其實(shí)，在七年級(jí)下冊(cè)的數(shù)學(xué)知識(shí)中，軸對(duì)稱和等腰三角形部分后續(xù)的應(yīng)用和考察方式靈活多樣，且可以和相似、四邊形、圓、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等知識(shí)綜合靈活的結(jié)合在一起，是最值問題的一個(gè)重要解決策略。并且學(xué)生最覺得難做的折疊問題，其本質(zhì)也是軸對(duì)稱。
本篇文章在課本基礎(chǔ)上，拓展知識(shí)和題型，讓學(xué)生更全面深入的了解軸對(duì)稱和等腰三角形的知識(shí)和，滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為今后學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。本篇內(nèi)容因內(nèi)容難度較大，建議學(xué)有余力的學(xué)習(xí)練習(xí)。
一、核心知識(shí)
1.軸對(duì)稱圖形和兩圖形成軸對(duì)稱：
如果把一個(gè)圖形沿某條直線對(duì)折，對(duì)折的兩部分是完全重合的，那么就稱這樣的圖形為 軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做這個(gè)圖形的對(duì)稱軸。
把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折過去，如果它能夠與另一圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線就是對(duì)稱軸，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn)。
軸對(duì)稱圖形是對(duì)兩個(gè)圖形而言，而成軸對(duì)稱是 一個(gè)圖形之間的關(guān)系，如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它又可看成是一個(gè)軸對(duì)稱圖形。
2.軸對(duì)稱的性質(zhì)：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形 全等；成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸 ；
3. 有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形；三條邊都相等的三角形叫做 等邊三角形。
4.等腰三角形的性質(zhì)：
性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)兩邊 相等
性質(zhì)2：等腰三角形的三線合一
等腰三角形是軸對(duì)稱圖形
5. 等腰三角形的判定：
如果一個(gè)三角形有兩個(gè)相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等
6.等邊三角形的性質(zhì)：
（1）等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，且有三條對(duì)稱軸；
（2）等邊三角形的各角相等且每一個(gè)角都等于60度；
7.等邊三角形的判定：
（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形．
（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．
（3）有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．
8. 與對(duì)稱構(gòu)造有關(guān)的直角三角形的性質(zhì)：
性質(zhì)一：“在直角三角形中，30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”
性質(zhì)二：“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°”
二、題型分析
（一）、軸對(duì)稱性質(zhì)的簡單應(yīng)用
【例1】如圖1，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCED內(nèi)部時(shí)，則∠A與∠1＋∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)你試著找一找這個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（ ）
A．∠A =∠1＋∠2 B．2∠A =∠1＋∠2
C．3∠A =∠1＋∠2 D．3∠A =2（∠1＋∠2）
【點(diǎn)撥】考慮把圖形還原，則折起的部分與折起前是什么關(guān)系呢？
【反思與小結(jié)】根據(jù)問題的某些特征，運(yùn)用軸對(duì)稱思想去添加輔助線，把已知圖形的部分或全部補(bǔ)為軸對(duì)稱形，再利用軸對(duì)稱性質(zhì)，常常能較易地從圖形各元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系發(fā)現(xiàn)其間的內(nèi)在聯(lián)系，找到解題的思路．
（二）、利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案
【例2】如圖是由三個(gè)小正方形組成的圖形，請(qǐng)你在圖中補(bǔ)畫一個(gè)小正方形，使補(bǔ)畫后的圖形為軸對(duì)稱圖形.
