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數(shù)系是不斷擴(kuò)充的，先由整數(shù)到分?jǐn)?shù)又到實(shí)數(shù)。接著把實(shí)數(shù)擴(kuò)充到復(fù)數(shù)，經(jīng)四元數(shù)擴(kuò)充到八元數(shù)。這后一過(guò)程是怎樣進(jìn)行的？是否到八元數(shù)為止了，八元數(shù)體存在什么問(wèn)題？這是下面要解決的主要問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，給出了一系列多元數(shù)體。

由實(shí)數(shù)域擴(kuò)充數(shù)系，是如下進(jìn)行的。

在實(shí)數(shù)域R上添加一個(gè)虛數(shù)單位i，ii=i/2=-1，若a，b∈R，對(duì)通常的加法和乘法，a+bi形成復(fù)數(shù)域C。

在C上添加一個(gè)虛數(shù)單位j，jj=j/2=-1，滿足ij=-ji。（ij）/2=（ij）（ij）=i（j（ij））=i（j（-ji））=（i（-jj）i）=ii=-1。因此ij是一個(gè)虛數(shù)單位，（-ij）也是一個(gè)虛數(shù)單位。設(shè)ij=k（或設(shè)-ij=k）則k/2=-1，設(shè)虛數(shù)單位的集合為I，I中就有3個(gè)元素。從（ij）（ij）=i（j（ij））= i（jk）=-1知jk=i。從k（ij）=（ki）j=-1得ki=j。i，j，k關(guān)于乘法構(gòu)成三階循環(huán)群。若a，b，c，d∈R，則a+bi，c+di∈C，由（a+bi）+（c+di）j=a+bi+cj+dk構(gòu)成的體稱為四元數(shù)體Q。四元數(shù)體有左手系和右手系，決定于假設(shè)ij=k或設(shè)-ij=k。

在Q上再添加一個(gè)虛數(shù)單位r，rr=r/2=-1，滿足ir=-ri，jr=-rj，a+bi+cj+dij∈Q，e+fi+mj+nij∈Q，那么a+bi+cj+dij+（e+fi+mj+nij）r= a+bi+cj+dij+er+fir+mjr+nijr是否構(gòu)成體首先決定于（ijr）?=-1是否成立？因?yàn)榍懊孀C明可知（ir）/2=h/2=-1，（jr）/2=l/2=-1，所以（ijr）/2=（i（jr））/2=（il）/2=-1?？勺C明八元數(shù)a+bi+cj+dk+er+fh+ml+nq構(gòu)成體，（Cayley）數(shù)體。八元數(shù)體可用復(fù)數(shù)域與四元數(shù)體的直積生成。構(gòu)造方法如下：設(shè)i，j，k，h為虛數(shù)單位，

則（a+bi)（c+dj+ek+fh）=ac+adj+aek+afh+bci+bdij+beik+bfih。ij，ik，ih是虛數(shù)單位，分別設(shè)為l，r，q。虛數(shù)單位 i，j，k，h，l，r，q的元素個(gè)數(shù)7是素?cái)?shù)，可以構(gòu)成循環(huán)群，單位群={1，-1，i，j，k，h，l，r，q，-i，-j，-k，-h，-l，-r，-q}，可以構(gòu)成體。以上兩種生成八元數(shù)體方法是等價(jià)的。