女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。
無邊的奇跡源于簡單規(guī)則的無限重復(fù)。
——本華·曼德博(Benoit Mandelbrot)
圖6.1.1是兩張取自自然界的照片，你能看出照片中是什么東西嗎？
a
b
圖6.1.1 a-b 兩張來自自然界的圖片
相信大多數(shù)人都會不屑一顧："So easy！圖a是一株蕨類植物，圖b是一處峭壁。"
但實際上，現(xiàn)實不似你所見。圖a并不是一株蕨類植物，只是蕨類植物的一片葉子；圖b也不是峭壁，只是公園里的一塊石頭，只有不到1米高。
大多數(shù)人之所以會被欺騙，是因為許多物體在不同尺度下看起來是一樣的。蕨類植物的每個分支都和主造型一致；小石頭看起來像大石頭，而大石頭同一座山似乎也沒太大區(qū)別；小塊的云朵和一大團云的形狀和結(jié)構(gòu)是一樣的；餐盤中切好的一小片菜花依然酷似完整的菜花……
在20世紀70年代，數(shù)學家本華·曼德博（Benoit Mandelbrot）創(chuàng)造了"分形"這個詞來描述這種自相似的物體，這個名字來源于拉丁語詞根"fractus"，意思是"斷裂"或"破碎"。也就是說，如果你折斷一個分形的一小部分，它看起來仍然像整體。分形這種特性令人望而生敬，因為造物主似乎只需要一遍遍地重復(fù)一個簡單的過程就能創(chuàng)造出世間萬物；分形還令人望而生畏，因為我們不知道分形何時是盡頭，一個小小的原子里是不是又隱藏著浩瀚的宇宙；當然，分形還令人望而迷惘，因為自相似的特性可以輕松地欺騙我們的眼睛，讓我們無從分辨眼前看到的是事物的整體還是部分。
敬畏與迷惘之中，我們隱隱感到，分形似乎集簡單和復(fù)雜于一身，而且往往帶有無限重復(fù)的規(guī)律。但是，分形究竟顛覆了我們的哪些傳統(tǒng)認知？
理一理凌亂的思路，我認為有兩點：一是尺度，二是維度。下面，我們就以"科赫雪花曲線"這個經(jīng)典的分形圖案為例子來分別談一談。
馮·科赫（Von Koch，1870-1924），瑞典數(shù)學家，貴族出身，家世顯赫。研究數(shù)學和哲學是當時瑞典貴族圈的流行風尚。如今舉世聞名的諾貝爾獎，就是誕生在那個時候的瑞典。科赫自然也跟他身邊的公子闊少一樣趕時髦，毅然投身數(shù)學，成了數(shù)學家。說來也怪，科赫的主要研究領(lǐng)域是數(shù)論，一生發(fā)表了很多篇關(guān)于數(shù)論的論文，但都沒什么影響。他留給世界的最廣為人知的成果，就是這個以他的名字命名的"科赫曲線"，因為形狀酷似雪花，所以又稱為"科赫雪花曲線"。
科赫雪花曲線的構(gòu)造方法很簡單。如下圖6.1.2，任意畫一個正三角形，把每一條邊三等分；然后取三等分后的中間一段為邊向外作正三角形，并把這中間一段擦掉；一直重復(fù)這個步驟，畫出更小的三角形，直到無窮，由此畫出的曲線就是科赫雪花曲線。
圖6.1.2 科赫雪花曲線
粗粗一看，這條曲線不足為奇，它無疑是由基本的幾何方法構(gòu)造出來的，構(gòu)造過程也很簡單。但細看后你會發(fā)現(xiàn)，它始于正三角形，正三角形由3條線組成，最后得到的雪花形狀依然由3部分組成，每一部分都是完全自相似的，也就是說，把每個局部放大看，你都會看到和原來一模一樣的形狀。如果你對高等數(shù)學稍有了解的話，就會發(fā)現(xiàn)更古怪的事情，正如科赫自己所言，它的古怪之處在于"無切線"?？梢?，分形是對微積分的強烈反對。微積分的核心假設(shè)是，物體只要無限放大，看起來就很光滑。但是科赫曲線無論怎么放大都跟原來完全一樣，永遠曲曲折折，有棱有角，不是平滑曲線，它上面處處是尖點，處處不可導(dǎo)，處處不可微。那么，由牛頓和萊布尼茨一手打造、后世無數(shù)數(shù)學天才們發(fā)展完善、被認為是現(xiàn)代科學基礎(chǔ)的宏偉的微積分大廈豈不是遭遇了前所未有的沖擊？
