不定期分享一些本人原創(chuàng)文章、說題短文或者專家系列講座，主要對象針對初中學生，尤其是初三學生，對于解題研究展開系列探究！
全國大咖，云集學堂，特級正高，齊聚一堂，首先真心地感謝各位嘉賓的到來，謝謝！我是來自江蘇省揚州市高郵市贊化學校的段廣猛，小地方，小老師！本人不才，今天借著草根學堂平臺這個好機會，更多的是抱著學習的態(tài)度來的，望各位大咖、各位老師能指教一二！
今天的講座選題大多來自本人平時的教學，因而有些題目可能比較眼熟！另外，鄙人準備的東西較多，估計要放“連續(xù)劇”了，今天的第一集能講多少就講多少，我會盡可能慢地等待大家的思考與交流！
一點說明：下面的講座內容，因為基本上都來源于本人發(fā)布于微信公眾號上的文章，因為有的文字表達針對的對象可能會是學生等，比如出現(xiàn)一些“同學們”等字眼，請海涵！另外，還有可能會提及本人的相關作品名稱，有興趣的可以去公眾號查閱，謝謝！
直奔主題，今天我要講的話題是《思想決定高度——論初中生幾種常見的數(shù)學解題策略與方法》，共分三個板塊：
板塊一：抓不變量，以不變應萬變的解題策略（主要以等腰、相似、平四等最基本的問題入手）；
板塊二：轉化與化歸思想之“斜化直”策略（主要以所謂“改斜歸正”大法及三角形面積問題之“寬高公式”等問題入手）；
板塊三：軌跡思想（主要以一些“軌跡直線、圓”及所謂“瓜豆原理”等問題入手）！
引子：于特談整體法與因果法
先以偶像于新華大師講題為引，引出吾所謂“思想決定高度”之說法，以此抬升本次講座的質量！于特談“利用幾何圖形的確定性分析與因果分析法解題”：
題1：如圖1，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，將△AOB繞頂點O逆時針旋轉到△處，此時線段與BO的交點E恰為BO的中點，求線段的長度.
于特布道：考慮圖形的確定性，這是在很大范圍里的思考方法；只要教師堅持訓練，往往也是學生最容易想到的思考方法.
無論是這題，還是接下來的題2，都可以思考利用圖形的確定性來尋找到有效的解題思路；
對于這個圖形，聚焦思考△A'OE，如圖1-1所示，你就會發(fā)現(xiàn)，OA'長已知，∠A'大小確定，OE也已知，因此△A'EO可解，從而解出A'E長，由此即可求出B'E.
現(xiàn)在的問題是，長期以來，由于極大多數(shù)教師自身不具備這種思考方法，因此學生也缺少這種思考方法.
題2：如圖2，拋物線y=ax(x-6)（a<>
于特布道：考慮圖形的確定性，兩種解答問題的方法都會極其自然地浮出水面；
既然點B的橫、縱坐標相等，那不用說，肯定要連結OB輔助線再作進一步思考，如圖2-1所示；
在這種情況下，第一種思考方法是：△AOB中，∠B的大小確定，∠AOB的大小也確定，OA長已知，△AOB滿足“AAS”，說明此時△AOB已經(jīng)確定，一定可解，從而問題解決；
不清楚大家能夠理解這種思考方法嗎？數(shù)學解題，往往先“大勢感知”，而后再“具體操作”，教師在對學生講解時，一定要講解出這樣的味道！
什么叫尊重人的認知規(guī)律？先“大勢感知”，而后再“具體操作”，這種講解，就是尊重人的認知規(guī)律！打一個簡單比方，對于一個三角形來說，如果已知“邊角邊”了，那么你說，這個三角形的形狀乃至大小確定了沒有？當然確定了！
這種感知過程與“SAS的全等判定定理”有何相關呢？是有相關，但感知在前，定理在后！即使不學那個定理，這個感知與認可的過程，學生也是具備的.
