復(fù)數(shù)與超復(fù)數(shù)
一元五次方程這事說完了，回到我們的一元三次方程√-1的問題。我們現(xiàn)在是被人家像水牛強(qiáng)壓著頭喝水，接受了√-1，但是既然它有用，它就有合理，它就有存在的價(jià)值，那么它就應(yīng)該有意義。
我們現(xiàn)在就要理解√-1到底是什么意義。到底是什么意義呢？我們看：首先，你接受了√-1，你發(fā)現(xiàn)那個(gè)解始終是a+b√-1，和a-b√-1的問題，這倆一直同時(shí)存在。你看這兩項(xiàng)一加，后邊√-1就沒了；你把他倆一乘，√-1也沒了。這就理解了我們說這倆要“共軛”。共軛是什么意思呢，共軛是說牛的：兩頭牛用同一個(gè)軛，用力就往一個(gè)方向去了，這個(gè)叫共軛。而共軛是我們數(shù)學(xué)和物理里面始終會(huì)用到的這個(gè)詞。共軛就是一對(duì)變量或一對(duì)某某關(guān)系的時(shí)候，說它們倆是共軛的。共軛的意思就他倆像兩頭牛一樣，要用一個(gè)軛才能往一個(gè)方向使勁。所以說將來我們這個(gè)領(lǐng)導(dǎo)干部配置，將來應(yīng)該是根據(jù)共軛原則，它能用力往一個(gè)方向去。能夠把各種矛盾，讓我別扭的地方能夠消除掉。a+b√-1，和a-b√-1受它理解的時(shí)候，我們?cè)倮斫馕覀兎匠倘绻小?的時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)就是α+β√2，與α-β√2，他們倆相加相乘也把√2這個(gè)讓我不舒服的，也能甩掉。共軛它這個(gè)意義它是廣義的。你看這又給我們帶來了新的知識(shí)。
再往下，我們都認(rèn)識(shí)到√-1，是能接受它了，接下來我們?cè)趺匆步o它取個(gè)名字吧。所以到1637年，法國(guó)的這位數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、大神：笛卡爾，給他取個(gè)名字，說這是個(gè)imaginary number，是個(gè)虛妄的數(shù)，是一個(gè)虛無的數(shù)，或一個(gè)想象的數(shù)，所以就有虛數(shù)的說法了。到了1777年，起了名字，到這個(gè)名字有表達(dá)式，又花了140年。歐拉給引進(jìn)了imaginary的第一個(gè)字母i來表示它，說√-1=i。這個(gè)√-1=i，我們中國(guó)的數(shù)學(xué)書里面也都是這么教的。對(duì)不對(duì)呢？不對(duì)，因?yàn)槲覀儎偛耪f了：這倆(a+b√-1，和a-b√-1)必須同時(shí)存在。這個(gè)地方(b左側(cè))的-1是屬于它(√-1)的，這個(gè)地方(-)不是減，是它(√-1)的負(fù)號(hào)。所以說正確的理解應(yīng)該不是√-1等于i，是√-1等于±i。寫成±i也不對(duì)，因?yàn)橛腥藭?huì)把它理解成√-1，既可以等于+i，又可以等于-i。錯(cuò)，是√-1，必須同時(shí)等于±i，這才是對(duì)的。所以可以理解成√1要同時(shí)等于1和-1，√-1要同時(shí)等于i和-i，4√-1，要同時(shí)等于1、-1、i和-i。這么理解的時(shí)候，你將來在數(shù)學(xué)、在物理應(yīng)用的時(shí)候，你的應(yīng)用才是對(duì)的。
既然我們接受它了，往前發(fā)展這個(gè)路就好走了，到1813年的時(shí)候高斯就把剛才這個(gè)a+ib或者x+iy這個(gè)東西，就把他稱為復(fù)數(shù)，就是復(fù)雜的數(shù)，就因?yàn)橛羞@么一種奇怪的東西叫做復(fù)雜的數(shù)。但是高斯這種人就太厲害了，他那時(shí)候竟然能隨口說一句，說這種表達(dá)成x+iy的這種數(shù)，它里面有等級(jí)。(z=x+iy)這個(gè)是復(fù)數(shù)，還有比復(fù)數(shù)更是復(fù)數(shù)的數(shù)，他用拉丁語說：那是十足的陰影之陰影。就是我們今天說，我們學(xué)什么東西的時(shí)候，求你的心里陰影面積。你看那個(gè)時(shí)候就有這種表達(dá)了：他說這復(fù)數(shù)里面還有更復(fù)雜的數(shù)，那是十足的陰影的陰影。高斯這種人我們不說了，我愿意把他比喻成，就是從科學(xué)家的角度上說他是大鯨魚類的。我們都知道有個(gè)鯨落的概念：一個(gè)鯨魚如果死了的話，它能夠哺育一個(gè)小生物圈。高斯遺留下的著作里面，如果大家愿意研究的話，里面隨便往前發(fā)展一點(diǎn)的話，那都有的是內(nèi)容。
所以說，我們現(xiàn)在看高斯。既然我們接受了復(fù)數(shù)表達(dá)式，我們發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相加，前邊叫實(shí)部相加，后邊是虛部相加。然后z1乘z2是這個(gè)樣子：(ac-bd)+i(ad+bc)，和z2乘上z1是一樣的，這就是我們小朋友在中學(xué)學(xué)的叫“乘法交換率”。但是到1863年Karl Weierstrass就證明了實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)這個(gè)地方是兩個(gè)交換代數(shù)的擴(kuò)展，再也沒了。再往后再想有z1z2=z2z1這事是沒了，接下來我們會(huì)看這種事情。
