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巧引輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形

家有學(xué)子 >《數(shù)學(xué)》

2020.11.22

關(guān)注

(1)．倍長(zhǎng)中線(xiàn)法例題

(2)．作以角平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形

(3)．利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作構(gòu)造全等三角形

(4)．在角的平分線(xiàn)上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)段

【典型例題1】如圖（a），已知在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，CF⊥BD于E，交AB于F.求證：∠BDC＝∠FDA.

【解題思路】三角形中證明兩個(gè)角相等往往證明這兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.但是這兩個(gè)角很明顯不在直接能夠全等的三角形中，因此需要構(gòu)造全等三角形.由于是特殊的等腰直角三角形，因此可以做輔助線(xiàn)為直角的角平分線(xiàn)（方法1）或者構(gòu)造直角三角形（方法2）。

【答案解析】

方法1 作∠ACB的平分線(xiàn)交BD于G.因?yàn)椤?em>ABC是等腰直角三角形，所以∠A＝∠ABC＝∠BCG＝∠ACG＝45°.由∠ACB＝90°，CF⊥BD，可得∠CBG＋∠BCE＝90°，∠ACF＋∠BCE＝90°，所以∠CBG＝∠ACF.因?yàn)?em>AC＝BC，所以△BCG ≌ △CAF，所以CG＝AF.因?yàn)?em>D是AC的中點(diǎn)，∠DCG＝∠A＝45°，所以△DCG ≌ △DAF，所以∠BDC＝∠FDA.

方法2 如圖（b），過(guò)A作AG⊥CA，交CF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G.則根據(jù)條件，∠FAG＝45°，且AG//CB，∠G＝∠BCE.由CE是Rt△BCD中斜邊BD上的高易得∠BDC＝∠BCE，所以∠BDC＝∠G.由Rt△BCD ≌ Rt△CAG可得到CD＝AG.因?yàn)?em>D是AC的中點(diǎn)，所以AD＝AG，由AF是公共邊，得到△ADF ≌ △AGF，所以∠FDA＝∠G＝∠BDC.

【典型例題2】如圖，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于點(diǎn)F．試說(shuō)明AE=CF．

【解題思路】已知角平分線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，綜合利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得EH=ED，再證ED=FG，則EH=FG，通過(guò)證明△AEH≌△CFG即可．

【答案解析】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，

∵∠1=∠2，AD⊥BC，

∴EH=ED（角平分線(xiàn)的性質(zhì)）

∵EF∥BC，AD⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，

∴四邊形EFGD是矩形，

∴ED=FG，

∴EH=FG，

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，

∴∠BAD=∠C，

又∵∠AHE=∠FGC=90°，

∴△AEH≌△CFG（AAS）

∴AE=CF．