【點(diǎn)撥】小正方形本身就是軸對(duì)稱圖形，而且有四條對(duì)稱軸，觀察圖中三個(gè)小正方形組成的圖形不是軸對(duì)稱圖形，至少需要增畫一個(gè)小正方形才能組成軸對(duì)稱圖形，思考正方形的對(duì)稱軸有幾條？如何應(yīng)用對(duì)稱軸增畫一個(gè)小正方形使其組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形？
【反思與小結(jié)】每個(gè)正三角形有三條對(duì)稱軸，每個(gè)正方形有四條對(duì)稱軸，每個(gè)正邊形有條對(duì)稱軸。本題利用正方形有四條對(duì)稱軸，分別添畫一個(gè)正方形使其變成軸對(duì)稱圖形，實(shí)際上就是根據(jù)正方形四條的對(duì)稱軸進(jìn)行添畫。
【舉一反三】如圖甲，正方形被劃分成16個(gè)全等的三角形，將其中若干個(gè)三角形涂黑，且滿足下列條件：
（1）涂黑部分的面積是原正方形面積的一半；
（2）涂黑部分成軸對(duì)稱圖形．
如圖乙是一種涂法，請(qǐng)?jiān)趫D1～3中分別設(shè)計(jì)另外三種涂法．（在所設(shè)計(jì)的圖案中，若涂黑部分全等，則認(rèn)為是同一種涂法，如圖乙與圖丙.）
【解答】
【反思與小結(jié)】此類問題主要是利用正方形的軸對(duì)稱性性質(zhì)，根據(jù)具體要求分類探究。
（三）、軸對(duì)稱變換與最短路程
【例3】最短路程畫圖
問題一：如圖1，點(diǎn)A、點(diǎn)B在直線的兩側(cè)，在直線上畫一點(diǎn)P，使得PA+PB最小
問題二：如圖2，點(diǎn)A、點(diǎn)B在直線的同側(cè)，在直線上畫一點(diǎn)P，使得PA+PB最小
問題三：如圖3，在∠AOB內(nèi)部有一個(gè)點(diǎn)定點(diǎn)P，能否分別在OA、OB上畫一個(gè)點(diǎn)M、N，使得△PMN的周長最??？
若∠AOB=30°，OP=10，求△PMN周長的最小值？
【點(diǎn)撥】（1）思考能否應(yīng)用線段的性質(zhì)進(jìn)行解答？
【解答】
【反思與小結(jié)】對(duì)于（1）主要是應(yīng)用線段的性質(zhì)進(jìn)行解答；對(duì)于（2）是如何應(yīng)用對(duì)稱將將七轉(zhuǎn)化為（1）？對(duì)于解決（3）中兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問題的策略是令其中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M（或N）固定，找到合適的點(diǎn)N（或M），再讓動(dòng)點(diǎn)M（或點(diǎn)N）運(yùn)動(dòng)，找到合適的答案。也就是說：將（3）轉(zhuǎn)化為問題（1）、（2）的情形。例3是求“最短路程”的重要模型，一定要注意總結(jié)歸納提升。
【舉一反三（1）】最短路程畫圖：
從A到B地需要穿過一條河，而河的寬度為，由于經(jīng)濟(jì)方面的思考，建造過河的橋要垂直于河的兩岸（河的兩岸平行），請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)行走路線，使所走的線路的長度最短？
【點(diǎn)撥】對(duì)于圖1，利用兩點(diǎn)之間線段最短容易解決；對(duì)于圖2，實(shí)際行走是“地面上陸地——橋——地面上的陸地”，對(duì)于地面上的路可行走直線段，而對(duì)于橋，需要走河的寬度，由于是在紙上設(shè)計(jì)行走路線，能否先走河的寬度，再走陸地上的直線段？那么如何設(shè)計(jì)線路？
【解答】
【舉一反三（2）】直線⊥，點(diǎn)B在直線上，點(diǎn)C在直線上，A、D是平面上的固定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)O(shè)
計(jì)點(diǎn)B、C使得四邊形ABCD的周長最??？
【舉一反三（3）】最短路程畫圖 如圖，從A地到B地需要穿過兩條河，而河的寬度分別為、，由于經(jīng)濟(jì)方面的思考，建造過河的橋要垂直于河的兩岸（河的兩岸平行），請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)行走路線，使所走的線路的長度最短？
【點(diǎn)撥】能否仿照上題的（2）思考？如何設(shè)計(jì)？
【舉一反三（4）】在正△ABC中，BD⊥AC于D，點(diǎn)N在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在BD上運(yùn)動(dòng)，如何設(shè)計(jì)M、N才能使得CM+MN最短？
（四）、軸對(duì)稱性質(zhì)應(yīng)用與特殊圖形面積的求法
【例4】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=a，求△ABC的面積值
【點(diǎn)撥】思考一：要求，需要知道△ABC的底與高，而條件中已知斜邊，能否求出斜邊上高？
思考二：兩個(gè)△ABC會(huì)組成怎樣的圖形？能否求出它的面積？四個(gè)△ABC會(huì)組成怎樣的圖形？能否求出它的面積【反思與小結(jié)】兩個(gè)全等的等腰直角三角形組成一個(gè)大的等腰直角三角形，四個(gè)全等的等腰直角三角形能組成一個(gè)正方形，而正方形的邊就是直角三角形的斜邊，容易求出其面積。本題實(shí)際上是利用等腰直角三角形和對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行構(gòu)造與轉(zhuǎn)