我們會(huì)發(fā)現(xiàn)引入復(fù)數(shù)之后出事了，什么呢？就是當(dāng)我們談a、b這種實(shí)數(shù)的時(shí)候我們經(jīng)常會(huì)比大小，但是當(dāng)我們談復(fù)數(shù)的時(shí)候，a+ib和c+id的時(shí)候，我們沒法說他們倆誰大誰小。這是我們關(guān)于數(shù)的習(xí)慣地比較大小，這事兒就不能干了。這就逼得我們不得不去理解這個(gè)東西到底是什么意思。誰跟我們理解呢？還是要用幾何法，你用幾何你就能理解了?？磶缀问窃趺蠢斫獾模哼@是初中的時(shí)候經(jīng)常有這種題目，給你兩個(gè)長(zhǎng)度a、b，再給你一個(gè)夾角α，你給我做一個(gè)三角形。這種題目都有。
大家看如果這個(gè)長(zhǎng)度是a，這一段是b的話，夾角是在這兒，是和水平面夾角的。如果，大家看，這是夾角α，這個(gè)長(zhǎng)度是a，那么這個(gè)頂點(diǎn)到垂線的距離就是asinα。如果b大于垂線這個(gè)距離的話，你畫一個(gè)圓的話，和它（基線）就有兩個(gè)交點(diǎn)。這兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng)作三角形第三點(diǎn)，A、P、B就決定一個(gè)三角形。當(dāng)然了有兩個(gè)解，這個(gè)沒問題。可是如果是b要比這個(gè)垂線，也就是比asinα短的話，你以它(P)為圓心畫個(gè)圓呢，就沒有焦點(diǎn)了，好像這個(gè)三角形就不能畫了。結(jié)果有人說不對(duì)，這個(gè)三角形好像還能畫。怎么畫呢？他說你看這個(gè)垂線：那我用這個(gè)垂線當(dāng)作一個(gè)直徑的話，我畫一個(gè)圓（綠色虛線）。那我以這一點(diǎn)(P)為圓心，以b為半徑畫一個(gè)圓，和這個(gè)圓（綠色虛線）交兩點(diǎn)，它也能得出兩個(gè)三角形，它也是由原來的兩個(gè)長(zhǎng)度和一個(gè)夾角決定的三角形，不一樣是出題老師的意思嗎？但是你會(huì)發(fā)現(xiàn)有意思了，這個(gè)三角形（下圖）相對(duì)這個(gè)三角形（上圖）它往上挪了。也就是它提醒了我們大家，當(dāng)出現(xiàn)√-1這種事情，它意味著是一個(gè)和水平面垂直方向的運(yùn)動(dòng)，往垂直方向挪了。
那這讓我想起什么呢？√-1這種存在，可能和上下運(yùn)動(dòng)有關(guān)系。這個(gè)就觸到知識(shí)盲區(qū)了。那么有沒有這回事呢？你會(huì)發(fā)現(xiàn)同時(shí)有很多人注意到這一點(diǎn)。誰呢？我剛才提到了1832年還隕落了一個(gè)大神叫薩迪·卡諾，Sadi
Carnot。薩迪卡諾不僅厲害，他們家族將來會(huì)出現(xiàn)一個(gè)姓龐加萊的。大家不理解為什么卡諾家族會(huì)出現(xiàn)一個(gè)姓龐加萊的。這是一個(gè)據(jù)說人類歷史上唯一一個(gè)什么數(shù)學(xué)物理都會(huì)的。大家知道三體吧，三體就是他（龐加萊）的文章里來的概念，我們不提。將來他的一個(gè)侄子是法蘭西的總統(tǒng)，卡諾的一個(gè)侄子也是法蘭西的總統(tǒng)，這一家人太厲害了。那么熱力學(xué)創(chuàng)始人薩迪卡諾他爹，老卡諾，當(dāng)年竟然出了一個(gè)幾何題：說這有一個(gè)線段a，在線段上找一點(diǎn)，把這個(gè)線段截成兩截，這兩截乘積等于線段平方的一半。也就是說，我把它寫成方程的話就是x(a-x)=a2/2，但是這個(gè)一元二次方程大家都會(huì)解了，解等于a/2+(±ai/2)。ai/2說明這個(gè)點(diǎn)就不在這條線上。另外一個(gè)法國(guó)人比埃就解釋，說這就可能意味著這代表這個(gè)點(diǎn)不在這根線上，在旁邊。a/2±ai/2，就是這個(gè)半截到這兒（線段中點(diǎn)）的距離，再往上這么多距離在這個(gè)點(diǎn)（X點(diǎn)），這一點(diǎn)（X點(diǎn)）到這一點(diǎn)（線段一端）的距離乘上這一點(diǎn)（X點(diǎn)）到這一點(diǎn)（線段另一端）的距離，就等于這個(gè)a2/2。當(dāng)然這是直角三角形，大家用幾何做法一定就懂這個(gè)道理是怎么回事兒。也就是說，現(xiàn)在我們突然認(rèn)識(shí)到ai/2這個(gè)東西，它不在你這一條線上，它是在旁邊。是個(gè)幾何意義。
這是數(shù)學(xué)史上真實(shí)發(fā)生的事情，沒想到有一天我會(huì)在我們的日常生活里也注意到這個(gè)事情。我的一位朋友帶著他的小女兒，我們知道小孩子嘛，有時(shí)候弄不清楚方向，所以這個(gè)媽媽就故意訓(xùn)練她。年輕的媽媽就問：你現(xiàn)在在我的左邊還是右邊？小女孩想了半天，特聰明地來了一句“旁邊”。左邊、右邊這是一個(gè)一維的概念；當(dāng)這個(gè)小孩子回答說在旁邊的時(shí)候，大家知道旁邊是什么，饒你一圈的時(shí)候，這個(gè)回答是對(duì)的。這突然告訴我們這是一個(gè)從一維空間到二維空間擴(kuò)展的問題，也就是說復(fù)數(shù)是一個(gè)從一維存在的數(shù)，轉(zhuǎn)到二維存在的數(shù)。它天然地就可以用來表示二維空間里面的東西。這個(gè)例子也告訴我們大家，看見沒有，就是數(shù)學(xué)史上存在真實(shí)發(fā)生的事情，在今天依然發(fā)生在我們的日常生活里面。所以說我希望大家能記住這個(gè)故事的時(shí)候，就千萬別再誤以為那些高深數(shù)學(xué)有多么難，那些高深的數(shù)學(xué)和我們的生活它的聯(lián)系可能就是很緊密的，而僅僅是你不知道而已。
