本系列文章預計會有30個章節(jié)，這套文獻將系統(tǒng)講物理學系統(tǒng)本身，這里是第九季第13篇
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Hello，大家好，這里是Masir的物理學第九季專欄，我們再擴展討論下關(guān)于分形的概念。
我們知道，分形是一種復雜的幾何形狀，能夠在不同的尺度上展現(xiàn)出相似的結(jié)構(gòu)。分形在自然界中廣泛存在，例如山脈、樹木、云朵等。分形的性質(zhì)并不是普通的整數(shù)維度（1維、2維、3維等），而是分數(shù)維度，這也是“分形”一詞的來源。
分形結(jié)構(gòu)，就是你把這個東西的局部放大，發(fā)現(xiàn)它和它的整體很相似，再找個局部再放大，又跟剛才很相似，可以這么一直下去，也就是“自相似”。
像海岸線、樹杈、樹葉都具有分形的特點。下面是一片葉子也是：
從中選擇一個局部（紅框）放大，也像是一片葉子。
再來看一個抽象但是嚴格的分形??（上一講我們聊過，再細化探討下）
1904年，瑞典數(shù)學家柯赫設(shè)計了一條被稱為“柯赫曲線”的圖形，也滿足處處連續(xù)處處不可微的條件。
柯赫曲線的生成過程很簡單，以雪花曲線為例：先給出一個正三角形（作為原始形狀），然后使每個邊中間三分之一向外折起，這一操作常稱作迭代規(guī)則，于是生成了一個有6個角12個邊的對象。
第二步在此基礎(chǔ)上，將每個小邊中間三分之一去掉并向外折起。重復此操作，經(jīng)過無窮次操作就得到了極限圖形——柯赫曲線。
用柯赫曲線來模擬自然界中的海岸線是相當理想的。
這條想象中的曲線任何一部分都是一樣的形狀，不管你怎么放大都可以。
這個曲線叫做“科赫曲線（Koch curve）”，它的生成方法下面這樣的 ——
先取一條直線，把它三等分，然后在中間的線段向外突出一個三角形。然后再對新的每一條邊做這個操作，以此類推，以至于無窮。
好，這就是最基本的分形概念?，F(xiàn)在我們要做的是測量分形的“維度”。為此，咱們先看看“正?！毙螤畹木S度是怎么算的。
看下面這個示意圖。
把一條線段2等分，你就得到兩條線段。
把一個正方形的邊2等分，你就得到4個正方形。
把一個立方體的邊2等分，你就得到8個立方體。
其中的4和8，分別是2的2次方和2的3次方。—— 這個“2次”和“3次”，就是正方形和立方體的“維度”。
現(xiàn)在咱們把這個概念推廣一下。以此類推，如果你把一個東西的邊，分成 r 等分，你就得到了 N 個小東西，然后
那么這個 D，就是維度。正方形，D=2，說明是2維的；立方體，D=3，是3維的。那反過來，取個對數(shù)，我們也可以說
這就是計算任何圖形的維度的公式。那咱們來算算前面那個科赫曲線的維度是多少。注意，這不是一條平常的曲線，這是一條想象中的、細節(jié)無限可分的曲線。
按照最基本長度的1/3為一段分段，橫向分3段的話，這條曲線的長度是4段，相當于上圖中第二條曲線。
按照1/9的長度分段9段，曲線的長度是16段，以此類推。也就是說，r=3, 則 N=4；r=9，則 N =16，……注意 r 和 N 的變化是這么一直以乘方的形式變，而取對數(shù)再做除法，所有的乘方就都被消除了，所以維度永遠都是
就是分形特殊的數(shù)學性質(zhì)！一般的線都是1維的。科赫曲線明明是一條線，但因為它是一條特殊的、中間有無限細節(jié)的線，它居然不是1維，而是1.26維！
這個結(jié)果就是說，分形，可以增加維度 —— 出現(xiàn)了分數(shù)維，所以才叫“分”形。
好，那我們再看一個更特殊的情況。
把科赫曲線中那個三角形的夾角無限地縮小，以至于變成中間突出的一條線段，這么一直分形下去是什么結(jié)果呢？是下面第四個圖的樣子 ——
這條特殊的科赫曲線布滿了它所在區(qū)域范圍內(nèi)的整個平面！相應(yīng)的維度 = 2。也就是說，它已經(jīng)不再是“線”了，它已經(jīng)變成了一個“面”！
具體解釋下：如果我們考慮一個線段，每次迭代都在其上增加無數(shù)個小的“波動”或“凹凸”，并且這些“凹凸”的大小和角度持續(xù)減小，這條線將會變得越來越不規(guī)則和復雜。
在極限情況下，即每個點都成為一個“斷點”時，這條線將充滿整個二維空間，從而分維數(shù)會趨近于2。
換句話說，如果你讓科赫曲線中的三角形夾角無限地縮小，那么科赫曲線會變得越來越復雜，并且在極限情況下，其維數(shù)會趨近于2，因為它會盡可能地填滿二維空間。
這種情況下，科赫曲線的分形維度將會是2。
當你把一條線鋪滿整個平面的時候，它就多出來了整整一個維度。這是今天分形告訴我們的最重要消息。
當分形維度達到2時，這個分形結(jié)構(gòu)將在某種意義上變得類似于一個平面，盡管它仍然是由一條線構(gòu)成的。分形維度為2意味著該結(jié)構(gòu)已經(jīng)變得如此復雜，以至于它在幾何上表現(xiàn)得更接近于二維平面而非一維線段。
當我們說一個形狀是二維時，通常意味著它可以完全充滿一個平面。在這種情況下，雖然科赫曲線仍然是由線段構(gòu)成的，但由于其無窮的復雜性和細節(jié)，它可以在幾何上充滿二維空間，因此我們說它的分維數(shù)為2。
要記住，這并不意味著科赫曲線真的變成了一個填滿了所有空間的平面，而是說它的復雜度和填充性已經(jīng)達到了與二維平面相似的水平。實際上，無論多么復雜，科赫曲線仍然只覆蓋了二維空間中的一個零測集（即它沒有體積或面積）。
好，關(guān)于三維及高維我們以后有機會再深入談?wù)劇?/p>
總之，分形其實可以作為一種工具，幫助我們理解和探索高維空間和復雜結(jié)構(gòu)，從而深化我們對宇宙中復雜現(xiàn)象的理解。
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