圓背景下——邊角關(guān)系的整合與轉(zhuǎn)化
——2020年杭州市中考數(shù)學(xué)試題第23題
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原題呈現(xiàn)
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解法分享
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考點(diǎn)分析
本題為圓的綜合題，側(cè)重考查幾何圖形的本質(zhì)屬性，注重考查教材基本圖形。本題條件內(nèi)涵豐富，有圓，雙中點(diǎn)，垂直，特殊角等知識(shí)點(diǎn)。
第（1）題考點(diǎn)主要是解直角三角形,垂徑定理，直角三角形斜中線定理。
第（2）題的第①問相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形性質(zhì)與判定。
第（2）題的第②問等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，同時(shí)也考查了學(xué)生的作圖能力。
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解法提煉
（1）在圓的背景下，由“中點(diǎn)”、“垂直”的特殊位置以及特殊角度，學(xué)生不難從題中發(fā)現(xiàn)課本學(xué)習(xí)中一些常見的基本圖形。解題的關(guān)鍵是將已知的邊角關(guān)系有效集中到含所求線段EF的特殊三角形之中，求解線段長(zhǎng)度的通法有解直角三角形、勾股定理等。
（2）①證明線段相等，最基本的方法是尋找 全等三角形，但此題在不添加輔助線的情況下沒有現(xiàn)成的全等三角形。此時(shí)，我們可以執(zhí)果索因,從結(jié)論出發(fā)，不妨思考證明兩線段相等的方法有哪些？主要有構(gòu)造全等三角形、等腰三角形等角對(duì)等邊、平行四邊形對(duì)角線互相平分、證明三角形的中線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例、平行線分線段成比例、等量代換、解析幾何等。在平行線分線段的基本圖形中，學(xué)生可以過圖中任意分點(diǎn)作任意一條線段的平行線，利用線段之間的比例關(guān)系證明線段相等。也可由圖中的“雙中點(diǎn)”自然地可以使學(xué)生聯(lián)想到中位線模型，從而巧妙構(gòu)造平行四邊形求證。由于學(xué)生添輔助線構(gòu)圖的能力較弱，要在較短時(shí)間從復(fù)雜圖形中發(fā)現(xiàn)基本圖形并加以證明，需要有較強(qiáng)的幾何構(gòu)造、邏輯推理與計(jì)算能力，故此題有較好的區(qū)分度。
（2）②考查尺規(guī)作圖及成軸對(duì)稱的基本圖形的性質(zhì)。在畫出標(biāo)準(zhǔn)圖后進(jìn)行觀察、分析、猜想，通過合情推理及演繹證明不難發(fā)現(xiàn)線段DF與FB相等。由軸對(duì)稱性可知矩形DABC是正方形，這也是浙教版教科書八下“5.3 正方形”中的例題。由圓的旋轉(zhuǎn)不變性或是等腰三角形的軸對(duì)稱性均能從圖上直觀得出△AOB是等腰直角三角形。幾何條件坐標(biāo)化建立直角坐標(biāo)系也是突破“數(shù)”與“形”的有效模型，以數(shù)解形，從而準(zhǔn)確求解。
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解法反思
本題是圓的綜合題，考查特殊三角形（直角三角形和等腰三角形）的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段基本模型，平行四邊形判定和性質(zhì)等。如何有效利用已知條件添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形，相似三角形等是本題解題關(guān)鍵。本題解法多樣，解題思路較為靈活。
第（1）問中30°特殊角是一個(gè)很好的提示，可以將學(xué)生的思維引向添加輔助線構(gòu)造直角三角形或找到等腰三角形。在特殊三角形中求線段長(zhǎng)度方法較多，斜中線定理、勾股定理或在等邊三角形或等腰三角形得到線段關(guān)系是較常用的求線段方法。
第（2）問中的第①小問求證PE=PF可以從相似三角形，平行線分線段基本模型等角度入手，借助AE=EB、 AO=OC=2OF、OF=FC線段等量關(guān)系中的一個(gè)，添加平行線得到相似三角形，進(jìn)而求出相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系。此外，構(gòu)造平行四邊形（利用對(duì)角線互相平分性質(zhì)）及面積法也是求線段相等的方法之一，對(duì)平行四邊形性質(zhì)及面積法熟練掌握有一定要求。本小題對(duì)該類題型的解題反思可以由下圖展開。
此題解法較多，尤其是當(dāng)把PE、PF視為兩個(gè)不同三角形中的兩線段，通過轉(zhuǎn)化為比來證明線段相等時(shí)，可以有多種輔助線的添加方法，但本質(zhì)上都是通過添加平行線轉(zhuǎn)化，利用基礎(chǔ)的“A”型相似或者“8”型相似解決。
第（2）問的第②小問求∠BAC的度數(shù)，難度稍大，但第①小問的思路和方法為第②小問起到了過渡作用，過點(diǎn)F作FG⊥AB，再利用平行線分線段成比例得到G為EB中點(diǎn)，從而得到EF與BF相等，等量代換得出△DFB是等腰三角形，從而得到∠AOB的度數(shù)和∠BAC的度數(shù)。由此可以發(fā)現(xiàn)解決本題的關(guān)鍵還是在于F為OC中點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，關(guān)聯(lián)平行線分線段，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定。
總結(jié)：本題雖是以圓為背景的綜合題，但是亮點(diǎn)在于第二題的第一小問即使不用圓背景也可以解決問題，更為重要的是從復(fù)雜圖形中抽離出基本圖形，將一個(gè)復(fù)雜圖形中的基本圖形“離析”出來，是解決問題必須具備的重要能力之一，而這種“離析”是需要在真正理解基本圖形的基礎(chǔ)上才能進(jìn)行的。這就需要教師在教學(xué)前必須做好大量的工作，充分備好每一節(jié)課，在教學(xué)過程中，要帶領(lǐng)學(xué)生由淺入深、循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生探究證明問題的基本思路，不斷歸納解題方法。
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變式訓(xùn)練
07
本期鳴謝
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