)造“一線三直角”相似結(jié)構(gòu)，即Rt△AEG′∽Rt△G′FB′；

點評：解法8計算量略微大些，給人一種“殺雞牛刀”之感，構(gòu)造看似復雜，卻是套路，都是“橫平豎直輔助線”，這是坐標系中常見的解題策略，體現(xiàn)了改斜歸正的思想方法，“捆綁旋轉(zhuǎn)”確實是解決有關(guān)夾角問題的一類通解通法.

類比各法，針對本題，“12345”秒題技最萊斯，可實現(xiàn)秒殺；“一線三等角”（含“一線三直角”）以及“母子型相似”都是不錯的解法，計算量不大，又是常用的解題套路；而構(gòu)造輔助圓以及“捆綁旋轉(zhuǎn)”稍顯麻煩.

像這樣的解題后類比與反思是不可多得的學習好方法，教育家弗賴登塔爾說：“反思是數(shù)學思維活動的核心和動力，沒有反思，學生的理解就不可能從原有水平升華到更高水平.”

題7.（2017年浙江麗水）如圖11，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝－x＋m分別交于x軸、y軸于A，B兩點，已知點C（2，0）.
(1)當直線AB經(jīng)過點C時，點O到直線AB的距離是________；   

(2)設(shè)點P為線段OB的中點，連結(jié)PA，PC,若∠CPA＝∠ABO，則m的值是________. 

點評：解法1中，將已知點C作成了直角頂點，使得計算異常輕松，從頭到尾幾乎口算.另外，還需狠抓確定的∠PAO，“眼中有角，心中有比；

其他類似解法，如過點A作CP或AP的垂線等，不再贅述.

點評：構(gòu)造“母子型相似”解決此題，簡單地讓人不可思議.幾何之美，溢于言表，數(shù)學好玩，玩好數(shù)學.同學們，愛上數(shù)學，愛上幾何吧！

點評：這里的“一線”，也可以是“水平線”或者“斜線”，譬如圖11－4所示，不再贅述;

相對而言，“豎直線”最簡單.

利用關(guān)鍵條件∠CPA＝∠ABO，可推得：∠OPC＝∠BAP，據(jù)此還可以有如下精彩解法：

基本策略四：“邊對角”→輔助圓

解法5：如圖11－6，作△ACP的外接圓⊙M，可證明圓心M剛好落在AB上，不再詳述.

點評：此題依然相當于“動邊對定角”，相對而言，比較繁瑣，不推薦使用.

基本策略五：45°→“半角模型”

點評：此題用這兩種“半角模型”解決太累，計算復雜，不推薦使用.

點評：“12345”如同外星人留下的神秘語言般，讓人感嘆于頭之恐怖、數(shù)學之神奇.

第二步（“矩形大法”）：如圖11－11，依托旋轉(zhuǎn)后的Rt△PO′C′，作系列“水平－豎直輔助線”，構(gòu)造矩形PQGH，則Rt△PHO′∽Rt△O′GC′；

另外，也可以如圖11－12所示構(gòu)圖，在Rt△ADC′中，直接利用tan∠DAC′＝1/2求解，可自行探究.

題8.（來源：上海黃喆大神的微信公眾號“吉吉初中數(shù)學小站”）如圖12，再矩形ABCD中，E是邊AB上的一點，AE＝2，BE＝4，連接DE，作∠DEF＝45°交邊BC于點F，若AD＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

其他類似解法，譬如過點D或點F作EF的垂線等，不再贅述. 

點評：這里的“一線”，也可以作成“水平線”或者“斜線”，如圖12－5及圖12－6所示，利用△NEF∽△MDE均可解決問題，不再贅述.

 利用∠A＝∠B＝90°，還有如下精彩的“雙一線三直角”解法：

基本策略四：構(gòu)造“相依型相似”（注：此法來源于黃喆大神）

解法6：如圖12－8，分別在AD、BC上取點M、N，使AM＝AE＝2，BN＝BE＝4，則∠AME＝∠AEM＝∠BNE＝∠BEN＝45°，從而有：∠EMD＝∠FNE＝135°且∠MEN＝90°；

由∠DEF＝45°，導角可得：∠MED＋∠NEF＝45°，又∠MED＋∠MDE＝45°，故∠NEF＝∠MDE；

點評：“相依型相似”源于上海黃喆老師，筆者對其極感興趣，總有種感覺，這又是處理此類“張角問題”的另一通法，值得大家揣摩；

另外，“相依型相似”的一般形式如圖12－9所示，通過導角可以推出：最后構(gòu)造的兩對陰影三角形相似.彼此守望，相偎相依，取名“相依型相似”，再恰當不過，有趣有趣；

“相依型相似”與“一線三等角”有異曲同工之妙，構(gòu)造也有雷同之處，其應用應該也極其廣泛，需引起廣泛關(guān)注.

