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初中數(shù)學解法研究

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“初中數(shù)學解法研究”公眾平臺以一些典型問題為載體，從一題多解、多解歸因和思維調控等角度，探索解題中的巧法、通法以及方法的思路來源等，希望幫助讀者開闊思路、優(yōu)化解法和提高解題效率，也希望能得到您的指點！

前言

在中考即將來臨之際，想把自己一點微不足道的經(jīng)驗分享給各位同行，希望對您能有一點點的幫助，祝福學子們能不辜負老師和家長的期望，考出理想的成績！由于本人水平有限，文中一定還有很多不足之處，希望得到各位高人的指點。

正文

中考壓軸題一向是“兵家必爭之地”，是中考的奪分題，也是區(qū)分層次和實現(xiàn)選拔的重要題型，壓軸題的教學策略在實現(xiàn)學生對壓軸題的突破扮演者非常重要的角色。目前的中考綜合題已經(jīng)由單純的知識疊加型轉化為知識、方法和技能綜合型，這也完全符合課改的要求。由于壓軸題考查的知識點較多，綜合性較強，覆蓋面廣，關系復雜，思路難覓，解法靈活，常常令一些學生束手無策，因此需要教師在教學過程要正確引領學生走進壓軸題的世界，為提高學生壓軸題的得分率，對學生解答壓軸題方法策略上的指導是必要的，根據(jù)課改的目標，壓軸題的一般教學策略如下幾個方面：1.審題；2.問題轉化；3.數(shù)學思想方法；4.一題多解；5.思維自我監(jiān)控；6.解題后的反思。

教師在教學過程中可以制定一些具體的教學策略，筆者認為在教學過程中教師應該注重如下幾個具體策略：

1引導學生認真審題挖掘隱含條件。

2引導學生數(shù)形結合，合理添輔助線。

3引導學生用識別基本圖形，關注基本圖形的特性。

4引導學生轉化問題。

5引導學生在解題過程中思維自我調控。

6引導學生一題多法和多法歸因。

7引導學生解題后有效反思。

8引導學生適當變式。

下面以一道二模壓軸題為例，談談教師壓軸題的教學策略，原題如下：如圖，已知在△ABC中，AB=4，BC=2，以點B為圓心，線段BC長為半徑的弧交邊AC于點D，且∠DBC=∠BAC，P是邊BC延長線上一點，過點P作PQ⊥BP，交線段BD的延長線于點Q．設CP=x，DQ=y．

（1）求CD的長；

（2）求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

（3）當∠DAQ=2∠BAC時，求CP的值．

1、引導學生認真審題挖掘隱含條件

美國著名數(shù)學家波利亞曾說過：對你所不理解的問題做出答復是愚蠢的。他在《怎樣解題》一書中把審題分為兩個階段：“熟悉題目”和“深入理解題目”。筆者認為“深入理解題目”就是要挖掘題目中的隱含條件，教師可從兩個方面引導：

（1）

引導同學從形的角度挖掘數(shù)

通過審題，引導學生挖掘這三個基本圖形：共角共邊型（圖2），腰上添高型（圖4），三線合一型（圖3）。共角共邊型的特征是BC2=CD×AC，另外兩個圖形可以根據(jù)等腰三角形的特性以及勾股定理可以算出所有未知線段的長度，以及所有的銳角三角比。由BC2=CD×AC可得CD=1，從而解決了第一問。進一步分析，如圖5發(fā)現(xiàn)∠ABF=∠Q，因為∠ABF的三角比可求，則∠Q的三角比也知道了，易求：

這樣第（2）問也順利解決。

（2）

引導同學從數(shù)的角度挖掘形

在第（3）問中∠DAQ=2∠BAC，做∠DAQ的平分線AG，如圖6，則∠DAG=∠QAG=∠BAC=∠DBC，于是得到兩個基本圖形，一是含等腰的全等形，如圖7，易得△ABD≌AQG，GQ=2；另一個是含等腰的斜交A字相似形，如圖8，可得DG=3/2，y=2 3/2=7/2，x=45/16，這就解決了第三問。