這時(shí)候在歐洲挪威有一個(gè)工程師韋塞爾Wessel，注意到了復(fù)數(shù)是可以表述成有方向的線段，其實(shí)就是“極坐標(biāo)”。極坐標(biāo)在我們中國(guó)的古詩(shī)里面早就有，極坐標(biāo)的出現(xiàn)有2000多年了，而笛卡爾坐標(biāo)，即直角坐標(biāo)是1600多年出現(xiàn)的，請(qǐng)大家一定要記住。所以在我學(xué)數(shù)學(xué)的過程當(dāng)中，我誤認(rèn)為極坐標(biāo)出現(xiàn)的晚，不對(duì)，極坐標(biāo)是最自然的東西。大家記得我們中小學(xué)念的詩(shī)詞：西北望長(zhǎng)安，可憐無數(shù)山。它指的就是方向+距離。極坐標(biāo)是特別特別自然的，西北望長(zhǎng)安，可憐無數(shù)山；方位角+距離。
這位韋塞爾是一個(gè)工程師，他就認(rèn)識(shí)到用復(fù)數(shù)就可以表示成平面上的一點(diǎn)。這樣的話從原點(diǎn)出發(fā)就是線段。復(fù)數(shù)如果表示有方向的線段，突然發(fā)現(xiàn)特別有用。大家知道三個(gè)線段組成一個(gè)三角形是什么條件呢？你看，用復(fù)數(shù)代表這樣一個(gè)有方向的線的話，突然就是這么簡(jiǎn)單的事情，就是：
也就是說如果這就是原點(diǎn)的話，有方向的線段加上有方向的線段加上有方向的線段，回到原點(diǎn)，這就是三角形。這就是一個(gè)三角形的一個(gè)不依賴于坐標(biāo)系的表達(dá)，你看這就是所謂的最高深的數(shù)學(xué)，其實(shí)很早很早就有。這個(gè)地方我又要提醒大家一句，關(guān)于三角形我們上初中就學(xué)了，許多人肯定誤以為三角形已經(jīng)早會(huì)了。我提醒大家一句，關(guān)于三角形的內(nèi)容太多了，我們?cè)谥袑W(xué)教過重心、教過垂心、外心，大家就誤認(rèn)為三角形可能就只有這幾個(gè)心，我告訴大家三角形里面幾何的心最少兩萬種，你才學(xué)三四種，才哪跟哪呢。那許多人肯定不服氣，說曹老師你又騙我，說三角形就是畫三條邊，怎么會(huì)有那么多內(nèi)容呢？你肯定騙人嘛，哪有那么復(fù)雜？你看不出這么復(fù)雜，是因?yàn)槟憧吹慕嵌炔粚?duì)，因?yàn)槟闶菑倪@一點(diǎn)出發(fā)，畫一條線閉合了，說這個(gè)就叫三角形，你覺得沒有什么復(fù)雜的地方。但是反過來想，假設(shè)是這三個(gè)隨機(jī)的線段，隨便撒到這個(gè)平面上，或者撒到一個(gè)空間里，這三個(gè)線段碰巧湊成了一個(gè)三角形，請(qǐng)問這個(gè)條件有多么地難。那么如果你從這個(gè)角度來說，突然認(rèn)識(shí)到一個(gè)特別難能夠達(dá)成的事情，它里面一定有特別多的內(nèi)容。從這個(gè)角度你就能明白三角形里面的幾何，可不是你我三天兩天能學(xué)完的。
現(xiàn)在我們就能理解了，這個(gè)復(fù)數(shù)是一個(gè)有方向的線，復(fù)數(shù)相乘就是這個(gè)方向夾角的相加。我們突然發(fā)現(xiàn)bi代表的東西如果是平方是負(fù)的，大家知道一個(gè)線段如果變成負(fù)的就是轉(zhuǎn)180度，所以bi*bi=-b，相當(dāng)于b轉(zhuǎn)動(dòng)了180度。轉(zhuǎn)兩次是180度，那bi轉(zhuǎn)一次就是轉(zhuǎn)90度。也就是說，如果你用實(shí)數(shù)表示水平方向的話，那么bi一定表示的是垂直方向，這就告訴我們復(fù)數(shù)表達(dá)的一個(gè)平面，就是一個(gè)笛卡爾坐標(biāo)所表征的平面。這個(gè)地方我要提醒許多學(xué)理論物理的人，為什么我們的復(fù)平面和平面不是一回事，因?yàn)閺?fù)平面只能用直角坐標(biāo)，i代表的是90度的偏轉(zhuǎn)；而一般平面是可以任意兩個(gè)方向，只要它倆不重合，就能夠表征這個(gè)平面，這是平面與復(fù)平面之間還是有細(xì)微差別的地方。
現(xiàn)在我們來表達(dá)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)有多少種表達(dá)呢？我們剛才已經(jīng)學(xué)了x+iy；第二種就是極坐標(biāo)表達(dá)，就是說距離和方位角的表達(dá)；第三種我們將來會(huì)學(xué)，有這種rcosθ+irsinθ的表達(dá)；第四種就是這種一個(gè)模乘上一個(gè)相位角eiθ，這個(gè)θ就叫phase，相因子，這個(gè)就是我們將來通向規(guī)范場(chǎng)論的地方。那么還有沒有別的表示呢？有，比方說我們可以把a(bǔ)+ib表示成這樣的2*2矩陣(a,-b;b,a)，這個(gè)對(duì)角線都是a，這兩邊的b是-b與b。這樣的矩陣的加法和乘法就是復(fù)數(shù)的加法與乘法。那還有沒有表達(dá)式或表達(dá)矩陣呢？有，有很多，比方說將來你學(xué)四元數(shù)的時(shí)候，可以用四元數(shù)來表達(dá)復(fù)數(shù)。哎你不是說四元數(shù)比復(fù)數(shù)更復(fù)雜嗎，怎么用更復(fù)雜的來表達(dá)簡(jiǎn)單的呢？