2010北京中考重難點專題講座
第一講 線段，角的計算證明問題
智康·劉豪
【前言】 中考的解答題一般是分兩到三部分的。第一部分基本上都是一些簡單題或者中檔題，目的在于考察基礎(chǔ)。第二部分往往就是開始拉分的中，難題了。大家研究今年的北京一模就會發(fā)現(xiàn)，第二部分，或者叫難度開始提上來的部分，基本上都是以線段，角的計算與證明開始的。城鄉(xiāng)18個區(qū)縣的一模題中，有11個區(qū)第二部分第一道題都是標準的梯形，四邊形中線段角的計算證明題。剩下的7個區(qū)縣題則將線段角問題與旋轉(zhuǎn)，動態(tài)問題結(jié)合，放在了更有難度的倒數(shù)第二道乃至壓軸題當中。可以說，線段角問題就是中考數(shù)學有難度題的排頭兵。對這些題輕松掌握的意義不僅僅在于獲得分數(shù)，更重要的是對于整個做題過程中士氣，軍心的影響。在這個專題中，我們對各區(qū)縣一模真題進行總結(jié)歸納,分析研究，來探究線段，角計算證明問題的解題思路。
第一部分 真題精講
【例1】 （2010，崇文，一模）
如圖，梯形中，
，
．求
的長．
【思路分析】線段，角的計算證明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性質(zhì)以及勾股定理等知識點進行考察的。所以這就要求我們對梯形的性質(zhì)有很好的理解，并且熟知梯形的輔助線做法。這道題中未知的是AB,已知的是AD,BC以及△BDC是等腰直角三角形,所以要把未知的AB也放在已知條件當中去考察.做AE,DF垂直于BC,則很輕易發(fā)現(xiàn)我們將AB帶入到了一個有大量已知條件的直角三角形當中.于是有解如下.
【解析】
作于
于
，
四邊形是矩形．
在中，
【例2】（2010，海淀，一模）
已知：如圖，在直角梯形中，∥，，于點O，，求的長.
【思路分析】 這道題給出了梯形兩對角線的關(guān)系.求梯形上底.對于這種對角線之間或者和其他線段角有特殊關(guān)系(例如對角線平分某角)的題,一般思路是將對角線提出來構(gòu)造一個三角形.對于此題來說,直接將AC向右平移,構(gòu)造一個以D為直角頂點的直角三角形.這樣就將AD轉(zhuǎn)化成了直角三角形中斜邊被高分成的兩條線段之一,而另一條線段BC是已知的.于是問題迎刃而解.
【解析】
過點作交的延長線于點.
∴ .
∵ 于點,
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ 四邊形為平行四邊形.
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴
此題還有許多別的解法，例如直接利用直角三角形的兩個銳角互余關(guān)系，證明△ACD和 △DBC相似，從而利用比例關(guān)系直接求出CD。有興趣的考生可以多發(fā)散思維去研究。
【例3】（2010，東城，一模）
如圖，在梯形中，，，，為中點，．求的長度
．
【思路分析】 這道題是東城的解答題第二部分第一道，就是我們所謂提難度的門檻題。乍看之下好象直接過D做垂線之類的方法不行.那該怎樣做輔助線呢?答案就隱藏在E是中點這個條件中.在梯形中,一腰中點是很特殊的.一方面中點本身是多對全等三角形的公共點,另一方面中點和其他底,腰的中點連線就是一些三角形的中線,利用中點的比例關(guān)系就可以將已知條件代入.比如這道題,過中點E做BC的垂線,那么這條垂線與AD延長線,BC就構(gòu)成了兩個全等的直角三角形.并且這兩個直角三角形的一個銳角的正切值是已經(jīng)給出的.于是得解.
【解析】
過點作的垂線交于點，交的延長線于點.
在梯形中，，是的中點，
∴
在和中，
∴ .
∴
∵，∴.
在中，，
∴.