2、引導學生數(shù)形之間轉化，合理添輔助線

平時課堂教學中，教師需要引導學生一起總結一些小的口訣，如下：

口訣：“一二三四五”和“八句兒歌”

一連(對角線、兩中點、半徑、圓心和弧中點、圓心和切點)，二延(延長相交構新圖形)，三作線(作平行線、角平分線、高線)，四取中點（用中位線或直角三角形斜邊中線），五倍（倍長中線、倍角）

①三角形是等腰，底邊上快作高。

②三角形有中線，倍長之后聯(lián)端點。

③三角形有直角，中線垂線常用著。

④特殊點作平行，比例線段現(xiàn)原形。

⑤三角形有中點，嘗試添上中位線。

⑥梯形中好添高，或引直線平行腰。

⑦已知線段證和差，截長補短記住它。

⑧已知信息太分散，化歸集中很常見。

教師還可以從不同角度來和同學討論添輔助線的方法，如下：

添輔助線的角度

（1）圖形運動①翻折②平移③旋轉

（2）完備和構建基本圖形

等腰三角形，包括等邊和等腰直角，直角三角形，包括含30°和45°平行四邊形，包括矩形、菱形和正方形，等腰梯形等等。

（3）構建全等或相似形。

多

引導學生梳理添輔助線的來龍去脈，掌握基本的、通用的方法，結合自己的解題經(jīng)驗，久而久之學生的能力增強了，輔助線的“法門”逐漸被找到，下面就從各個角度談談教師如何引導學生添輔助線：

（1）

完備和構建基本圖形

在第（2）中求函數(shù)解析式可以引導學生構建等腰三角形，如圖9，過點Q做QH//AC交BP延長線于點H，易得是等腰△BQH，再根據(jù)比例線段得到PH=y-x，QH=（y 2）/2,又因為cosH=cos∠ACB=1/4，可列出等式:

（2）

構建相似或全等

在第二問中求函數(shù)解析式，也可以引導學生通過作平行線構造相似形，如圖10中作DK⊥BC，垂足為點K，作AI⊥BC，垂足為點I，可得DE∥AH，通過比例線段:

在第三問中，除了圖6構造全等和相似外，還可以過點A作AJ⊥BQ，垂足為點J，如圖11，因為x ∠3=∠2 2x，∠3=∠1 x，得∠1=∠2， AQ=AB=4，可得QJ=(y 2)/2，DJ=(y-2)/2，再由勾股定理得：

（3）

圖形的運動

在求解第三問的時候，可以引導學生翻折構造倍角，如圖12，作∠CBK=x，交AC的延長線于點K，易得∠K=β，△BDK和△ADQ相似，得DQ/DK=AD/BD=3/2，再通過外角∠BDC=∠BCD=x α=x β，得α=β，△ABD和△AKB相似，通過相似比得DK=7/3，再由DQ/DK=AD/BD=3/2，得DQ=7/2，即:

3、引導學生識別基本圖形，關注基本圖形的特性

在教學過程中，教師要引導學生發(fā)現(xiàn)基本圖形，歸納基本圖形的特性，在解壓軸題的過程中，如果能恰當?shù)倪\用基本圖形的性質，往往能一擊制勝，下面我列舉了關于本題中四個基本圖形：

4、引導學生轉化問題

在解決壓軸題時，常常需要轉化成等價問題，教師要引導學生變換角度思考問題，轉化得當能事半功倍，轉化不當往往陷入困境，轉化問題的時候，經(jīng)常將分析法和綜合法結合在一起，既要由果索因，也要從已知條件出發(fā)，下面是本題中的兩種轉換：