這個(gè)地方又牽扯到一個(gè)哲學(xué)的東西，就是如果我們要用復(fù)雜的東西表達(dá)簡(jiǎn)單的的東西，這是一種復(fù)雜向簡(jiǎn)單的回歸，或者告訴你簡(jiǎn)單里面也會(huì)內(nèi)置復(fù)雜，有一天你要能學(xué)會(huì)從高觀點(diǎn)下去看簡(jiǎn)單的問題，你才能看出它的不簡(jiǎn)單之處?；氐奖确秸f剛才的三角形，如果你學(xué)的就是在黑板上從一點(diǎn)出發(fā)畫一個(gè)三角形，你永遠(yuǎn)想象不到它里面有多少內(nèi)容，但是如果你從高觀點(diǎn)，從高維空間說隨機(jī)的線段它們碰巧粘在一起能夠構(gòu)成三角形的時(shí)候，你就能明白它里面包含了多深刻的內(nèi)容。這也是俄羅斯有一套教材，關(guān)于數(shù)學(xué)物理教材，叫做高觀點(diǎn)下有效的xx東西，請(qǐng)家長(zhǎng)關(guān)注一下這套東西，學(xué)會(huì)從高觀點(diǎn)下去看問題。
那么我們既然學(xué)了復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)有什么用？復(fù)數(shù)的用處太多了，比方說數(shù)論里面有一個(gè)說法，叫做任意兩平方和的乘積必定是兩整數(shù)的平方和，如果你從數(shù)論角度證明的話，這個(gè)可難證明了。但是如果用復(fù)數(shù)的乘法，就是復(fù)數(shù)乘復(fù)數(shù)等于復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)取模就是平方和，那就等于平方和，這是一個(gè)算法，算數(shù)，特別簡(jiǎn)單。舉個(gè)例子，比方說(2+5i)×(4+3i)=-7+26i，這個(gè)意思是(22+52)x(42+32)，一定等于72+262，特簡(jiǎn)單，算就完了，有什么好證明的？大家看到?jīng)]有，高觀點(diǎn)下看問題就能夠看出它的簡(jiǎn)單，也可以看出它的不簡(jiǎn)單。
那么第二個(gè)復(fù)數(shù)有什么用呢？就是用來證明幾何，我們都知道比方說這是一個(gè)三角形，從每個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)面中點(diǎn)畫這三條中線，然后交一點(diǎn)，這就叫做重心。重心等于什么呢？幾何證明可費(fèi)勁了，但如果用復(fù)數(shù)表示三個(gè)頂點(diǎn)位置的話，重心就等于三個(gè)頂點(diǎn)復(fù)數(shù)的算術(shù)平均，(za+zb+zc)/3就完了，哪有那么多事，然后用復(fù)數(shù)去表達(dá)線之間是平行的、垂直的，那就是實(shí)部虛部那一乘，到底等不等于0的問題，就特別簡(jiǎn)單。
知道我們用復(fù)數(shù)去做幾何，將來同學(xué)們?nèi)绻敲舾械脑?，你就知道天底下將來一定存在一個(gè)學(xué)問就叫幾何代數(shù)。學(xué)會(huì)幾何代數(shù)那物理表達(dá)就更簡(jiǎn)單了，當(dāng)然了，你們也一定知道將來還有一個(gè)學(xué)問反過來叫做代數(shù)幾何。
復(fù)數(shù)的用途太多了，有了復(fù)數(shù)接下來會(huì)有復(fù)分析、復(fù)幾何，等等，各種變換，都是用復(fù)數(shù)。我們?cè)陔姶艑W(xué)里面用復(fù)數(shù)的時(shí)候還是羞答答的，是當(dāng)做輔助工具，去幫助求積分。而等到量子力學(xué)里面用復(fù)數(shù)就是赤裸裸的，因?yàn)閷W(xué)量子力學(xué)上來波函數(shù)一定是復(fù)數(shù)，量子力學(xué)的語言里面一定用復(fù)數(shù)。甚至復(fù)數(shù)不過癮，待會(huì)還有旋量，旋量很多人就不懂了。相對(duì)論表達(dá)有人誤以為是復(fù)數(shù)，不對(duì)，那是一個(gè)簡(jiǎn)化，是約化了的四元數(shù)甚至是雙四元數(shù)，如果你懂這些數(shù)的時(shí)候再看相對(duì)論就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)好簡(jiǎn)單。
這個(gè)地方我還提醒大家一句，就是關(guān)于復(fù)數(shù)將來會(huì)引入旋量，我讀過許多量子力學(xué)的書里面都會(huì)說描述電子這樣自旋1/2粒子用到的數(shù)學(xué)有多么神奇等等，是量子力學(xué)的神奇。直到有一天我發(fā)現(xiàn)我被他們騙了，在量子力學(xué)誕生之前，所有這些描述自旋1/2粒子的數(shù)學(xué)都發(fā)明出來了，只是你不知道而已。你不知道就在那兒糊弄?jiǎng)e人，告訴他這個(gè)東西多神奇，量子世界多么難以理解，其實(shí)那數(shù)學(xué)早就有了。關(guān)于量子力學(xué)表達(dá)的虛張聲勢(shì)是由這些人不知道數(shù)學(xué)造成的，那個(gè)東西數(shù)學(xué)早就有，而且特簡(jiǎn)單。
四元數(shù)的引入
