一片雪花的周長(zhǎng)和地球的直徑哪個(gè)更長(zhǎng)？這看似是一個(gè)顯而易見的問題。但是，它其實(shí)蘊(yùn)含了一個(gè)深刻的數(shù)學(xué)原理——分形幾何。
一.英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？
1967年，美國(guó)數(shù)學(xué)家曼德布羅在美國(guó)權(quán)威期刊《科學(xué)》上發(fā)表了一篇論文，題目是《英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)》。很多年以前，人們就發(fā)現(xiàn)了一個(gè)奇怪的現(xiàn)象：不同國(guó)家的測(cè)量機(jī)構(gòu)對(duì)英國(guó)的海岸線測(cè)量數(shù)值相差很大，有人提出：這是因?yàn)樵跍y(cè)量過程中“尺子”的大小不同造成的。曼德布羅重新研究了這個(gè)問題，得出了一個(gè)驚人的結(jié)論：英國(guó)海岸線的長(zhǎng)度可以是無限的。
為什么這么說呢？我們知道，英國(guó)的海岸線非常崎嶇，如果我們用衛(wèi)星進(jìn)行測(cè)量，相當(dāng)于用一個(gè)很巨大的尺子，這樣就會(huì)忽略海岸線上很多崎嶇的細(xì)節(jié)，測(cè)量出的結(jié)果就比較小。但是如果我們讓一個(gè)人沿著海岸線走一圈，他就會(huì)走過海邊的礁石和沙灘，穿越海邊的叢林，會(huì)發(fā)現(xiàn)很多衛(wèi)星上看不到的細(xì)節(jié)，測(cè)量的結(jié)果就會(huì)變大。假如我們讓一只螞蟻爬過英國(guó)的海岸線，因?yàn)槲浵伒纳眢w更小，它就會(huì)發(fā)現(xiàn)更多人觀察不到的細(xì)節(jié)，例如海邊的一塊小石頭，一個(gè)易拉罐，甚至一粒沙子，造成測(cè)量的結(jié)果更大。
不同的尺子，測(cè)量結(jié)果不同
于是，假如我們讓尺子無限縮小，英國(guó)的海岸線長(zhǎng)度就會(huì)變成無窮大。1975年，曼德布羅提出了分形“分形”這個(gè)詞，來描述這種神奇的問題。
二.科赫雪花
其實(shí)，曼德布羅并不是最早研究分形幾何的數(shù)學(xué)家。比他早100年的數(shù)學(xué)家康托爾就已經(jīng)研究過類似的“康托爾集合”。在這一百年中，數(shù)學(xué)家們提出過各種各樣的分形幾何圖形，其中最為著名的是數(shù)學(xué)家科赫提出的“科赫雪花?！?/p>
1904年，瑞典數(shù)學(xué)家科赫提出了一種圖形：將一個(gè)正三角形的每條邊平分為三份，再以每條邊中間的一份為邊，向外做正三角形，這個(gè)過程稱為一次迭代。
一次迭代
經(jīng)過一次迭代，正三角形變?yōu)榱?2條邊。我們?cè)賹⒚織l邊平分成三份，向外做更小的正三角形，稱為二次迭代。然后不停地重復(fù)這個(gè)過程，直到無限次迭代，就形成了科赫雪花。
2次、3次迭代
科赫雪花的周長(zhǎng)有多大呢？設(shè)最開始的三角形邊長(zhǎng)為1，經(jīng)過一次迭代，每條邊的邊長(zhǎng)都變?yōu)榱嗽瓉淼?/3，所以周長(zhǎng)會(huì)變?yōu)樵瓉淼?/3。經(jīng)過N次迭代，周長(zhǎng)就變?yōu)?/p>
當(dāng)?shù)螖?shù)無窮多，N無限大時(shí)，科赫雪花的周長(zhǎng)就會(huì)變?yōu)闊o窮大——這是因?yàn)樗倪叿浅５钠閸?。相比來講，地球雖然看起來比雪花大很多，但是它的直徑卻是一個(gè)有限值——大約12800km。雪花的周長(zhǎng)比地球直徑還要大。
地球直徑
科赫雪花的周長(zhǎng)是無限長(zhǎng)，但是面積是有限的——這是顯而易見的，因?yàn)榭梢杂靡粋€(gè)圓形把雪花罩住，所以雪花的面積小于圓形的面積。
科赫雪花面積是有限的