事實上，我在教學“三角形全等判定定理”時，往往就是先從感知，即體會圖形的確定與變化過程，感知提出可能的判定方法，然后再逐個進行教學，并體會不同判定方法之間的邏輯關系.也正因為具備了這種思考方法，從未學習過“勾股定理”的學生雖然不知道“勾股定理”結論，但他卻會很自然地提出問題，即對于一個直角三角形來說，如果兩條直角邊已知，那么斜邊必可求，由此，學生獨立地提出了一個非常有價值的問題！
然而在我們的實際教學中，可悲的是什么呢？可悲的是，這里沒有“提出問題”的過程，往往要么是教師直接告知學生的結論，然后證明這個結論；要么就是通過“偽探究”的情境，假裝經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)勾股定理的過程！哎，至少我個人的體會，這是讓人痛心疾首的！
從大道理講，學生的創(chuàng)新意識從何而來？我想，學生首先要學會提出問題，感知問題的存在過程！
再講這道題的第2種思考方法：其實下面這種思考方法也是極其自然的，對于高手來說，依據(jù)這樣的過程，可以口算，當然這其中也有令當下教學一線苦惱的地方.
有兩種初中生應該具備的思考問題的方法，我粗略地歸納并命名為“整體法”與“因果法”：對于利用幾何性質巧妙構圖而解決問題的方法，我稱之為“整體法”；對于順藤摸瓜，依據(jù)圖形的確定性，逐步破解的解決問題的方法，我稱之“因果法”.
個人認為，如果教師長期一直堅持將“整體法”與“因果法”并舉教學的話，那么對于學生來說，這種想法也是極其自然并且作用極大的。
如圖2-1，考慮點O處的幾個角，你會發(fā)現(xiàn)，∠AOB的大小是確定的（45°），∠BOD的大小也是確定的（正切值為1/4），因此理論上，∠AOD的大小必可求；
當然我們教師會急急忙忙地說，這里想得通，但做不下去.但我要說的是，你做不下去，不代表就沒有解法.事實上，這本身就是一個非常值得研究、也非常有趣的專題.教師要有這樣的鉆研精神：既然問題是合理的，我為什么不想方設法去解決呢？
事實上，這里無論采用“矩形大法”或者其他如“一線三等角”的方法，都可以求解出來.而對于我來說，這里的解答可以做到口算.因為45°是一個神奇的特殊角，蘊含許多神奇特殊的性質.
有人看到這樣的情境，往往就會產(chǎn)生反感情緒，認為這涉及到高中知識.我想，這樣的情緒是要不得的.作為一名教師，你對數(shù)學知識沒有好奇心，沒有欣賞的情感，又如何培養(yǎng)學生的探究習慣與學習數(shù)學興趣呢？其實上述結論的證明幾乎是顯然的，圖2-2給出了“無字證明”.
另外，對數(shù)學有興趣的人，你就會發(fā)現(xiàn)，剛剛這個小結論，非常有意思.意思在什么地方呢？
如此一想，對于tan∠DOB=1/4而言，那么另一個分數(shù)自然就是tan∠DOA=3/5了！
在圖2-1中，既然∠DOA的正切值為3/5，那么∠BAO的正切值是多少呢？當然是5/3了.
再回歸到前面對三角形確定性的感知過程：在△AOB中，∠AOB的大小已知，∠BAO的大小也已知，OA長是已知的，因此△AOB滿足“ASA”，即這個三角形是確定的，從而這個三角形一定可解.
具體如何解呢？請記住“哪里有比例，哪里就有巧設”！給大家看一個圖形，如圖2-3所示，下面就什么也不要解釋了.
所以我想說：感受圖形的確定性，解三角形的知識功底以及比例巧設的意識，……，這些都是一名數(shù)學教師重要的基本功，也應該是傳授給學生的重要解題思想方法與策略.