接下來故事就有意思了，我們說復(fù)數(shù)能夠表示我們二維平面里面的轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)特別好玩，這個(gè)復(fù)數(shù)a±ib就是實(shí)數(shù)3±1，5±2的一個(gè)擴(kuò)展。這種3±1=（2，4）在一條直線上，a±ib變成平面的擴(kuò)展，立馬就有人說一件事情：不對(duì)，我們生活的空間不是二維的，我們生活的空間是三維的，所以如果有一個(gè)數(shù)能夠跟它描述二維空間里面的物理似的，能描述三維空間的物理那多爽呀。所以這就有人想把a(bǔ)±ib這樣一個(gè)描述二維的數(shù)給表示成描述三維的數(shù)，這個(gè)事兒是誰干的？就是剛才我提到的那個(gè)哈密頓，哈密頓想：這樣一個(gè)數(shù)什么復(fù)數(shù)不復(fù)數(shù)的，它就是一對(duì)數(shù)而已，只要它的加法和乘法弄對(duì)了，你寫成什么樣都無所謂，所以請(qǐng)大家記住形式不是重要的，重要的是它的算法，它的加法和乘法是什么樣子決定什么叫復(fù)數(shù)，而不是你把它寫成什么樣子。
既然需要一個(gè)這樣描述三維空間世界的，那我就去發(fā)明一個(gè)能夠描述三維空間轉(zhuǎn)動(dòng)的代數(shù)三重?cái)?shù)，(a,b,c)這樣的數(shù)，我只要找出它的算法，能夠表示成三維空間里面的事情不好嗎？當(dāng)然好了，所以這位老先生就開始忙這件事情。剛才我提到這個(gè)人的姓名是世界最重要的名字，每一秒鐘都有人在輸入，我給大家講一句他的故事這個(gè)人有多厲害呢，這個(gè)人是他叔叔帶大的，叔叔是中學(xué)老師，3歲的時(shí)候跟他叔叔。叔叔就開始教外語，學(xué)了十年，3-13歲學(xué)的都是外語，學(xué)完了從他老家愛爾蘭經(jīng)過整個(gè)歐洲，經(jīng)過小亞細(xì)亞，經(jīng)過波斯、印度，這一路上所有的語言都學(xué)完了。從3-13歲學(xué)完了從愛爾蘭經(jīng)過整個(gè)歐洲，經(jīng)小亞細(xì)亞、歐洲、波斯的范圍，甚至他還會(huì)點(diǎn)馬來語，就已經(jīng)學(xué)完了。21歲大學(xué)沒畢業(yè)的時(shí)候就被聘為了教授和天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)。
我們現(xiàn)在中國(guó)學(xué)霸這個(gè)詞兒特別泛濫，請(qǐng)大家對(duì)照一下看誰還好意思管自己叫學(xué)霸？而且到這一點(diǎn)的時(shí)候我特別提醒一句我們的外語學(xué)習(xí)的問題，我們從幼兒園許多家長(zhǎng)就急哄哄地送孩子學(xué)英語，結(jié)果到博士了還有考博士英語，也就是說為了考英語許多人就能考20多年，這是一個(gè)特別浪費(fèi)時(shí)間的事情，不帶這么玩兒的。好好想想怎么學(xué)習(xí)外語的事兒，有空咱們?cè)倭倪@個(gè)事情，今天咱們先聊怎么學(xué)數(shù)學(xué)。
哈密頓現(xiàn)在要發(fā)展出三元數(shù)，(a,b,c)這樣的三元數(shù)，能夠表示我們?nèi)S空間的物理。那么怎么發(fā)展三原數(shù)呢？當(dāng)然簡(jiǎn)單了，二元數(shù)是a+bi，他現(xiàn)在說a+bi后面再+cj；i的平方等于-1，那我要求j平方也等于-1不就完了嗎？加法當(dāng)然沒有問題了，我們來看乘法：a+bi-cj如果乘以自己的話，等于沒有i項(xiàng)的、有i的項(xiàng)、有j的項(xiàng)，結(jié)果出現(xiàn)ij+ji的這一項(xiàng)，這個(gè)東西怎么辦？他發(fā)現(xiàn)如果你要求ij等于0，或者要求ij等于負(fù)的ji的話，這項(xiàng)都能抹掉。這一個(gè)問題解決了，但是他發(fā)現(xiàn)如果這是兩個(gè)相同的三元數(shù)乘積，如果你要算任意兩個(gè)三元數(shù)乘積，或者任意兩個(gè)三元數(shù)模平方乘積的話，它麻煩了。因?yàn)槭裁茨?，他發(fā)現(xiàn)這樣構(gòu)造的三元數(shù)乘積結(jié)果永遠(yuǎn)是四項(xiàng)，就永遠(yuǎn)多出一項(xiàng)，這個(gè)東西不好玩了，所以這個(gè)問題他就老解決不了。
老解決不了大家看出現(xiàn)了一個(gè)什么事情？哈密頓從1830年，25歲的時(shí)候開始考慮這個(gè)問題，結(jié)果考慮一段時(shí)間放下了，過兩天又拿起來，拿起來沒有搞定又放下，結(jié)果一使勁就考慮了13年，這個(gè)問題還沒有解決。因?yàn)樗?3歲離開，學(xué)完那么多外語，21歲沒畢業(yè)就是大學(xué)教授，30歲封的爵士，所以他的名氣太大了，名氣太大就會(huì)招天下的英才上門討教。結(jié)果在1843年夏天的時(shí)候有一個(gè)19歲的德國(guó)人Eisenstein來拜訪他，到英國(guó)來看哈密頓，雙方進(jìn)行了親切友好的談話，這個(gè)談話沒有談多久把哈密頓嚇一跳。哈密頓說這個(gè)德國(guó)小伙子太聰明了，數(shù)學(xué)知道太多了，如果我要不趕緊把剛才這13年的事兒干出來的話，估計(jì)這個(gè)新代數(shù)就會(huì)被這個(gè)德國(guó)年輕人先干出來。他說先把別的工作放下來，專心做這件事情，這是6月份的事情。
