（一）尋找“超復(fù)數(shù)”

還是在16世紀(jì)，歐洲人在用配方法解二次方程時，希望把平方根的算術(shù)運算推廣到任何數(shù)上，這樣就碰上了復(fù)數(shù)——當(dāng)時稱為“虛數(shù)”。

例如，卡丹在《大術(shù)》（1545）中說，可以把10分成兩個部分，而使得它們的乘積為40，也就是解方程x（10-x）=40，得到的兩個“根”為5 √(-15)和√5——15。對于這種神奇的數(shù)，卡丹說“不管受到多大的良心責(zé)備”，“算術(shù)就是這樣神妙地搞下去，它的目標(biāo)，正如常言所說，是又精致又不中用的”。邦貝利也碰到了這樣的麻煩，雖然他幾乎像現(xiàn)代形式那樣規(guī)定了復(fù)數(shù)的四種運算，但他仍然認(rèn)為復(fù)數(shù)“無用”而且“玄”。笛卡爾也拋棄復(fù)根，并選擇了“虛數(shù)”這個名稱，甚至牛頓也不承認(rèn)虛根是有意義的。復(fù)數(shù)的出現(xiàn)造成的這種迷茫的“太虛幻境”，反映在萊布尼茲如下的陳述中：

圣靈在分析的奇觀中，找到了超凡的顯示。這就是那個理想世界的端兆，那個介于存在與不存在之間的兩棲物，那個我們稱之為虛的-1的平方根。

1797年，挪威出生的測量員韋塞爾（Caspar Wessel，1745—1818）邁出了對復(fù)數(shù)認(rèn)識的重要一步。在論文《關(guān)于向量的分析表示：一個嘗試》中，韋塞爾引入了一根虛軸，并以√(-1)作為單位，這就是我們今天所學(xué)習(xí)的復(fù)數(shù)的幾何表示。在使人們接受復(fù)數(shù)方面，高斯做了卓有成效的工作。他指出正是復(fù)數(shù)的幾何表示才使得人們對虛數(shù)真正有了一個新的認(rèn)識。他引進了術(shù)語“復(fù)數(shù)”（complex number）以與“虛數(shù)”（imaginary number）相對立，并用i來代替√(-1)。

向量，即可以代表力、速度或加速度的具有大小、方向的有向線段，進入了數(shù)學(xué)后，馬上就獲得了它的代數(shù)形式——復(fù)數(shù)。但是，復(fù)數(shù)只能表示在同一個平面上物體受力的情況。如果作用于一個物體上的幾個力不在一個平面上，就需要一個三維的類似物。可以用來表示空間向量的代數(shù)形式是什么呢？數(shù)學(xué)家們開始了尋找所謂“三維復(fù)數(shù)”的努力。對此作出重要貢獻(xiàn)的是愛爾蘭的數(shù)學(xué)家哈密頓（William R.Hamilton，1805—1865）。

（二）四元數(shù)：A×B=B×A嗎？

哈密頓少年時代在語言方面有著常人無法比擬的才能，5歲時掌握了拉丁文、希臘文和希伯來文，8歲學(xué)會了意大利語和法語，10歲時開始學(xué)習(xí)梵文，甚至還要學(xué)習(xí)漢語?？墒?，14歲時，一位來自美國的速算少年的表演，讓哈密頓的才能沒有浪費在掌握那些無用的語言上——他迷戀上了數(shù)學(xué)。17歲時，他通過自學(xué)微積分掌握了數(shù)學(xué)，并獲得了充分的天文學(xué)知識。1823年，哈密頓考入都柏林的三一學(xué)院。1827年他的《光束理論》建立了幾何光學(xué)的科學(xué)，這篇論文發(fā)表在《愛爾蘭皇家科學(xué)院學(xué)報》上。為此，哈密頓被任命為三一學(xué)院的天文教授，并得到了愛爾蘭皇家天文學(xué)家的頭銜。所以，哈密頓在當(dāng)時作為物理學(xué)家的名氣要比作為一個數(shù)學(xué)家的名氣大得多。

哈密頓推廣復(fù)數(shù)的工作是從他把復(fù)數(shù)處理成實數(shù)的有序數(shù)偶開始的。1837年，哈密頓在《共軛函數(shù)及作為純粹時間的科學(xué)的代數(shù)》一文中，首先對復(fù)數(shù)符號的實質(zhì)作了解釋。他指出，復(fù)數(shù)a bi不是2 3意義上的和，加號的使用是歷史的偶然，而bi是不能加到a上去的。復(fù)數(shù)a bi不過是實數(shù)的有序偶（a, b），在此意義下，復(fù)數(shù)的四則運算應(yīng)該是

?

