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知識(shí)解讀

等邊三角形的判定方法有三種：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

③有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．

在這三種判定方法中，證明角度等于60°和證明兩個(gè)角度相等比證明線段相等容易些，因此在證明一個(gè)三角形是等邊三角形的時(shí)候，盡可能尋找60°的角.如果能找到兩個(gè)60°的角，則就完成了三角形全等的證明.如果找到一個(gè)60°的角，則可繼續(xù)證明這個(gè)三角形是等腰三角形．

當(dāng)一個(gè)圖形中出現(xiàn)等邊三角形時(shí)，由于等邊三角形的三邊相等，三個(gè)角都等于60°，這就為全等三角形提供了可能.而當(dāng)一個(gè)圖形中出現(xiàn)兩個(gè)等邊三角形的時(shí)候，由于圖中出現(xiàn)了太多相等的線段和相等的角，此時(shí)一般會(huì)出現(xiàn)全等三角形．

典例示范

一、等邊三角形判定方法的選擇

例1 如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE平分∠ACD，且CE=BD．

求證：△DAE為等邊三角形．

【提示】由于CE=BD，AB=AC，因此可考慮證明△ABD≌△ACE，因此可證AD=AE，要說(shuō)明△DAE為等邊三角形，我們只需證明DE和AD，AE相等或者證明△ADE中一個(gè)角等于60°即可．

【解答】

【技巧點(diǎn)評(píng)】

要證明一個(gè)三角形是等邊三角形時(shí)，當(dāng)已知這個(gè)三角形是等腰三角形，可設(shè)法證明第三條邊和這兩條邊相等，或者證明這個(gè)三角形中有一個(gè)角等于60°．

二、等邊三角形為全等三角形提供可能

例2 如圖，△ABD、△AEC都是等邊三角形，BE、CD相交于點(diǎn)O．

（1）求證：BE=DC；

（2）求∠BOC的度數(shù)．

【提示】（1）BE和DC可置于△ACD，△AEB中，通過(guò)證明△ACD≌△AEB，來(lái)證得BE=DC，要證明△ACD≌△AEB需要的條件可從等邊三角形中獲得；（2）根據(jù)外角的性質(zhì)可知∠BOC=∠BDO+∠DBO，可將求∠BOC轉(zhuǎn)化為求∠BDO+∠DBO．

【解答】

【技巧點(diǎn)評(píng)】

等邊三角形的三條邊相等、三個(gè)角相等，相等的線段、相等的角是三角形全等的條件，因此當(dāng)圖形中出現(xiàn)兩個(gè)等邊三角形時(shí)，一般會(huì)出現(xiàn)全等三角形．

三、旋轉(zhuǎn)線段，構(gòu)造等腰直角三角形和等邊三角形

例3  已知：如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，將線段CB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°得到CB'，∠ACB的平分線CD交直線AB'于點(diǎn)D，連接DB，在射線DB'上截取DM=DC．

（1）在圖1中證明：MB'=DB；

（2）若AC=

【提示】（1）本題隱含兩個(gè)等邊三角形，△BCB'和△CDM都是等邊三角形，連接CM后，可得到一對(duì)全等三角形；（2）在圖1中，可證明△ACB'是一個(gè)等腰三角形，其底角為15°，腰長(zhǎng)為

，腰長(zhǎng)為

，要求的是底邊長(zhǎng)，充分利用

【解答】

【技巧點(diǎn)評(píng)】

線段繞其一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°，連接另一個(gè)端點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，可得一個(gè)等邊三角形，線段繞其一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，連接另一個(gè)端點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，可得一個(gè)等腰直角三角形．

四、借助60°構(gòu)造等邊三角形解決問(wèn)題

例4   如圖，△ABC是等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，使AE=BD，連接CE、DE．

求證：EC=ED．

【提示】要證明EC=ED，可考慮將這兩條線段置于一對(duì)全等三角形中，圖中沒(méi)有全等三角形，可設(shè)法構(gòu)造全等三角形，由于∠B=60°，可考慮延長(zhǎng)BD到點(diǎn)F，構(gòu)造一個(gè)等邊三角形．

【解答】

五、與等邊三角形有關(guān)的動(dòng)態(tài)問(wèn)題

例5  如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P、Q都停止運(yùn)動(dòng)．

（1）出發(fā)后運(yùn)動(dòng)2s時(shí)，試判斷△BPQ的形狀，并說(shuō)明理由；那么此時(shí)PQ和AC的位置關(guān)系呢？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△BPQ的面積為S，請(qǐng)用t的表達(dá)式表示S．

【提示】（1）當(dāng)出發(fā)后兩秒時(shí)，AP=2×1=2，所以BP=4，BQ=2×2=4，又△ABC是等邊三角形，∠B=60°，所以△BPQ是等邊三角形，∠BPQ=∠A=60°，所以PQ//AC．

（2）過(guò)Q作QH⊥AB，因?yàn)椤?/span>B=60°，所以∠BQH=30°，又BQ=2t，所以BH=t，由勾股定理，得QH=

為

．