【導師卜特】江蘇卜以樓：“思維的自然性與思維的內存是成正關聯(lián)的！”
上面是于新華大師在群里給教師普及的一些重要的解題思想與策略，其中至少有兩點讓人“余味無窮”，一是“確定性思想”，二是“因果分析法”！本人斗膽在前期的一篇作品中將之取名為“基于確定性思想的因果關系分析法”，并且在平時的一線教學中也確實經(jīng)常給學生提及，收效還是比較顯著的！這些最基本的解題思想與策略應該是我們平時教學中應該滲透的重點與難點，這是有效避開學生就題論題而成為“解題工具”的重要方式與方法，思想決定高度，只有真正教會學生或者學生真正學會每道題目的數(shù)學思想方法，真正解到題目中去了，我想我們的解題教學才是真正好的教學了，以求真正做到“解一題、會一類、通一片”！
“確定性”與“構造法”補充資料
首先，提出一個小建議：對下面的補充材料暫時不要起抵觸心理，有老師可能第一反應就是高中的知識，是的，知識與結論可能是高中的，但我想說方法是初中的，用初中搞定知識解決高中的內容，為什么不可以呢？當然，若是教給學生確實要考慮教授的對象，得考慮學生的接受能力，本人在課堂上也確實沒有提及過這些內容，只針對部分優(yōu)等學生一起玩了玩下面的方法！教學上，各位老師都是我的前輩，我就是個小菜鳥！后面會引出幾個本人教學實際中學生遇到的相關題目，大家會有所收獲的！
有的時候，在一些綜合計算題中，學生若用“確地性思想”去分析問題時，就很有可能會碰到這么一個簡單但又不知如何下手的問題，即有兩個確定的角，想要去求這兩個角之和或之差的三角函數(shù)值！
基本類型一（已知兩角的三角函數(shù)值，求這兩個角之和的三角函數(shù)值）：
值得一提的是，這里的“斜置”邊長其實都不需要計算的；
我這里算出來，大家可以看的更清楚，“斜”邊全部提供比例，這也是一種極其重要的重要的“斜化直”思想；
當然大家最好思考一個問題，這里如何設邊長，注意這里的“直邊長”都是整數(shù)！
“哪里有分母，哪里有巧設”！“哪里有比例，哪里有巧設”！
基本類型二（已知兩角的三角函數(shù)值，求這兩個角之差的三角函數(shù)值）：
【活躍】湖北劉光杰：“背靠背，改方向！”
【活躍】山東濟南朱一山：“加：外；減：內！”
【潛水】安徽蚌埠王春春于特說過：“設小不設大，求差向內做！”
這個問題可以經(jīng)過如下巧妙的處理：tanα=tan[（α+β）-β]，這樣問題變?yōu)榱嘶绢愋颓樾味?，下略?/p>
此外，我們還可能遇到這樣的情境，已知一個銳角的三角函數(shù)值，求其半角或者二倍角的銳角三角函數(shù)值，前者可簡稱為“由倍到半”的過程，后者可簡稱為“由半到倍”的過程！這個專題在本人作品《用“倍半角”模型解題事半功倍》中已詳細介紹過，有興趣的同學可拿來再復習鞏固下！
在《用“倍半角”模型解題事半功倍》一文中，我們就知道“由倍到半”的過程極其簡單，既然如此簡單，也沒必要去探究其他的處理通法了！這兒我想表達的是“目標決定方向”，既然已經(jīng)有一個簡單的不能再簡單的通解通法能處理相關問題了，那去探究其他解法反而是多此一舉，可能還會將問題搞得更復雜，沒這個必要去耗時耗力不討好！
但是“由半到倍”相對而言麻煩些，還有設元，勾股計算，其實也不是太麻煩，詳見上述作品！其實我們今天介紹的“矩形大法”也可以搞定這個稍顯復雜的“由半到倍”的過程，而且計算簡潔，直接口算，無需設元，且去瞅瞅：
我想說這里的構造方法高中學生會嗎？應該不會吧，這個方法還是初中的方法啊！只不過用初中的方法解決了高中的公式或問題而已，為什么要排斥呢？！再說，我們數(shù)學探究的情懷哪去了，難道真的僅僅是為了那一張“中考卷”在學數(shù)學嘛？做數(shù)學、學數(shù)學得有接受美、審視美、欣賞美的情懷與態(tài)度！至少在我看來，這里的構造真的很美！
上午監(jiān)考，下午閱卷，晚上講座！說來也巧，今天學生的模擬試卷上有幾道題跟我今天講的主題有些關聯(lián)，現(xiàn)摘錄一道出來，大家可以先思考下！
有一道網(wǎng)格求三角函數(shù)題，本人思考后，覺得非常有趣，大家可以想一想：
引題1（網(wǎng)格求三角函數(shù)）：如圖所示的方格紙中，每個小正方形的邊長為1，其中有三個格點A、B、C，則sin∠ABC= .