1843年10月16號(hào)這天下午，哈密頓和他的夫人在沿著愛爾蘭運(yùn)河去開會(huì)的路上突然靈光一現(xiàn)，說既然兩個(gè)三元數(shù)乘積永遠(yuǎn)等于四項(xiàng)，13年沒解決這問題，那從一開始就是四項(xiàng)不就完了嗎？大家看到?jīng)]有，這就是一層窗戶紙的事情，他能夠琢磨13年沒有琢磨清楚。老是三項(xiàng)乘積等于四項(xiàng)，那一開始四項(xiàng)不就完了嘛，所以這個(gè)數(shù)一開始就是a+bi+cj+dk這樣一個(gè)四元數(shù)。這個(gè)ijk平方都等于-1，就像原來的i一樣。然后它的乘法就是ij=k，jk=i，ki=j，這不就完了嗎。所以這位老兄當(dāng)時(shí)想出來了，特別激動(dòng)，又生怕待會(huì)忘了，就從地上摸出一塊石頭，趕緊把這個(gè)公式刻在他路過的那個(gè)橋上，生怕忘了，接著去開會(huì)去，會(huì)上就告訴他科學(xué)院的同事們說我剛才想到了這個(gè)問題，下周來給大家報(bào)告。這座橋就是愛爾蘭的Broome橋，世界上最重要的科普基地，因?yàn)檫@座橋上就刻著重要的公式“i2=j2=k2=ijk=-1”，這是人類史上最重要的，因?yàn)?843年10月16號(hào)下午，這都是有點(diǎn)的這樣一個(gè)創(chuàng)造。
這個(gè)創(chuàng)造出來以后就很有意思了，這個(gè)四元數(shù)乘上四元數(shù)還等于四元數(shù)，四元數(shù)乘出來雖然都還是四元數(shù)，大家看到?jīng)]有，表達(dá)式特別復(fù)雜，既然表達(dá)那么復(fù)雜那么長(zhǎng)，那么麻煩，這就是一種危機(jī)。這是我們常說的一句話，危機(jī)意味著機(jī)會(huì)，對(duì)不對(duì)。因?yàn)槌朔ㄌL(zhǎng)了以后，逼的這個(gè)人不得不對(duì)這樣一個(gè)表達(dá)式做簡(jiǎn)化，要提出新概念，要把四元數(shù)表示成兩個(gè)部分的和q=r+v，前面這個(gè)東西他管它叫做標(biāo)量，后面三個(gè)加在一起他管它叫矢量。也就是說我們今天在數(shù)學(xué)在物理里面學(xué)了那么長(zhǎng)時(shí)間矢量標(biāo)量，我們一頭霧水的東西，其實(shí)是四元數(shù)的兩部分。
知道這樣一個(gè)矢量和這樣一個(gè)標(biāo)量，它們倆的相加、乘積就引出了這個(gè)乘積的表達(dá)式：這就是兩個(gè)矢量的點(diǎn)乘、叉乘，這就是我們讀研究生、讀大學(xué)的時(shí)候電動(dòng)力學(xué)里面的點(diǎn)乘、叉乘的概念。當(dāng)年我學(xué)這個(gè)東西是學(xué)的一頭霧水，而且重要的是不管是在我們的中文課本里面還是西方語言的課本里面，關(guān)于矢量這個(gè)概念基本定義都是錯(cuò)的。我們漢語的矢就是弓箭，就先天地以為說它像弓箭一樣是個(gè)有長(zhǎng)度、有方向、有箭頭的一個(gè)量。錯(cuò)，矢量這個(gè)意思本身叫vector，叫承載、叫疏運(yùn)，就是我們雷達(dá)車或者如果一條狗，狗身上帶跳蚤的那條狗就就叫vector，叫做承載者、攜帶者。這個(gè)vector本身只要滿足這種線性的加法和乘法它就叫vector，它可以有長(zhǎng)度、有方向，但是它不必須要有長(zhǎng)度和有方向，這是重要的。這就是為什么我們，尤其是我當(dāng)年學(xué)電動(dòng)力學(xué)的時(shí)候看的那些點(diǎn)乘、叉乘亂七八糟的那一堆公式，老師也不懂，然后我們大家就跟著背，背了過兩天又忘了，為什么？就是因?yàn)槲覀兏静恢罉?biāo)量和矢量是四元數(shù)兩部分，就是滿足四元數(shù)的加法和乘法。只要知道四元數(shù)的乘法，所有這些公式都是自然而然的，根本不需要背。
這就帶出來一個(gè)很重要的現(xiàn)象，到底是怎么造出這個(gè)現(xiàn)象的，就是電動(dòng)力學(xué)書。大家回憶一下電動(dòng)力學(xué)書，國(guó)內(nèi)用的是郭碩鴻先生的，美國(guó)著名的是杰克遜的經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，它們后面都有兩頁點(diǎn)乘叉乘這種公式，大家看這個(gè)公式記起來是不是特嚇人。當(dāng)年我記這東西也記不住，我考試也不及格，我現(xiàn)在突然想明白一個(gè)問題，大家想象一下，一本書后面為什么要列兩頁公式？那什么意思呢？意思是說它根本沒有指望你會(huì)，對(duì)不對(duì)，這本書后面列了兩頁公式就是讓你查的。讓你查的意思就是你是不會(huì)的，而且你學(xué)完我這個(gè)課你還是不會(huì)。
可是我們的學(xué)生中間有優(yōu)秀的學(xué)生，幾年前我在武漢大學(xué)做講座的時(shí)候，做完講座我要到機(jī)場(chǎng)，結(jié)果有一個(gè)男孩子一拉車門坐進(jìn)來的時(shí)候說老師我送你去機(jī)場(chǎng)，我和你聊幾句。這個(gè)學(xué)生是哈爾濱人，大二的學(xué)生，他就問出了如下這樣的一句話。說曹老師我讀了杰克遜經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，我覺得他有問題，但是我不知道是什么問題，你告訴我是什么問題。那我告訴他什么問題呢，就是因?yàn)殛P(guān)于這個(gè)地方的問題，這一個(gè)把標(biāo)量和矢量分割開來是一個(gè)熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理的奠基人吉布斯，是個(gè)美國(guó)人。當(dāng)年到歐洲留學(xué)，回來把這兩部分給砍斷成兩截，然后又因?yàn)槊绹?guó)后來成為世界科學(xué)的中心，流毒甚廣，造成一個(gè)錯(cuò)誤。而且我們大家一定要知道，電動(dòng)力學(xué)要點(diǎn)是講電流怎么產(chǎn)生電力、產(chǎn)生磁場(chǎng)，所以它研究的是電流，但是電流是線。所以說研究電磁學(xué)，研究電流的學(xué)問一定要用線的代數(shù)，這個(gè)詞兒叫Linear