這樣，通常的結(jié)合律、交換律和分配律都能推導(dǎo)出來。

哈密頓澄清了復(fù)數(shù)的概念，這使他能更清楚地思考怎樣引進它的三維空間的類似物。他首先想到的是，既然是復(fù)數(shù)的擴展，那么把這個“類似物”表示為a bi cj的形式是自然的。但是，哈密頓碰到了問題：模法則不成立了！我們知道，對于兩個復(fù)數(shù)，它們乘積的模等于這兩個復(fù)數(shù)模的乘積，即

｜z z1｜=｜z｜｜z1｜，｜z2｜=｜z｜2

對于三維復(fù)數(shù)a bi cj，若

｜（a bi cj）2｜=｜（a bi cj）｜2

必須有

i j=0

但是｜i｜=1，｜j｜=1，怎么會有｜i j｜=0？于是，哈密頓假設(shè)i j=k，而j i=-k，即交換律不成立了，但是，這樣的假設(shè)保證了模法則是成立的。那么，這個不請自來的k究竟是什么呢？這只好迫使哈密頓考慮下面的一般的乘積：

（a bi cj）（x yi zj）=

（ax-by-cz） （ay bx）i （az cx）j （bz cy）k

他發(fā)現(xiàn)在這個乘積中，模法則正好成立。如果把k設(shè)想為同時垂直于單位向量1，i, j的新單位向量，那么上述等式表示了：兩個屬于三維空間的向量乘積，是一個四維空間的向量。真是莫名其妙！

這樣，哈密頓只得放棄對“三元復(fù)數(shù)”的追求，而著手考慮新數(shù)“a bi cj dk”。經(jīng)過十多年的苦思冥想，靈感終于來了！

那是1843年10月16日的黃昏，哈密頓攜夫人一道去都柏林出席愛爾蘭皇家學(xué)會會議，當(dāng)步行到勃洛翰橋的時候，長期思考問題的大腦中突然亮出了一道“閃電”，他寫道：“此時此地，我感到思想的電路接通了，而從中落下的火花，就是i, j，k之間的基本方程，恰恰就是我此后使用它們的樣子?！?/p>

哈密頓發(fā)現(xiàn)自己被迫作出兩個讓步：第一，他的新數(shù)必須包含四個分量；第二，他必須放棄乘法交換律。這兩條對于代數(shù)學(xué)都是革命性的，他把這個新的數(shù)

a b i c j d k（a, b，c, d為實數(shù)）

稱為“四元數(shù)”。下表是四元數(shù)的運算表。

表11.1　四元數(shù)的基本算律

下面計算兩個四元數(shù)的乘積作為示例：

p=3 2i 6j 7k, q=4 6i 8j 9k

p·q=-111 24i 72j 35k

q·p=-111 28i 24j 75k

所以，有p q≠q p。

1843年，哈密頓在愛爾蘭皇家科學(xué)院會議上宣告了四元數(shù)的發(fā)明。這是他15年思索的結(jié)晶，也是他后來22年研究工作的開始。一位英國人曾這樣評價哈密頓：“牛頓的發(fā)現(xiàn)對于英國及人類的貢獻(xiàn)超過了所有英國的國王；我們無可置疑的1843年哈密頓的四元數(shù)的偉大數(shù)學(xué)的誕生，對人類所帶來的真正利益，是和維多利亞女皇時代的任何大事件一樣重要的?！?/p>

數(shù)學(xué)的思想一旦沖破傳統(tǒng)模式的藩籬，便會產(chǎn)生無可估量的創(chuàng)造力。哈密頓的四元數(shù)的發(fā)明，使得數(shù)學(xué)家們認(rèn)識到既然可以拋棄實數(shù)和復(fù)數(shù)的交換律去構(gòu)造一個有意義、有作用的“數(shù)”，那么，就可以較為自由地考慮甚至偏離實數(shù)和復(fù)數(shù)的通常性質(zhì)去構(gòu)造人為的“數(shù)”——通向抽象代數(shù)的大門被打開了！