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利用圖形特點添加輔助線(八年級)

妍小青 >《待分類》

2023.01.03 上海

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知識梳理

在八年級第一學期的幾何證明中，有以下幾種輔助線的添線方法：

① 證明角的倍半關系時，借助“翻折”的性質，構造等腰三角形

② 當出現(xiàn)了“不在同一直線上的線段和差關系”時，借助“翻折”的性質，構造全等三角形

③ 證明線段相等時，通過“倍長中線”或“作平行線”構造“X”型全等三角形

④ 當出現(xiàn)“直角三角形斜邊中點”時，構造“中線”是常見的添線方法

⑤ 當出現(xiàn)“線段的垂直平分線”時，聯(lián)結垂直平分線上的點和線段兩端點

⑥ 當出現(xiàn)“角的平分線”時，向角的兩邊作垂線

知識鏈接

與角的倍半相關的輔助線添線方法匯總

解法分析：本題的背景是∠C=2∠B的情況，當出現(xiàn)∠BAC的平分線、BC邊上的高一級BC=2AC這些特殊情況時，探索線段間的數(shù)量關系或者求某個角的度數(shù)，其添線的思路都是利用∠C=2∠B這一條件，構造等角，從而利用等腰三角形的性質尋找相等的線段。

本題的第(1)問出現(xiàn)了角平分線的條件，由于本題是建立線段間的和差關系，因此不能向角的兩邊作垂線，而是利用翻折的意義，翻折▲ABD或▲ACD，從而構造全等三角形，達到線段間得轉化。翻折后，由于出現(xiàn)了倍角和半角，因此出現(xiàn)了等腰三角形，構造了相等得線段。

本題的第(2)問出現(xiàn)了底邊上的高，因此，利用翻折的意義，翻折▲ABD或▲ACD，構造2CD（垂直平分線的性質定理）。翻折后，由于出現(xiàn)了倍角和半角，因此出現(xiàn)了等腰三角形，構造了相等得線段。

本題的第(3)問出現(xiàn)了BC=2AC這一特殊條件，要證明∠A=90°，實際上是證明∠B=30°。本題輔助線添線的誤區(qū)在于作BC的中點，由于需要證明∠A=90°，因此此時無法說明中線為BC的一半，因此采取的方法是構造∠B或∠C的等角，構造等腰三角形，從而實現(xiàn)線段的轉化。

變式(1)和上述第(3)問的區(qū)別在于已知直角三角形的背景，因此通過構造斜邊上的中線達到了BD=2AE的轉化，以及構造了等腰三角形，實現(xiàn)了∠C=∠AED等角的轉化。

變式(2)的突破口在于“DE+BC=2BD”，通過構造與DE相等的線段，構造了一組全等三角形，從而實現(xiàn)了“BF=2AF”的轉化，通過證明∠BAF=90°，即可證明∠B=30°。

與線段倍半相關的輔助線添線方法匯總

解法分析：本題的背景是作▲ABC外兩個等腰直角三角形，若▲BAC=90°，那么本道題不需要添加任何輔助線，只需要證明▲BAC和▲DAE全等即可。但是由于∠BAC不是直角，而又要證明和線段倍半相關的結論，就需要利用“中心對稱”的相關思路，即“倍長中線”或“作平行線”的方式構造“X”型全等三角形，達成線段的轉化。

本題的第(1)問要證明DE=2AM，由于▲BAC不是直角三角形，并且▲BAC和▲DAE不全等，因此不能利用直角三角形斜邊中線的相關性質。聯(lián)想通過倍長AM構造全等三角形，或過點C作AB的平行線，也能達到同樣的目的。

本題的第(2)問是證明G為DE中點，由于要證明G為DE中點，因此不能采取倍長中線的方式，本題可以采取過點D作AE平行線的方式。證明三角形全等的難點在于尋找等角，這里就要充分運用GH⊥BC的條件，利用角的和差進行證明。

本題的第(2)問還可以借助“一線三直角模型”，通過作兩條垂線，兩次證明三角形全等，從而尋找“等邊”，最后利用一組“X型”證明三角形全等。

與角平分線、垂直平分線相關的輔助線添線方法匯總

本題的突破口在于點P是垂直平分線和角平分線的交點，因此利用角平分線和垂直平分線的性質定理，可以往角的兩邊做垂線或聯(lián)結AP、BP，即構造了全等的兩個直角三角形，通過角的轉化得∠APB=90°，由F是AB中點，得AB=2PF，同時可以得到▲BAP為等腰直角三角形。

本文中練習題來源“空中課堂”第19章幾何證明學習單

END

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