不過，對于我們蕓蕓大眾而言，高等數(shù)學畢竟距離我們的生活太過遙遠，也無需我們冥思苦想。正如前文所言，分形真正值得我們苦思冥想的主要在兩個方面：一是尺度，二是維度。
1 尺度之辯——雪花的周長超過地球半徑？
如果有人跟你說，雪花的周長超過地球半徑，那么你肯定認為他胡說八道。但觀察科赫雪花的構(gòu)造過程，你會發(fā)現(xiàn)，每一次迭代變換都讓曲線的總長度變成原來的4/3倍。假設(shè)，最初的正三角形周長為1，那么迭代一次之后就變成4/3，迭代n次之后就變成(4/3)^n。當n趨近無窮時，雪花曲線的周長必然趨近無窮，也就是無限長。而且，雪花曲線上任意兩點之間沿邊界的路程也是無限長。
而地球直徑卻是有限長的，假設(shè)你有一把巨大的游標卡尺，就能用兩個夾子把地球夾住，從而測出一個長度值。如此說來，雪花的周長顯然超過地球半徑！驚不驚喜？意不意外？
如此說來，曼德博當年創(chuàng)立分形時提出的"英國的海岸線無限長"還是太保守了。其實，海岸邊的一塊礁石、一顆砂礫、一片樹葉……無論什么東西，只要它是粗糙的，周長就全都無限長。
然而，另一件咄咄怪事是，科赫雪花雖然周長無限長，但它的面積卻是有限大的。因為整個雪花圖形被限制在了一個有限的范圍內(nèi)，我們隨手畫一個圓圈就能把它圍住。
2 維度之辯——為什么維度可以不是整數(shù)？
常識告訴我們，直線是1維，平面是2維，立體是3維。那么科赫雪花曲線是幾維？
相信多數(shù)人的思維比較經(jīng)典：科赫曲線就是一條直線反復(fù)折疊形成的，折疊再多次，它也是由一條條小小的線段組成的嘛，到頭來還是線，那就應(yīng)該是1維圖形。
但有些人會思考的更細致些：既然迭代次數(shù)趨近無窮，那就不是光憑放大圖形就能看到的，只能憑想象來理解。迭代無窮次之后，小線段的長度趨近于0，也就是變成了一個點。這些點會覆蓋一部分的平面，所以你瞧，隨著迭代次數(shù)增加，雪花邊緣的顏色有些變深了不是？也就是說，它或許已經(jīng)不是一維的線了。如果你認為上圖不夠明顯，那請看下圖6.1.3，這同樣是按照科赫雪花曲線的構(gòu)造方式繪制的圖案，只是線段的夾角不再是60°。圖a是夾角為120°的結(jié)果，最后形成的曲線比較平緩；圖b的夾角為20°，形成的雪花輪廓更加尖銳、曲折；圖c比較極端，直接把夾角設(shè)為0°，最后的結(jié)果是曲線完全填滿了一個等腰直角三角形。如此說來，科赫雪花曲線豈不是變成了二維的平面圖形？
圖6.1.3a-c 科赫雪花曲線的變例
此時，對維度概念的擴展就顯得刻不容緩。維度或許可以不局限于1、2、3這些整數(shù)，上面這些既不像一維，也不像二維的曲線大概就是介于1和2之間的某個非整數(shù)維度吧。但是非整數(shù)的維度有意義嗎？非整數(shù)維的圖形又該是什么樣子？記得我年少時第一次從課外書中看到英國的海岸線是1.21維時，感到一臉茫然。這就好比登臺階，你可以一步登一級，也可以步子邁大些一步登兩級；但如果有個人說他一步登1.5級臺階，那不是活見鬼？
的確，非整數(shù)維度的概念是數(shù)學家硬造出來的。畢竟，數(shù)學里的一切都是硬造的，關(guān)鍵在于它對描述世界是否有實際作用。硬造出非整數(shù)維度概念的數(shù)學家是德國猶太人費利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff，1868-1942），和科赫一樣，這位豪斯多夫也是富二代，此人多才多藝，除了數(shù)學研究成果卓著，還發(fā)表繪畫作品和哲學論著。但是納粹當權(quán)之后，他這個猶太人的好日子就過到了頭，在得知自己和家人將被送往集中營后，他和妻子服毒自盡……