具體來講：最初的正三角形有三條邊，迭代時(shí)每一條邊都會(huì)變?yōu)?條邊，所以經(jīng)過N-1次迭代之后總邊數(shù)為
進(jìn)行第N次迭代時(shí)，雪花的每條邊都會(huì)向外凸起，形成新的小三角形。設(shè)最初的三角形面積為1，每次迭代構(gòu)造的小三角形邊長(zhǎng)為原來三角形的1/3，面積是原來三角形的1/9，所以進(jìn)行第N次迭代時(shí)，生成的每個(gè)小三角形面積為：
所以，第N次迭代增加的所有小三角總面積為：
于是經(jīng)過無限次迭代，可以利用等比數(shù)列求和得到雪花的總面積為
總面積比原來增加了60%。
三.謝爾賓斯基地毯
除了科赫雪花，還有一種比較有名的分形結(jié)構(gòu)——謝爾賓斯基地毯。它是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1916年提出的。
謝爾賓斯基地毯的構(gòu)造方法是：將一個(gè)正方形均分為9個(gè)小正方形，再將中間的正方形去掉，稱為一次迭代。然后對(duì)余下的8個(gè)小正方形做同樣操作，直到無限次。
構(gòu)造謝爾賓斯基地毯
這個(gè)圖形看起來無限鏤空，我們很容易計(jì)算它的面積：每次迭代時(shí)，去掉的黑色部分都占白色部分面積的1/9，所以余下白色面積的 8/9。設(shè)最初白色正方形面積為1，經(jīng)過N次迭代之后剩余的白色面積為
我們發(fā)現(xiàn)，只要迭代次數(shù)無窮多，這張地毯的面積是趨近于0的，這和科赫雪花周長(zhǎng)趨向于無窮大有異曲同工之妙。
四.自相似性
分形結(jié)構(gòu)最大的特點(diǎn)是自相似性：當(dāng)我們拿出圖形的一部分時(shí)，它與整體的形狀完全一樣，只是大小不同。例如，我們把謝爾賓斯基地毯右上角的小方塊拿出來，它和整體是相似的。再從其中拿出更小的方塊，依然和整體是相似的。
謝爾賓斯基地毯自相似性
同樣，我們可以把科赫雪花不停地放大、再放大，無論多小的一小段，雪花都依然保持了和原來一模一樣的崎嶇結(jié)構(gòu)。
科赫雪花自相似性
五.分形圖案的維度
我們知道：直線是1維的，平面是2維的，空間是3維的，這稱為拓?fù)渚S度。不過要表示分形圖案的維度，我們需要用到另一個(gè)概念——豪斯多夫維度，它是德國(guó)數(shù)學(xué)家豪斯多夫在1918年提出的，所描述的剛好是自相似圖形的特點(diǎn)。
豪斯多夫維度的定義是：如果能把一個(gè)圖形按照1：m的比例分割，最后分出n份，那么豪斯多夫維度就是
比如，將一條線段分成按照1：2的比例分割，就能分割成2份。于是線段的豪斯多夫維度是log2_2=1；把一個(gè)正方形按照1：2的比例分割，就能分割成4份，所以正方形的豪斯多夫維度是log2_4=2；把一個(gè)立方體按照1：2的比例分割，就能分割成8份，立方體的豪斯多夫維度是log2_8=3。
分割圖形
按照這樣的規(guī)律，我們可以計(jì)算出科赫雪花和謝爾賓斯基地毯的維度?？坪昭┗看蔚鷷r(shí)相似比為1：3，而且分出了4份，所以豪斯多夫維度為log3_4=1.26；謝爾賓斯基地毯中的每一小塊與全體的相似比為1：3，每張地毯可以分出8個(gè)小塊，因此豪斯多夫維度是log3_8=1.89。
分形曲線的維度居然不是整數(shù)，真是匪夷所思！
科學(xué)家們還發(fā)現(xiàn)：現(xiàn)實(shí)生活中小到一片葉子，大到一個(gè)星球，它的表面都是崎嶇不平的。曾經(jīng)，我們研究的幾何學(xué)都是以光滑的曲線和平面為基礎(chǔ)，研究分形結(jié)構(gòu)有助于我們更好的認(rèn)識(shí)真實(shí)的世界。
菜花的分形結(jié)構(gòu)
藝術(shù)家們還構(gòu)造出了許許多多的分形結(jié)構(gòu)，給我們一種深邃之美。
分形藝術(shù)
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