借助“確定性思想”，很明顯∠ABC是確定的，既然是確定的，一定是可解的，下面看我如何玩轉“網(wǎng)格題”；
解法一（從邊的角度看“確定性”，等面積法）：
方格里有兩個東西肯定可求，一是格點多邊形的面積（矩形框圖大法）；二是任意兩格點之間的距離；
這就自然引出了此類方格中求三角函數(shù)的通解通法如下：
第一步：連接AC，求△ABC的面積；
第二步：作高線，構造直角三角形求三角函數(shù)值；
解法二（直接法，利用網(wǎng)格構造直角三角形，結合相似比求三角函數(shù)值）：
第一步：如圖，在網(wǎng)格中找到點D，連接AD交BC于點G，則易知AD⊥BC，構造出Rt△ABG，只要求出AG即可；
如下圖所示構圖：
解法四（平移思想，矩形大法，本質上做到了“兩格點問題”轉化為“三格點問題”）：
在解法二中，鎖定Rt△ABG去計算sin∠ABC的值，這里點G不是格點，導致了計算的繁瑣，筆者突發(fā)奇想，能不能通過平移等手段，將之轉化為三格點問題，于是有了下面的趣法：
值得一提的是，這里最終的網(wǎng)格不畫出來也已經(jīng)解決了原問題，也就是通過另外的矩形構造大法解決了問題；
但我的初衷是想把原來的“兩格點問題”轉化為“三格點問題”，這里通過巧妙的處理最終真的實現(xiàn)了這個轉化，趣味性十足；
并且在還原網(wǎng)格的過程中，我體會到了原來“巧設”技巧放在網(wǎng)格中處理其實目的就是將非格點問題轉化為了格點問題，真是越來越有趣了！
簡析：（1）利用二次函數(shù)頂點公式易知m=-1，故二次函數(shù)的解析式為y＝-x^2＋2x＋3，且點A、B的坐標分別為（-1，0）、（3，0），不再詳述；
（2）點P（0，t）（t<>
第一步：畫出符合題意的草圖，如圖2所示；
第二步：分析草圖2會發(fā)現(xiàn)隱藏著一個等腰Rt△PQE，“見等腰直角三角形，造K字型全等”，如圖3所示，注意這里的PF=QR=-t>0，再利用“平移公式”得點E的坐標為（-t，t+5）；
第三步：“有點即代入”，將點E的坐標代入拋物線得t+5＝-（-t）^2＋2（-t）＋3，解得t=-1或-2，又因為t<>
（3）這是一個有關角的存在性問題，可以采用“抓不變量”的審題策略結合“確定性思想”去認真讀讀題目、理解題意：與∠DAE相關的三個點A、D、E都是確定的，因此∠DAE也是一個確定的角，“既然是確定的，一定是可解的”，∠DAE的三角函數(shù)值一定可求；這樣與其相等的∠MCB的大小也是隨之確定的，而與∠MCB相關的兩個點C、B都是確定的點，現(xiàn)在需要尋找的就是第三個點M，它也一定是確定的，肯定可解；
用這些“確定性思想”去分析問題，結合“不變的背景（或框架）”去尋找符合題意的目標，這種最基本也是最自然的分析方式值得同學們用心學習并加以運用；
回到本問的解答中，主要分以下幾步，看我如何“庖丁解牛”：
第一步：如圖4所示，什么事也不干，就先按題目要求連接AD、AE，然后去認真分析∠DAE，想辦法求出其三角函數(shù)值，解出此角；
相不相信，∠DAE所在的△DAE會是一個特殊的三角形，很有可能是直角三角形額，如圖5那樣；
做數(shù)學題就是需要大膽而心細，大膽地去猜，但又不是毫無依據(jù)地瞎猜；細心地去推理證明剛剛的猜想，“瞎想與遐想”有時候真的很重要，這是一種重要的數(shù)學感性意識；
