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與三角形中點和中位線相關(guān)的輔助線(2)

在與三角形中點和中位線相關(guān)的輔助線(1)中涉及了以下兩類題型,及其輔助線的添線方法:

以上圖形也是常見的基本圖形,結(jié)合了中點、角平分線、垂直和線段和差的條件,知識點非常豐富。后續(xù)會出此背景下的壓軸題解析。

上述圖形涉及到了倍長中線和構(gòu)造中位線的方法,接下來的一類題組將繼續(xù)探索利用“倍長中線法”和“構(gòu)造中位線法”解決線段間的倍半關(guān)系或等量關(guān)系。或改變圖形背景,或增加中點個數(shù),以探索目標線段間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。

解法分析:本題的背景是兩個共頂點的等腰直角三角形組成的圖形。并且M為BD中點,出現(xiàn)了一個中點的問題。本題的第(1)問是特殊情況,即點C與點D,點B與點E在同一直線上,此時通過證明△BAD≌△CAE即可,并且△BAD為直角三角形。

本題的第(2)問是較一般的情況,需要通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形。由于在CE上取中點的方法不可行。因此利用倍長中線法或中位線法構(gòu)造2AM,從而證明三角形全等。一般幾何證明中,往往設(shè)計意圖是從特殊到一般,在一般情況中尋找共性規(guī)律和通識通法,并進行推廣。

解法1:倍長中線法,倍長AM,證明CE=AP.

解法2:構(gòu)造中位線,以AM為中位線,構(gòu)造第三邊

方法匯總:以下四種方法,無論是倍長中線法還是構(gòu)造中位線法,都能證明AM和CE間的數(shù)量關(guān)系。

同時AM⊥CE,兩條線段間的數(shù)量關(guān)系可以通過以下方法進行證明:

題組變式:改變背景圖形形狀(變?yōu)楣岔旤c的正方形或頂角互補的等腰三角形)

解法分析:本題的背景是兩個共頂點的等腰直角三角形組成的圖形。并且M、F、G為CB、BD、DE中點,出現(xiàn)了三個中點的問題。本題的第(1)問是特殊情況,即點C與點D,點B與點E在同一直線上,可知FM、MG為CD、BE的中位線,即可證明MF和MG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。

本題的第(2)問是較一般的情況,由第(1)問帶來的聯(lián)系,構(gòu)造中位線是問題解決的關(guān)鍵,繼而再證明三角形全等。有兩種中位線構(gòu)造的方法:

題組變式:改變背景圖形形狀(變?yōu)楣岔旤c的一般的等腰三角形)

模型推廣:手拉手三角形(構(gòu)造全等的模型來源)

如上圖所示,手拉手三角形不僅僅存在與共頂點等邊三角形中,只要兩個圖形(正三角形、正方形、等腰直角三角形、等腰三角形)是“相似”的,即對應邊成比例,對應角相等,那么聯(lián)結(jié)對應頂點,就會出現(xiàn)全等三角形。

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