第二章：簡單分形
“王二不簡單啊！”張三說：“你看，數(shù)學(xué)上真的有如你所說的分?jǐn)?shù)維……”
王二卻假裝喪氣地說了一句笑話：“唉，可惜我晚生了100多年，要不然，我就是第一個提出分?jǐn)?shù)維的人了……”
圖（2.1）：皮亞諾和他的space filling curve
原來非整數(shù)維的需要，早在1890年，就被意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾(G.Peano)提出。他當(dāng)時構(gòu)造了一種奇怪的曲線。你們看，按照圖（2.1）的方法一直構(gòu)造下去，最后所逼近的極限曲線，應(yīng)該能夠通過正方形內(nèi)的所有的點，充滿整個正方形。那不就等于是說：這條曲線最終就是整個正方形，就應(yīng)該有面積！這個結(jié)論令當(dāng)時的數(shù)學(xué)界大吃一驚。一年后，大數(shù)學(xué)家希爾伯特也構(gòu)造了一種性質(zhì)相同的曲線。這類曲線的奇特性質(zhì)令數(shù)學(xué)界不安：如此一來，曲線與平面該如何區(qū)分？對這種奇怪的幾何圖形，當(dāng)時的經(jīng)典幾何似乎顯得無能為力，不知道該把它們算作什么。
這類奇怪的曲線，包括我們在上一章中介紹過的分形龍，都是分形的特例，不同的迭代方法，可以形成各種各樣不同的分形。自皮亞諾之后，科學(xué)家們對分形的研究，形成了一個新的幾何分支，叫做“分形幾何”。
分形(Fractal)是一種不同于歐氏幾何學(xué)中元素的幾何圖形。簡單的分形圖，例如上一章中所舉的分形龍例子，很容易從迭代法產(chǎn)生。還有許多看起來更簡單的分形曲線。比如，如圖（2.2）所示的科赫曲線。
圖（2.2）科赫曲線的生成方法
尼爾斯·馮·科赫（Niels von Koch） （1870– 1924）是一位瑞典數(shù)學(xué)家，出生于瑞典一個顯赫的貴族家庭。馮·科赫的祖父曾擔(dān)任瑞典的司法大臣，父親是瑞典皇家近衛(wèi)騎兵團的中校。研究數(shù)學(xué)和哲學(xué)，是當(dāng)年瑞典貴族階層的流行風(fēng)尚，如今聞名世界的諾貝爾獎，就是由瑞典皇家科學(xué)院專設(shè)的評選委員會負(fù)責(zé)評審和頒發(fā)的。馮·科赫在1887年被新成立不久的斯德哥爾摩大學(xué)錄取，師從著名的函數(shù)論專家哥斯塔·米塔格-列夫勒（G?sta Mittag-Leffler）。由于斯德哥爾摩大學(xué)當(dāng)時尚未獲得頒發(fā)學(xué)位的許可，之后他又就讀于烏普薩拉大學(xué)，在此校獲得文學(xué)士及哲學(xué)博士學(xué)位之后，被斯德哥爾摩的皇家工學(xué)院任命為數(shù)學(xué)教授，
在短短的54年生命中，馮·科赫寫過多篇關(guān)于數(shù)論的論文。其中較突出的一個研究成果是他在1901年證明的一個定理，說明了黎曼猜想等價于素數(shù)定理的一個條件更強的形式。但是，他留給這個世界的最廣為人知的成果，還應(yīng)該是這個此文中所介紹的以他而命名的科赫曲線。
科赫在他1904年的一篇論文“關(guān)于一個可由基本幾何方法構(gòu)造出的，無切線的連續(xù)曲線”中，描述了科赫曲線的構(gòu)造方法。
如圖（2.2）所示，科赫曲線可以用如下方法產(chǎn)生：在一段直線中間，以邊長為三分之一的等邊三角形的兩邊，去代替原來直線中間的三分之一，得到（a）。對（a）的每條線段重復(fù)上述做法又得到（b），對（b）的每段又重復(fù)，如此無窮地繼續(xù)下去得到的極限曲線就是科赫曲線。科赫曲線顯然不同于歐氏幾何學(xué)中的平滑曲線，它是一種處處是尖點，處處無切線，長度無窮的幾何圖形。科赫曲線具有無窮長度。這點很容易證明：在產(chǎn)生科赫曲線的過程中，每一次變換都使得曲線的總長度變成原來長度的三分之四倍，也就是說乘以一個大于一的因子。例如，如果假設(shè)開始時的直線段長度為1，在圖（2.2a）中，折線總長度為4/3；而（b）圖的折線總長度為（4/3）*（4/3）；（c）圖的折線總長度為（4/3）*（4/3）*（4/3）；這樣一來，當(dāng)變換次數(shù)趨向于無窮時，曲線的長度也趨向于無窮。
科赫雪花則是以等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成的，如圖（2.3）所示。
圖（2.3）科赫雪花
李四指著圖（2.3）說：“你們看，這科赫曲線處處連續(xù)而處處不可微……”話還沒說完，就被王二打斷了，王二指著（b）中的一段直線：
“連續(xù)是對的，我怎么看不出處處不可微呢？這些平平的三角形邊上直線的部分不都是可微的嗎？”
李四明白了王二的困惑之處，笑嘻嘻地解釋道：“問得好！這是一個很重要的概念：我們用迭代的方法生成分形，但是，生成過程中的那些圖都不是分形，只是最后那個無窮迭代下去的最后極限的圖形才叫做‘分形’！”
張三說： “對，所以實際上，分形是畫不出來的?！?/span>
王二也明白了：“是呀，只能看著圖，再加上想象……”
言歸正傳，因為每條科赫曲線都是連續(xù)而無處可微的曲線，每條曲線的長度都是無限大，所以，由三條科赫曲線構(gòu)成的科赫雪花的整個周長也應(yīng)該是無限大。然而，從圖中很容易看出，科赫雪花的面積卻應(yīng)該是有限的。因為整個雪花圖形是被限制在一個有限的范圍之內(nèi)。比如，科赫雪花的面積應(yīng)該是大于圖（2.3a）中正三角形的面積√3*1.5，而小于圖（2.3d）中紅色圓形的面積pi。
利用初等數(shù)學(xué)很容易求得圖（2.3）中，作無限次迭代之后科赫雪花圖形的面積。
設(shè)A0為初始三角形的面積，An為n次迭代之后圖形的面積，讀者不難得出下面的迭代公式：
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