第二步：驗證△DAE是個直角三角形，進而得到∠DAE的三角函數(shù)值，如tan∠DAE；
多數(shù)同學第一反應都會用勾股定理去驗證△DAE是個直角三角形，這不失為一種好方法，但三個邊長均屬于“斜”邊長，計算稍顯麻煩，下面筆者采用另一種解法去驗證△DAE是個直角三角形，而且順帶求出tan∠DAE；
前文我們有提過“見直角三角形，造K字型相似”，這里我們變通為“證直角三角形，造K字型相似”，如圖6所示，依托于△DAE的各頂點作“水平—豎直輔助線”得Rt△DGE及Rt△EHA，若能證明這兩個確定的直角三角形相似，則就能通過導角得到∠DEA為直角；
事實上，這兩個直角三角形都是等腰直角三角形，可以通過普適地“相似法”導角得直角∠DEA，也可以抓住這里的“特殊性”，即∠DEG=∠AEH=45°輕松得到∠DEA為直角，且無論是通過相似還是通過求邊都可導出tan∠DAE=1/3；
有趣的是，這里是通過構造“K字型”相似來證明直角三角形，另外有時候若需要證明等腰直角三角形的話，也可以通過構造“K字型全等”輔助線來完成，是一種重要的思路方法；
第三步：確定tan∠DAE=1/3后，與之相等的∠MCB的大小也就隨之確定了，接下來就要依托確定的邊CB先畫出符合題意的∠MCB，很明顯符合條件的點M有兩個，如圖7所示，這里存在兩種情況，希望同學們一下子就要想到，這樣的幾何直觀極其重要；
接下來就是分別去求找到的點M了，目標既然已經(jīng)確定，那就要堅定方向，矢志不渝地去集中全力去思考，下面看筆者如何“玩轉任意角”獨步天下，這一點其實在本人作品《廣猛說題系列之由一道月考題談通性通法與特事特辦、由玩轉45度到玩轉任意角》中曾重點提及過，有興趣的同學可拿來溫故一下；
第四步：前面已經(jīng)得到tan∠M1CB=1/3，如圖8所示，依托這個確定的∠M1CB，過已知點B作BN⊥CM1交CM1于點N，構造出Rt△BCN；
值得一提的是，這里將已知點B作成直角頂點，值得同學們關注，這樣構造才能真正實現(xiàn)口算，是構造直角三角形這一步的精髓所在；
第五步：造出確定的Rt△BCN后，“見直角三角形，造K字型相似”再次發(fā)揮用武之地，如圖9所示，易知Rt△BCG∽Rt△NBH，且其相似比為3，這里tan∠M1CB=1/3提供的就是所需相似比，從而得N（2，-1）；
然后利用點C、N兩點坐標求出直線CM1的解析式，再與拋物線聯(lián)立解方程組求交點坐標，即可求出所要尋找的第一個點M1的坐標，不再詳述；
有趣的是，這里的直角三角形不是已知、也不是所求，而是依托于題目中已經(jīng)確定的某個角構造出來的，筆者稱這個過程為“玩轉任意（確定）角”，瞧，很有趣吧！
第六步：Once again（再來一遍）！如圖10所示，先依托確定的∠M2CB，過已知點B作BN⊥CM2交CM2于點N，構造出Rt△BCN；
“見直角三角形，造K字型相似”，如圖10，易知Rt△BCO∽Rt△NBG，且其相似比為3，這里tan∠M2CB=1/3提供的就是所需相似比，從而得N（4，1）；
然后利用點C、N兩點坐標求出直線CM2的解析式，再與拋物線聯(lián)立解方程組求交點坐標，即可求出所要尋找的第二個點M2的坐標，不再詳述；