（1）

構造相似形，實現(xiàn)線段比的轉換

第（2）問“求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；”可轉化為：

（2）

構造半（倍）角，實現(xiàn)角的轉換

第（3）問“當∠DAQ=2∠BAC時，求CP的值．”可轉化為：

5、引導學生在解題過程中思維的自我調控

著名解題專家波利亞在《怎樣解題》一書中有一個解題表，解題表上問句或建議，都不是問別人，而是自己給自己提問題、提建議，這是解題者的自我詰問、自我反思。問題中的一部分，其對象針對具體的數(shù)學內容，屬于認知性的；另一部分則以解題者自身為對象，屬于元認知性的。波利亞認為，解題過程就是不斷和自我對話的過程，也是不斷自我調整過程，對話的有效性直接關系到解題的成敗。筆者認為解壓軸題時，如果學生能夠自我提醒，大大提高解題的成功率，那么教師應該怎樣引導學生自我對話呢？我想教師可以從引導學生形成自己的提示語方面入手。由于每個學生的性格、學習習慣和學習基礎的不同，他們自己的提示語也不同，這就要求教師要了解每個學生的特征，幫助每個學生提煉屬于他們自己的提示語，但是有些提示語是共性的，下面我列舉了幾條自我提示語：

（1）題目的已知條件和未知的問題我看清楚了嗎？

（2）所有的條件我都用上了嗎？

（3）題目中還有那些基本圖形？它們的特性有沒有用上？

（4）能不能有更簡單的解法和算法？

（5）能把問題特殊化一下或者一般化一下嗎？

（6）能不能直觀猜想一下問題的答案？

（7）我有沒有適當檢查以下自己的解題過程呢？

（8）我最終的答案符合實際嗎？

6、引導學生一題多法和多法歸因

歸因理論是美國著名的理論家韋納提出來的，在各個領域都有著廣泛的應用，在壓軸題的教學過程中，教師要引導學生從各個角度探求解決問題的方法，以及方法的來源，開闊學生的解題思路，引導學生一起歸因，梳理各種思路的來龍去脈。

第（2）問解法梳理

第（2）問“求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；”可梳理如下三種方法，由于前文中已經(jīng)給出解題的思路，所以這里只給出解法圖例。

解法一

思路：構造相似的直角三角形或者應用銳角三角比。

解法二

思路：利用三線合一和雙A字形實現(xiàn)比例線段轉化。

解法三

思路：構造等腰三角形和A字形，再結合銳角三角比。

第（3）問解法梳理

第（3）問“當∠DAQ=2∠BAC時，求CP的值．”的解法梳理如下：

解法一

思路：構造半角，實現(xiàn)全等和相似。

解法二

思路：構造倍角，轉化成共角共邊形和斜交8字形。

解法三

思路：構造直角三角形和等腰三角形的三線合一，用勾股定理求解.

一題多解多解歸一

其實這六種解法的本質就是構造基本圖形，再轉化相似的比例線段，當然直角三角形的相似問題可用三角比加快解題的速度，初中階段求函數(shù)關系式，用相似或者三角比是一種通用的方法。

7、引導學生解題后有效反思

壓軸題的教學中，反思是非常必要的，教師可從如下幾方面引導學生反思：

（1）反思題目中的基本圖形及其性質；

（2）反思各種解法的來源和優(yōu)劣；

（3）反思自己的算法是否簡潔；

（3）反思自己解題中的誤區(qū)。關于這部分內容，上文中多有涉及，這里就不展開了，有興趣的讀者可以閱讀波利亞的《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》一書，上面有詳細的記載。

8、引導學生適當變式

本題的第（3）問還可以嘗試以下變式：1.當△ADQ為等腰三角形時，求CP的值；2.當∠DAQ=n∠BAC時，求∠ABD和∠AQD的數(shù)量關系；3.當△ABD和△AQD相似時，求CP的值。

結束語

總之，在壓軸題的教學中，適合學生的策略就是最好的策略，學生不同策略也不同，總之教師切忌“以題論題”，要努力向“以題論法”和“以題論道”兩方面去轉變。雖然中考在即，學生的提升空間已經(jīng)很有限了，但我相信，只要能進行有效的點撥，一些學生的壓軸題解題能力還是能夠提高的。

上面只是自己在壓軸題的教學中一點拙見，一定有很多不足之處，希望您多多指正！

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