基本策略六：45°→“捆綁旋轉(zhuǎn)”＋“矩形大法”

解法8：第一步（“捆綁旋轉(zhuǎn)”）：如圖12－11，將Rt△EBF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)45°至Rt△EB′F′，則EB′＝EB＝4，B′F′＝BF＝y(tǒng)，且∠BEB′＝45°；

第二步（“矩形大法”）：如圖12－12，依托旋轉(zhuǎn)后的Rt△EB′F′，作系列“水平－豎直輔助線”，構(gòu)造矩形GHKF′，則Rt△EHB′∽Rt△B′GF′；

點評：類比各法，針對本題，“矩形大法”得到的兩角和正切公式最萊斯，可實現(xiàn)秒殺；“一線三等角”（含“一線三直角”）以及“相依型相似”都是不錯的解法，計算量不大，也是常用的解題套路；

若是采取構(gòu)造輔助圓或者“半角模型”的話，計算量更大，強烈不推薦.

最后，再提供一道以拋物線為背景的“張角問題”：

點評：類似地，也可以過點P作垂線等，但不推薦，否則直角頂點未知，需要再設(shè)元解題，而解法1直角頂點D已知，故而順風順雨；

理論上，在直線CD上任取一個已知點，將之作成等腰直角三角形的直角頂點，都可順利解決，如圖13－2所示，可自行探究.

點評：對于此類的“張角問題”，可以其一邊上某點處作水平或豎直輔助線，造成某水平邊或豎直邊對此角結(jié)構(gòu)，然后在這條線上補出與此張角相等的角，從而構(gòu)成“母子型相似”結(jié)構(gòu)，這是解決“張角問題”的一類通解通法，比較好用，值得擁有，其核心結(jié)構(gòu)如圖13－4所示.

點評：因本題數(shù)據(jù)的特殊性，最后可以看出，點P、D的縱坐標相等，故過它們向y軸作垂線時，垂足重合，即為圖中的G點，這個巧合導致作圖稍受干擾，注意即可；

另外，這里的“一線”，也可以作成“水平線”或“斜線”，請自行探究，一般情況下，選擇現(xiàn)成的“一線”比較適恰.

點評：“12345”秒題技，技近乎道，神乎其神，簡單地令人發(fā)指，其根本原因在于數(shù)據(jù)的特殊性，很多時候命題人要考慮到數(shù)據(jù)的簡單、計算的方便，不可避免地要設(shè)計成“12345”相關(guān)數(shù)據(jù)，故而其應用極廣，專用來秒題.

點評：通過前面的解法探究可以看出，緊抓45°不放手，緊扣一條主線“45°構(gòu)造等腰直角三角形構(gòu)造K字形全等”，總是可以將此類題型秒殺在無形之中，當然也可以構(gòu)造平時解題中積累的其他模型，如“半角模型”等；

其實45°僅僅是一個特例、一個代表，將45°改為30°等特殊角，甚至于改成更一般的已知三角函數(shù)值的某個確定角，都可以類似解決.

題10.如圖14，拋物線y＝ax2＋bx－4a經(jīng)過A(－1，0)、C(0，4)兩點，與x軸交于另一點B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點D(m，m＋1)在第一像限的拋物線上，求點D關(guān)于直線BC對稱的點的坐標；