“玩轉任意（確定）角”獨步天下也并非浪得虛名啊！
至此本題已經(jīng)得到完美解答，筆者通過直角三角形，包括已知直角三角形、證明直角三角形甚至于先構造出直角三角形，讓“K字型”基本圖形遍地生花，也期盼在同學們心里結滿了果！另，同學們若練成“玩轉任意（確定）角”之功夫，就可以獨步天下、笑傲江湖啦！
對于最后一問，筆者不甘就此停筆，繼續(xù)反思后，又尋到一種通解通法，而且正符合一些解題高手數(shù)學探究情懷的味口，現(xiàn)介紹如下，基礎不夠扎實的同學“慎讀”：
如圖11所示，由前面的分析tan∠BCM=1/3知∠BCM是確定的，又易知∠BCO=45°也是確定的，從而這兩個角的和∠OCN2與差∠OCN1也是確定的，既然是確定的，肯定是可解的，只要能求出tan∠OCN2與tan∠OCN1的值即可輕松求出相應的CM的解析式，從而解決問題；
問題就在于怎么求tan∠OCN2與tan∠OCN1的值呢？這正是上面我摘錄的兩個基本類型所能解決的拿手好戲啊，下面筆者另起爐灶處理解決；
【傳說】義烏劉俊勇：“矩形大法+增量巧設！”
【傳說】江蘇于新華：“但一線教師通常喜歡根據(jù)拋物線的解析式設點的坐標，那樣的解法往往顯得不夠簡潔！”
【傳說】江陰顧維明：“能用幾何手段解決的，就不要用代數(shù)手段，這也是函數(shù)的本質，數(shù)形結合！”
兩角和與差的構造，有趣吧！這里我們用初中人人都能看懂的構造法，解決了高中學生所能掌握的公式，仁者見仁智者見智，好與不好在于學生，對于能接受的學生并且能運用于平時的解題中，這肯定是大好事，因為有的時候，我們用最自然的“確定性思想”思考問題時，很容易遇到這些“障礙”，掌握了今天的構造法，你就可以輕松掃除障礙，掌握不了還可以去尋找其他方法，多一種工具、多一種方法，何樂而不為！
為了滿足大家的探究“胃口”，下面再提供一種由兩角和的構造法結合對稱性進而得到兩角差的構造之法，增加構造的趣味性與數(shù)學味：
一切盡在圖18與圖19中，這也是傳說中的“無字證明”！只要最后將目光鎖定在Rt△CHN’中，tan∠HCN’=1/3即為所要構造的兩個角之差，不再詳述！
【吐槽】安徽蚌埠陳耀忠：“我覺得學習段老師，不僅是學習解題方法，更重要的是從中學習治學的態(tài)度，研究的精神，從中找到數(shù)學研究的基本思路——將問題轉化為熟悉的對象再處理！”
思想決定高度！平時的教學我也經(jīng)常給學生說這句話，站在怎樣的思想高度去審視問題，就會有怎樣的認知！站得高才能望的遠！
數(shù)學解題思想方法有很多，本次講座主要涉及四種常見的解題策略：確定性思想、抓不變量、轉化之斜化直思想、軌跡思想.這四種解題思想方法與策略，如果學生能夠熟練掌握并應用之，初中階段很多所謂難題將不再那么神秘！作為教師，平時教學，也一定不能就題論題，講解題目應該講到題目中去，說到題目中的思想方法深處！每道題目都有自己的“靈魂”，如何引導學生抓住題目的“靈魂”，即思想方法等，是我們教師應該一直要反思的問題！
最后一句話送給大家：思想的方向與深度，決定人生的高度！思想決定高度，學識決定厚度！
感謝大家的蒞臨指導，小段祝各位生活愉快！
（第一集完！后續(xù)敬請期待?。?/p>
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