為了理解豪斯多夫提出的維度概念，我們先從普通的整數(shù)維圖形講起。如下圖6.1.4，一條線段可以從中間分成兩段，每一段都和原來一模一樣，只不過變成了原來的一半長。正方形可以從各條邊中點切開，分成4個小正方形，每一個的邊長都是原來的一半。同理，正方體可以從各條棱中點切開，分成8個小正方體，每一個的棱長仍然是原來的一半。豪斯多夫維數(shù)的關(guān)鍵在于，要理解整體如何隨著縮放而改變。線段縮小一半的話，整體也縮小到1/2，因為兩段小的正好組成一條長線。正方形縮小一半的話，整體縮小到1/4，因為4個小的組成一個大正方形。正方形縮小一半的話，整體縮小到1/8，因為8個小的才能組成原來的大正方體。由此，維數(shù)的計算方法就是，當把一個圖形縮小1/2之后，整體縮小到1/2的幾次方倍。由此法可以計算出：線段是一維的，因為(1/2)^1=(1/2)；正方形是二維的，因為(1/2)^2=(1/4)；正方體是三維的，因為(1/2)^3=(1/8)。與我們的常識完全契合。
當然，縮小的比例未必是1/2，你也可以把線段、正方形、正方體縮小到1/3、1/5試試，計算之后仍然會得出相同的維數(shù)。
圖6.1.4 線段、正方形、正方體的維數(shù)
現(xiàn)在，再看豪斯多夫的維數(shù)計算公式就很容易理解了，他提出的公式是：
其中，a是相似比，即將圖形縮小的倍數(shù)；b是指原來的圖形可以由多少個縮小后的圖形拼成，n就是維數(shù)。
所以
現(xiàn)在，我們可以用這個公式計算科赫雪花曲線的維數(shù)了。如下圖6.1.5，科赫雪花曲線包含了4條一模一樣的縮小版曲線，每一條的尺寸都是原來曲線的1/3。所以，這個問題就是在問3的幾次方等于4。用計算器可以算出，科赫雪花曲線的維數(shù)是：
圖6.1.5 科赫雪花曲線的分形維數(shù)計算
因此，我們可以說科赫雪花曲線是1.26維的圖形。
當然，如果圖形出現(xiàn)變化，維數(shù)也會隨之變化，我們可以回過頭看看圖6.1.3a-c 科赫雪花曲線的變例的情況。它們依然包含了4條一模一樣的縮小版曲線，但由于頂角的度數(shù)不同，相似比也隨之發(fā)生變化。
圖a的頂角是120°，每一條的尺寸與原來曲線的比例都是
，所以維數(shù)
圖b的頂角是20°，每一條的尺寸與原來曲線的比例都是
，所以維數(shù)
圖c的頂角是0°，每一條的尺寸與原來曲線的比例都是1:2，所以維數(shù)
角度越尖銳，分形維數(shù)就越大，當曲線可以完全填充平面的時候，它就變成了二維圖形。
必須指出，這種算法只適用于嚴格自相似的情況。自然界中的萬事萬物顯然并非全都如此，因而分數(shù)維數(shù)的計算往往是一事一議，沒有統(tǒng)一的法則和公式，但是這種算法的思想?yún)s是有價值的。目前的研究已經(jīng)算出了許多自然分形的維數(shù)：
海岸線的維數(shù)：1~1.5
山地表面的維數(shù)：2.1~2.9
河流水系的維數(shù)：1.1~1.85
云的維數(shù)：1.35
人的肺的維數(shù)：2.17
人腦褶皺的維數(shù)：2.73~2.79
所以，從分形學的角度看，科幻小說《三體》中的降維打擊或許并不需要二向箔這種外星人的高端產(chǎn)品，在分形構(gòu)造中做做手腳就能實現(xiàn)。