（3）在（2）的條件下，連接BD，點P為拋物線上一點，且∠DBP＝45°，求點P的坐標．

此題，主要針對第（3）小問探究，且給出部分解法，其他解法自探，另外對此進行適當變式，以尋求此類問題的通解通法；

解析：（1）易求得拋物線的解析式為y＝－x2＋3x＋4；

（2）將點D(m，m＋1)代入y＝－x2＋3x＋4中可得m＝3（m＝－1舍去），故點D的坐標為(3，4)；

由C(0，4)及D(3，4)，可知CD平行于x軸，即C、D兩點一定是拋物線上的兩個對稱點；

令y＝0，得B（4，0），則OB＝OC＝4，從而△BCO是等腰直角三角形，故∠BCO＝45°，且∠BCD＝45°；

因而D(3，4)關(guān)于直線BC的對稱點D′必然落在y軸上，如圖14－1所示，且CD′＝CD＝3，即點D′(0，1)；

對于第（3）小問：

基本策略一：45°→等腰直角三角形→一線三直角

解法1：下面提供兩種構(gòu)造法，并簡要分析繁簡程度：

方式一：如圖14－2，則Rt△DMQ≌Rt△QNB；

設(shè)DM＝QN＝a，MQ＝NB＝b，利用MN＝OC＝4，可得：a＋b＝4；利用BN－DM＝BO－DC＝1，可得：b－a＝1；

點評：上述兩種構(gòu)造等腰直角三角形的方法都屬于解決此類問題的通解通法，但繁簡程度不一：前者要求的Q點坐標是構(gòu)造的等腰直角三角形的直角頂點，換言之依托∠DBP＝45°構(gòu)造的等腰直角三角形的直角頂點被作成了未知的頂點，導致只能列二元一次方程組求解之；而后者所作的等腰直角三角形的直角頂點為點D，是已知點，要求此時的Q點坐標，只需構(gòu)造K字型全等，口算即可，簡單至極；

看來由45度聯(lián)想構(gòu)造等腰直角三角形，還不能“任性”，雖然“條條大路都可通羅馬”，但崎嶇程度不一啊，耗時、計算都不一樣，最好將“已知點”作成等腰直角三角形的直角頂點，這樣會使你的計算“一馬平川”，也體現(xiàn)了“以不變應萬變”的數(shù)學思想方法.

基本策略二：基于確定性分析下的導角轉(zhuǎn)化法

解法2：注意到∠DBP＝∠CBO＝45°，則有：∠DBC＝∠PBA；

∠DBC是確定的，從而∠PBA也是確定的，確定的必可求；

點評：轉(zhuǎn)化無處不在，沒有轉(zhuǎn)化，就沒有數(shù)學；

當然也可以“增量巧設(shè)”：設(shè)P（4－5t，3t），其中t＞0，再代入拋物線求解即可；

其他解題策略不再贅述，可自行嘗試其他解法.

變式1：在（2）的條件下，連接BD，點P為拋物線上一點，且∠DBP＝135°，求點P的坐標．

簡析：由∠DBP＝135°，可知其補角為45°，從而問題轉(zhuǎn)變?yōu)橥孓D(zhuǎn)45°，前面的解法再來一遍即可，譬如圖14－5所示，注意這里的點P是直線BQ與拋物線的另一個交點，限于篇幅，并未畫出，但不影響求解；

易知：點Q的坐標為（7，5），下略.

點評：一個靈巧的轉(zhuǎn)化猶如一次華麗的轉(zhuǎn)身， 135°問題轉(zhuǎn)化為了45°問題，玩轉(zhuǎn)45°不在話下，數(shù)學的趣味性不言而喻，做一個靈動的數(shù)學人.

變式2：在（2）的條件下，連接BD，點P為拋物線上一點，且tan∠DBP＝2，求點P的坐標．

簡析：如圖14－6，易得Rt△DMQ∽Rt△BND，由tan∠DBP＝2，可知其相似比為2，從而口算得出：Q（－5,2），下略.

點評：變式2完成了從“玩轉(zhuǎn)45°”到“玩轉(zhuǎn)任意角”的重大突破，個中樂趣，回味無限；

另外，即便針對這種一般性問題，前面提及的若干解題策略依然適用，不再贅述.

五、練習提升

最后提供幾道網(wǎng)上淘來的相關(guān)習題，供大家練習之用：

練習1：如圖15，在平面直角坐標系中，點A（－1,0），B（0,3），C是x軸負半軸上的一點，且∠ABC＝45°，求點C的坐標.

通過本文的探究，可以看出，解決此類“邊對角”問題，即所謂“張角問題”，有以下七種常見的處理策略：①構(gòu)造“母子型相似”；②構(gòu)造“一線三等角”；③構(gòu)造“輔助圓”；④構(gòu)造“半角模型”；⑤構(gòu)造“矩形大法”；⑥“12345”秒題技；⑦“捆綁旋轉(zhuǎn)”等，如何靈活運用，何以應對自如，這就需要同學們在今后的學習中慢慢體悟，方可變?yōu)樽约旱慕忸}套路，稱為傳說中的“學霸”.（哈哈……）