algebra，我們漢語把它翻譯成線性代數(shù)，是我們的中國(guó)理工科大學(xué)都要學(xué)的。而這個(gè)翻譯是完全錯(cuò)誤的，因?yàn)閺木€性代數(shù)你不知道它是干嘛的。它不是線性代數(shù)，它是線的代數(shù)。就是說是點(diǎn)的代數(shù)到線的代數(shù)，到面的代數(shù)，這是一個(gè)幾何的東西。它的幾何這個(gè)線的代數(shù)的數(shù)學(xué)就是后面的四元數(shù)和后面發(fā)展的Clifford代數(shù)。你把代數(shù)弄對(duì)了，學(xué)問就弄對(duì)了。
這也是又回到回答剛才主持人的問題，就是我為什么去講這些問題呢？就是因?yàn)檫@些都是我當(dāng)年學(xué)過的，受了很多委屈，我現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)不是我當(dāng)年不好好學(xué)，是因?yàn)槟菚膊粚?duì)，那老師也不會(huì)。
現(xiàn)在我們回到四元數(shù)的表示，我們看四元數(shù)是可以表示成2×2的矩陣的。我們剛才說了復(fù)數(shù)可以表現(xiàn)成2×2矩陣，四元數(shù)也可以表現(xiàn)為2×2矩陣，但是它的每個(gè)矩陣元是復(fù)數(shù)，是a+ib、a-ib這種形式。這是一個(gè)2×2的復(fù)數(shù)矩陣，它里面有幾個(gè)數(shù)呢，abcd四個(gè)獨(dú)立的數(shù)，所以我可以把這樣一個(gè)2×2的矩陣當(dāng)成一個(gè)矢量，它有四個(gè)方向的基矢量。這（第一個(gè)）基矢量這是單位基矢量不提，這后面這三個(gè)基矢量是什么東西？實(shí)際上就是我們上大學(xué)時(shí)候?qū)W的Pauli矩陣，量子力學(xué)的泡利矩陣。當(dāng)年我學(xué)量子力學(xué)的時(shí)候就覺得泡利好聰明，他怎么得出這個(gè)矩陣?，F(xiàn)在我明白了是人家小時(shí)候上的課課本里面有，不是泡利發(fā)明的、多聰明的，他小時(shí)候?qū)W的課本里面就有。
而且我在不同的地方給大家講過了，泡利上中學(xué)的時(shí)候有多滋潤(rùn)呢？是因?yàn)樗职稚洗髮W(xué)的時(shí)候同班同學(xué)遇上個(gè)大神叫做馬赫，他爸爸同學(xué)馬赫不是大神，但是馬赫的爸爸，恩斯特馬赫，是數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家，是大神。當(dāng)然請(qǐng)大家記住，一個(gè)天才一定要長(zhǎng)的好看，討人喜歡，這個(gè)泡利就長(zhǎng)的特別討人喜歡，就深受他爸爸的同學(xué)的爸爸，恩斯特馬赫大神的喜愛。所以這個(gè)爺爺級(jí)的大神恩斯特馬赫能愿意做他的Godfather，做他的干爸。他小時(shí)候這位大神指導(dǎo)他，就說最頂級(jí)的愛因斯坦想攀都攀不上的大神，恩斯特輔導(dǎo)他。
等到泡利上中學(xué)的時(shí)候，馬赫說歲數(shù)大了，我輔導(dǎo)不了你。結(jié)果怎么著呢？從維也納大學(xué)派了一個(gè)數(shù)學(xué)教授維特厄，就是我們上大學(xué)學(xué)量子場(chǎng)論里有對(duì)x和對(duì)z的共軛求微分的那個(gè)表達(dá)式的那個(gè)維特厄，去輔導(dǎo)他的初中數(shù)學(xué)；從維也納大學(xué)又派一個(gè)理論物理講師輔導(dǎo)泡利的物理，這也就是為什么泡利高中畢業(yè)進(jìn)入到慕尼黑大學(xué)的時(shí)候，慕尼黑大學(xué)物理大神索末菲說我可沒有啥教你的了，你的水平太高了，就是這個(gè)道理。所以說教育這個(gè)問題如何提高老師的素質(zhì)，如何讓全社會(huì)里面特別有學(xué)問的人抽著空利用吃飯時(shí)間，或者利用旅游時(shí)間多給孩子講講課這點(diǎn)太重要了，一定要請(qǐng)大神。這就是四元數(shù)。
接下來如果你把四元數(shù)每個(gè)虛部寫成兩個(gè)泡利矩陣的積，那么你可以把四元數(shù)表達(dá)成這個(gè)形式：q=a+bσ3σ2+cσ1σ3+dσ2σ1，這就是bi+cj+zk的問題，i就對(duì)應(yīng)了兩個(gè)泡利矩陣的乘積，也就是說這告訴我們i和j和k它不是一個(gè)線方向的東西，它是個(gè)面的東西。
又回到剛才我們說的，我們學(xué)代數(shù)要學(xué)點(diǎn)的代數(shù)、線的代數(shù)、和面的代數(shù)，四元數(shù)是面的代數(shù)，所以說ijk是面的方向，這個(gè)ijk本身構(gòu)成三維空間的矢量，但他們本身是面的量。這一點(diǎn)我今天竟然遇到一個(gè)人，他說他中學(xué)的時(shí)候老師教右手定則就是ijk乘法右手定則，他覺得別扭了。我再說一句，就是如果你上中學(xué)的時(shí)候老師教你右手定則你沒有覺得哪別扭，那大概你學(xué)物理數(shù)學(xué)就學(xué)不出來了，就是那里面明明有問題，你感覺不著，有人是有感覺的。
那么四元數(shù)還能表達(dá)什么呢？四元數(shù)可以表達(dá)4*4實(shí)矩陣，abcd都是實(shí)矩陣。這種4*4的矩陣，因?yàn)橛炙膫€(gè)獨(dú)立的數(shù)，我也可以當(dāng)他是四維的矢量，它的基矢量是這四個(gè)矩陣：