在中，
【總結(jié)】 以上三道真題,都是在梯形中求線段長度的問題.這些問題一般都是要靠做出精妙的輔助線來解決.輔助線的總體思路就是將梯形拆分或者填充成矩形+三角形的組合,從而達到利用已知求未知的目的.一般來說,梯形的輔助線主要有以下5類:
1、 過一底的兩端做另一底的垂線，拆梯形為兩直角三角形+ 一矩形
2、 平移一腰，分梯形為平行四邊形+ 三角形
3、 延長梯形兩腰交于一點構(gòu)造三角形
4、 平移對角線，轉(zhuǎn)化為平行四邊形+三角形
5、 連接頂點與中點延長線交于另一底延長線構(gòu)筑兩個全等三角形或者過中點做底邊垂線構(gòu)筑兩個全等的直角三角形
以上五種方法就是梯形內(nèi)線段問題的一般輔助線做法。對于角度問題，其實思路也是一樣的。通過做輔助線使得已知角度通過平行，全等方式轉(zhuǎn)移到未知量附近。之前三道例題主要是和線段有關(guān)的計算。我們接下來看看和角度有關(guān)的計算與證明問題。
【例4】 （2010，延慶，一模）
如圖，在梯形中，，平分，過
點作，交的延長線于點，且，，，
求的長．
【思路分析】 此題相對比較簡單，不需要做輔助線就可以得出結(jié)果。但是題目中給的條件都是此類角度問題的基本條件。例如對角線平分某角，然后有角度之間的關(guān)系。面對這種題目還是需要將已知的角度關(guān)系理順。首先根據(jù)題目中條件，尤其是利用平行線這一條件，可以得出（見下圖）角C與角1，2，3以及角E的關(guān)系。于是一系列轉(zhuǎn)化過后，發(fā)現(xiàn)角C=60度，即三角形DBC為RT三角形。于是得解。
【解析】：
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴梯形是等腰梯形
∴
∵，
∴
在中，
∵，
∴
【例5】（2009，西城，一模）
已知：，，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點落在直線AB
的兩側(cè).
【思路分析】這是去年西城一模的壓軸題的第一小問。如果線段角的計算出現(xiàn)在中間部分，往往意味著難度并不會太高。但是一旦出現(xiàn)在壓軸題，那么有的時候往往比函數(shù)題，方程題更為棘手。這題求AB比較容易，過A做BP垂線，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，將△APB分成兩個有很多已知量的RT△。但是求PD時候就很麻煩了。PD所在的三角形PAD是個鈍角三角形，所以就需要我們將PD放在一個直角三角形中試試看。構(gòu)筑包含PD的直角三角形，最簡單的就是過P做DA延長線的垂線交DA于F，DF交PB于G。這樣一來，得到了△PFA △AGE等多個RT△。于是與已求出的AB等量產(chǎn)生了關(guān)系，得解。
【解析】：
如圖，作AE⊥PB于點E．
∵ △APE中，∠APE=45°，，
∴ ，
．
∵ ，
∴ ．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴ ．
如圖，過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，設(shè)DA的延長線交PB于G．
在Rt△AEG中，可得
，
（這一步最難想到，利用直角三角形斜邊高分成的兩個小直角三角形的角度關(guān)系）
，．
在Rt△PFG中，可得，．
【總結(jié)】 由此我們可以看出，在涉及到角度的計算證明問題時，一般情況下都是要將已知角度通過平行，垂直等關(guān)系過度給未知角度。所以，構(gòu)建輔助線一般也是從這個思路出發(fā)，利用一些特殊圖形中的特殊角關(guān)系（例如上題中的直角三角形斜邊高分三角形的角度關(guān)系）以及借助特殊角的三角函數(shù)來達到求解的目的。
第二部分 發(fā)散思考
通過以上的一模真題，我們對線段角的相關(guān)問題解題思路有了一些認識。接下來我們自己動手做一些題目。希望考生先做題，沒有思路了看分析，再沒思路了再看答案。
