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借圖形變化，巧添輔助線，證明線段相等

妍小青 >《待分類》

2021.08.17

關(guān)注

證明線段相等的方法有很多，一般有如下的思考方向：

(1)兩條線段在同一個(gè)三角形中，通常運(yùn)用等角對(duì)等邊；

(2)兩條線段在兩個(gè)三角形中，證明這兩條線段是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊；

(3)運(yùn)用等腰三角形的三線合一、線段的垂直平分線性質(zhì)定理、角平分線的性質(zhì)定理證明；

(4)特殊四邊形(平行四邊形、矩形、菱形、正方形)的判定或性質(zhì)；

(5)等量代換；

(6)圖形旋轉(zhuǎn)、翻折、平移后對(duì)應(yīng)邊相等。

觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)，線段CP、PB在同一個(gè)三角形中，由題易知∠PCB、∠PAB=15°，在不添加輔助線的前提下，無法證明∠PBC=15°，若換一種思路，將線段PB、PC放到兩個(gè)三角形中，證明所在的三角形全等也無法實(shí)現(xiàn)，圖中更沒有垂直平分線、角平分線等特殊圖形，似乎常用的方法無法實(shí)現(xiàn)。由于圖形中的條件比較集中，因此可以嘗試從圖形運(yùn)動(dòng)的角度添加輔助線使集中的條件分散化，搭建已知和未知之間的橋梁，這就是解題的突破口。

1、運(yùn)用平移變換

解法分析：從圖形運(yùn)動(dòng)的角度看，解法1通過構(gòu)造平行四邊形，將PB平移到AD，從而將AD、CP置于兩個(gè)全等的三角形中；解法2通過構(gòu)造正方形，將AD平移到BD處，同樣通過全等證明線段相等。在圖中通過構(gòu)造平行四邊形或者構(gòu)造正方形來實(shí)現(xiàn)線段的平移。

2、運(yùn)用翻折變換

解法分析：從圖形運(yùn)動(dòng)的角度看，解法3和解法4是觀察到圖中含15°、30°角，翻折后將會(huì)出現(xiàn)30°、60°的特殊角，從而構(gòu)造了全等三角形、等腰三角形和等邊三角形來證明問題的正確性。

解法分析：從圖形運(yùn)動(dòng)的角度看，解法5、解法6以及解法7則是觀察到圖形中已知或需證的等腰三角形，或是構(gòu)造了角平分線，充分運(yùn)用其軸對(duì)稱性質(zhì)解題。

當(dāng)條件或問題中出現(xiàn)或構(gòu)造二倍角、等腰三角形、角平分線、線段的垂直平分線等條件，可以考慮運(yùn)用翻折變化，運(yùn)用其軸對(duì)稱性質(zhì)解決問題。

3、運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換

解法分析：從圖形運(yùn)動(dòng)的角度看，解法8實(shí)質(zhì)上將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，構(gòu)造了等邊三角形，利用“等角對(duì)等邊”解決問題；解法9將CP繞點(diǎn)C順時(shí)針選擇60°，構(gòu)造等角，再通過全等三角形的相關(guān)知識(shí)將問題解決。

總之，當(dāng)題目中含有等邊三角形、等腰三角形等圖形時(shí)，或需要構(gòu)造等腰三角形、等邊三角形時(shí)，可以考慮通過圖形的旋轉(zhuǎn)解決。

（以上內(nèi)容參考自徐行中學(xué) 許曦韻）

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