五、?簡單軸對(duì)稱圖形的構(gòu)造
【例5】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，求證：BC=AB
【點(diǎn)撥】思考一：要證：BC=AB，也就是證明AB=2BC，如何構(gòu)造2 BC，能否應(yīng)用對(duì)稱法構(gòu)造2 BC？
思考二：要證：BC=AB，其中∠A=30°，得到∠B=60°，能否以∠B為其中的一個(gè)角構(gòu)造等邊三角形進(jìn)行證明？
【舉一反三】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB，
求證：∠BAC=30°，
【點(diǎn)撥】思考一：由已知條件BC=AB，能否應(yīng)用對(duì)稱法構(gòu)造2 BC？
思考二：要證明∠A=30°，只要證明∠B=60°問題解決，
能否以∠B為其中的一個(gè)角構(gòu)造等邊三角形進(jìn)行證明？
【反思與小結(jié)】要證明倍分問題，一般是采取“加倍法”和“折分法”；本題實(shí)際上直角三角形的兩個(gè)重要性質(zhì)的證明。
性質(zhì)一：“在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”
性質(zhì)二：“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°”
在證明這兩條性質(zhì)時(shí)應(yīng)用了對(duì)折構(gòu)造的方法。
【例6】如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求證：AB十BD＝CD
【點(diǎn)撥】要證AB十BD＝CD．能否應(yīng)用“截長補(bǔ)短”？如何“截長”？如何“補(bǔ)短”？
【反思與小結(jié)】本題實(shí)際上應(yīng)用了對(duì)稱變換。通過對(duì)稱，將某些元素相對(duì)集中，從而易于問題的解決。
【例7】在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，并且AE=1/2（AB+AD），
求證：∠D+∠ABC=180°
【點(diǎn)撥】由已知AC平分∠DAB，能否利用角平分線構(gòu)造對(duì)稱圖形，通過對(duì)稱的性質(zhì)探究解法？
【反思與小結(jié)】角平分線所在直線是角的對(duì)稱軸。通過角平分線所在直線構(gòu)造對(duì)稱圖形，利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)解答問題，是一種重要輔助線的構(gòu)造方法。本題利用角平分線，構(gòu)造全等進(jìn)而解決問題。
【舉一反三】在△ABC中，AD平分∠BAC，M為BC的中點(diǎn)，DM⊥BC于M，
若AB=10，AC=6，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
①求證：△ADE≌△ADF，②求證：△BDM≌△CDM，③求AE的長度；
【點(diǎn)撥】對(duì)于①、②，由角平分線和垂直平分線的對(duì)稱性容易得到；
對(duì)于③要求AE的長，已知AB、AC的長度，
由全等三角形的性質(zhì)能否得出AB、AC、AE、AF之間關(guān)系？有何關(guān)系？
【反思與小結(jié)】角平分線所在直線是一個(gè)角圖形的對(duì)稱軸。利用角平分線可以構(gòu)造全等三角形，可以得到線段、角之間的關(guān)系。本例是利用角平分線構(gòu)造全等三角形，從而得到角、線段之間的關(guān)系。
【例8】如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上的點(diǎn)，AE⊥DE交BD的延長線于點(diǎn)E，且AE=
求證：BD平分∠ABC
【點(diǎn)撥】要證明：BD平分∠ABC，發(fā)現(xiàn)圖形給人以“不完整”的感覺，能否將圖形成“完整圖形”通過構(gòu)造全等給以證明？
【反思與小結(jié)】本題在證明BD平分∠ABC時(shí)所構(gòu)造的輔助線，實(shí)際上是在分析的基礎(chǔ)上，利用軸對(duì)稱構(gòu)造全等三角形進(jìn)行解答。
三、總結(jié)與積累
在軸對(duì)稱變換下，圖形上兩點(diǎn)間的距離、角度、面積等保持不變，而這種變換在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用和豐富的文化價(jià)值.同時(shí)通過這種變換，可以使相關(guān)的元素相對(duì)集中，從而構(gòu)造新圖形，在解決問題中起著出奇制勝的效果. 等腰三角形是以頂角平分線所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，等腰三角形的“兩底角相等”、“三線合一”等性質(zhì)是幾何證明和計(jì)算的重要依據(jù).善于發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)為解題服務(wù)是解幾何題的常用技巧.
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