【思考1】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，．若AC⊥BD，
【思路分析】 前面我已經(jīng)分析過，梯形問題無非也就那么幾種輔助線的做法。此題求腰，所以自然是先將腰放在某個RT三角形中。另外遇到對角線垂直這類問題，一般都是平移某一條對角線以構(gòu)造更大的一個RT三角形，所以此題需要兩條輔助線。在這類問題中，輔助線的方式往往需要交叉運用，如果思想放不開，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。
[解法見后文]
【思考2】如圖，梯形ABCD中，AD//BC，∠B=30°，∠C=60°，E，M，F(xiàn)，N分別是AB，BC，CD，DA的中點，已知BC=7，MN=3，求EF
【思路分析】此題有一定難度，要求考生不僅掌握中位線的相關(guān)計算方法，也對三點共線提出了要求。若求EF，因為BC已知，所以只需求出AD即可。由題目所給角B，角C的度數(shù)，應(yīng)該自然聯(lián)想到直角三角形中求解。
（解法見后）
【思考3】已知，延長到，使．取的中點，連結(jié)交于點．
⑴ 求的值；
⑵ 若，，求的長．
【思路分析】 求比例關(guān)系，一般都是要利用相似三角形來求解。此題中有一個等量關(guān)系BC=CD，又有F中點，所以需要做輔助線，利用這些已知關(guān)系來構(gòu)造數(shù)個相似三角形就成了獲得比例的關(guān)鍵。
（解法見后）
【思考4】如圖3，△ABC中，∠A=90°，D為斜邊BC的中點，E，F分別為AB，AC上的點，且DE⊥DF，若BE=3，CF=4，試求EF的長．
【思路分析】 中點問題是中考幾何中的大熱點，幾乎年年考。有中點自然有中線，而倍長中線方法也成為解題的關(guān)鍵。將三角形的中線延長一倍，剛好可以構(gòu)造出兩個全等三角形，很多問題就可以輕松求解。本題中，D為中點，所以大家可以看看如何在這個里面構(gòu)造倍長中線。
（解法見后）
【思路分析】此題也是中點題，不同的是上題考察中線，此題考察中位線。本題需要考生對各個特殊四邊形的性質(zhì)了如指掌，判定，證明上都需要很好的感覺。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之間的轉(zhuǎn)化條件。
（解法見后）
第三部分 思考題答案
思考1
【解析】：作DE⊥BC于E，過D作DF∥AC交BC延長線于F．
則四邊形ADFC是平行四邊形，∴，DF=AC．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD．∴
∴ΔBDF是等腰直角三角形
∴
在中，
∵，
∴，∴
思考2
【解析】：
延長BA，CD交于點H，連接HN，
因為∠B=30°，∠C=60°，所以∠BHC=90°
所以HN=DN（直角三角形斜邊中線性質(zhì)）
∠NHD=∠NDH=60°
連接MH，同理可知∠MHD=∠C=60°。
所以∠NHD=∠MHD，即H，N，M三點共線（這一點容易被遺漏，很多考生會想當然認為他們共線，其實還是要證明一下）
所以HM=3.5 ，NH=0.5 AN=0.5
所以AD=1 EF=（1+7）/2=4
思考3
【解析】 ⑴過點作，交于點．
∵為的中點
∴為的中點，
由，得，
，∴
∴
∴
∴
⑵ ∵，∴
又，∴
∵，∴．
思考4
【解析】：
延長ED至點G，使DG=ED，連接CG，FG．
則△CDG≌△BDE．所以CG=BE=3，∠2=∠B．
因為∠B+∠1=90°，所以∠1+∠2=∠FCG=90°．
因為DF垂直平分EG，所以FG=EF．
在Rt△FCG中，由勾股定理得，所以EF=5．
思考5
【解析】：
∵為的中位線，
∴，．
同理，．
∴，，
∴四邊形為平行四邊形．（有些同學做到這一步就停了，沒有繼續(xù)發(fā)現(xiàn)三角形全等這一特點，從而漏掉了菱形的情況，十分可惜）
在和中，
，，，
即．
∴．
∴．
∴
∴四邊形為菱形．
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