分形除了顛覆了我們的對于尺度和維度方面的傳統(tǒng)認知之外，還改變了我們觀察世界的方式。曼德博在《大自然的分形幾何學》中不是說過么？"云不只是球體，山不只是圓錐，海岸線不是圓形，樹皮不是那么光滑，閃電傳播的路徑更不是直線。它們是什么呢？它們都是簡單而又復(fù)雜的分形。"所謂簡單，是指分形的構(gòu)造方法極其簡單，就像科赫曲線一樣，只要把一條線段中間的一段擦去，邊向外作正三角形，然后機械地重復(fù)無限次即可。所謂復(fù)雜，是指構(gòu)造出的圖案極其復(fù)雜精致。如果說，歐氏幾何是用抽象的數(shù)學模型對大自然作了一個最粗略的近似，那么分形幾何就是對自然作了精細的描繪。對于萬千像筆者這樣在"996"魔咒中苦苦掙扎的程序員而言，分形似乎為我們指引了一條進軍高逼格藝術(shù)界的康莊大道，因為我們只需要敲上短短幾行代碼，就能創(chuàng)造出手繪家永遠無法匹敵的復(fù)雜圖案。而且就像前文中圖6.1.3一樣，只要把分形的構(gòu)造方法稍加改變，所得的圖案就大不相同。或許，程序員無意中把迭代函數(shù)中的參數(shù)隨手一改，得到的很可能就是完全不同的另一幅畫。
我們?nèi)匀灰钥坪昭┗ㄇ€為例。如下圖6.1.6，從正三角形開始，還是把每一條邊的中間一段擦掉，不過這次改成向內(nèi)作正三角形，最后就得到了"科赫反雪花曲線"。它的樣子已經(jīng)與雪花完全不同，而是由許多獨立的形狀組成，其分形維數(shù)仍然同科赫雪花曲線一樣是1.26。
圖6.1.6 科赫反雪花曲線
下圖6.1.7是將中間一段擦去，向外做正方形的例子。我稱之為"直角型科赫曲線"，可以看到，迭代數(shù)次之后出現(xiàn)了很多像十字架一樣的形狀，酷似哥特式裝飾。圖6.1.8是把4條曲線拼接在一起形成的圖案。
圖6.1.7 直角型科赫曲線
圖6.1.8 直角型科赫曲線的拼接
當然，中央擦去的線段比例，以及取而代之的多邊形的邊數(shù)也可以任意改變。圖6.1.9展示了幾種變例，它們或像雪花，或像飾帶，或像花環(huán)……
圖6.1.9 科赫曲線的各類變種
我們的思路還可以進一步拓展，如果把中間的部分擦去之后，同時向內(nèi)外兩個部分作多邊形會如何。如圖6.1.10，把一條線段平均分成4份，中間兩段擦去，一段向外做正方形，另一段向內(nèi)做正方形，如此，4段就變成了8段，將其4條拼接在一起，迭代數(shù)次之后，就形成了一個形似魔鬼的旋轉(zhuǎn)對稱圖案。我稱之為"八段曲線"。除了樣子之外，這條曲線的另一個古怪之處在于它的分形維數(shù)，
，恰好是有理數(shù)。
圖6.1.10 八段曲線
圖6.1.11的構(gòu)造依然延續(xù)了上面的思路，只不過復(fù)雜了很多。一條線段分了8份，然后用曲曲折折的32條線段取代它，最后形成了一個形似回旋鏢的分形圖案。巧合的是，這個圖案的分形維數(shù)
，仍然是有理數(shù)。
圖6.1.11 三十二段曲線
圖6.1.12的構(gòu)造更加放飛自我。一條線段分了10份，然后用50條線段取代它，最后形成的圖案有點像二維碼，不曉得掃一掃能不能贏大獎。你信不信它的分形維數(shù)還是有理數(shù)？才怪，它的分形維數(shù)
圖6.1.12 五十段曲線
如果繼續(xù)放寬規(guī)則，就會創(chuàng)作出更加千姿百態(tài)的圖案。圖6.1.13把一條線段分成6段，形成"VMV"的形狀，迭代5次之后得到了類似皇冠的圖案，我稱之為"皇冠曲線"。圖6.1.14把一條線段分成4段，中間出現(xiàn)了交叉點，迭代8次之后得到的圖案酷似"花籃"，我稱之為"花籃曲線"。
圖6.1.13皇冠曲線
圖6.1.14花籃曲線
青山不改，綠水長流，在下告退。
轉(zhuǎn)發(fā)隨意，轉(zhuǎn)載請聯(lián)系張大少本尊，聯(lián)系方式請見公眾號底部菜單欄。
聯(lián)系客服