你看這四個(gè)矩陣想到什么了？這就是我們量子力學(xué)的“狄拉克矩陣”，狄拉克矩陣可以由泡利矩陣構(gòu)造。有人就說狄拉克矩陣是從泡利矩陣?yán)飿?gòu)造的。狄拉克說不對(duì)，那是我自己構(gòu)造的，其實(shí)他們倆誰不是自己構(gòu)造的，都是原來有的。你只要讀哈密頓的書，哈密頓的四元數(shù)入門里面都有。
所以到這個(gè)時(shí)候我特別想說一句感慨，就是我們學(xué)物理，尤其是學(xué)理論物理為什么感到困難，就是因?yàn)槲覀冊(cè)陂_始學(xué)之前不知道它所需要的數(shù)學(xué)，學(xué)了之后也不知道人家需要這些數(shù)學(xué)。所以如果你沒學(xué)過這些數(shù)學(xué)，學(xué)這些內(nèi)容就覺得人家好神奇啊，太厲害了。如果你要學(xué)過這些數(shù)學(xué)，你就覺得好自然，它本來就應(yīng)該是這樣子。這就告訴我們大家，學(xué)物理一定要有一個(gè)習(xí)慣，既然選擇了學(xué)物理，就一定要好好學(xué)數(shù)學(xué)，因?yàn)閿?shù)學(xué)是物理的語言。你如果是學(xué)物理，不去數(shù)學(xué)，你會(huì)花很多的功夫還不明白，都苦死了。
那么我們看四元數(shù)有什么用，就剛才還是四元數(shù)完全平方的問題。就很簡(jiǎn)單地，就能證明四個(gè)整數(shù)的平方和和另外四個(gè)整數(shù)的平方和的乘積還是四個(gè)整數(shù)的平方和。這是大神歐拉1748年不知道怎么算出來的，可是你用四元數(shù)乘積特別簡(jiǎn)單就能算出來了。我給大家舉一個(gè)例子，同學(xué)們記住這個(gè)例子，回去嚇唬不會(huì)的同學(xué)：(12+22+32+42)(22+32+42+52)，你很輕松地就可以用四元數(shù)乘法，就能算出來等于362+62+122+122。就是一個(gè)簡(jiǎn)單的算式。但是你從數(shù)論的角度，想得出這個(gè)結(jié)果，那你就累死了，只有大神能干出來。
歐拉大神厲害到什么程度呢，我請(qǐng)大家記住，他晚年已經(jīng)是瞎了，已經(jīng)完全看不見了，但是他還差不多保持著三天一篇論文的記錄。而且最重要的是歐拉現(xiàn)在去世已經(jīng)230多年了，他的論文整理還沒做完呢，想象一下他做出多少成就。所以說，這個(gè)地方又是我以前的一個(gè)感慨，如果用數(shù)論證明特別難，用四元數(shù)算的話特別簡(jiǎn)單，就是一個(gè)例題。我特別想說一句，你的累死累活，如果不掌握方法，不過是別人的輕描淡寫。尤其是前兩天有人算算自己一年掙的錢，再比較一下別人的罰款，說從老祖宗是猴子的時(shí)候算，我掙錢都沒有人家掙的多。不對(duì)，單位時(shí)間掙的錢數(shù)不對(duì)，這就是跟這個(gè)一樣，層次不對(duì)。你如果把它限制在數(shù)論層面，這個(gè)問題就是個(gè)頂天的難題；算成四元數(shù)，這就是一個(gè)習(xí)題。
那么四元數(shù)有什么威力呢？四元數(shù)的威力可大了，因?yàn)樗脑獢?shù)有個(gè)很重要的性質(zhì)，就是q1q2不等于q1q2，也就是說四元數(shù)乘積順序不能顛倒。不能顛倒意味著什么呢？你會(huì)發(fā)現(xiàn)日常生活里面許多東西是不能顛倒的。比如說早晨起來你是先洗臉還是先刷牙，你發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題好像不太重要，先洗臉后刷牙，或者先刷牙后洗臉都沒關(guān)系。但是穿鞋與穿襪子好像這個(gè)順序就不能倒，先穿襪子后穿鞋還是先穿鞋后穿襪子，好像這不行。也就是說我們的自然里面是有這種前后順序不能顛倒的物理過程，如果前后順序不能顛倒的過程正好有了前后乘法不能顛倒的數(shù)，你就知道這個(gè)數(shù)可能就是描述這個(gè)物理。比方說轉(zhuǎn)動(dòng)，前后不能顛倒，四元數(shù)就乘法不能顛倒，于是乎你突然認(rèn)識(shí)到，四元數(shù)本身是可以用來描述乘法的。而且而這個(gè)乘法不是a*b，是先乘一下，然后再還要倒回頭的這種乘法，而且最重要的意思是你繞著一個(gè)方向轉(zhuǎn)出θ角的時(shí)候，對(duì)應(yīng)著是相當(dāng)于用的是角度為φ的四元數(shù)乘積結(jié)果。相當(dāng)于這個(gè)矢量，繞著它矢量的這個(gè)方向轉(zhuǎn)φ/2角。然后突然你會(huì)發(fā)現(xiàn)量子力學(xué)關(guān)于電子自旋的1/2是哪里來的你突然就知道了。
當(dāng)年我們學(xué)這些東西的時(shí)候看日本人J.J.Sakurai的量子力學(xué)去描述這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)。哎，我都神奇死了，我就不懂。我讀理論力學(xué)的時(shí)候，理論力學(xué)人用歐拉角描述轉(zhuǎn)動(dòng)，然后我就一步一步跟，我也跟不會(huì)，當(dāng)時(shí)我就直覺覺得它一定是錯(cuò)的。當(dāng)然我們那時(shí)候老師不理你，你要是認(rèn)為他錯(cuò)了，你題沒作對(duì)，反正給你不及格。但是多年之后我終于發(fā)現(xiàn)它確實(shí)是錯(cuò)的，歐拉角描述這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，一不能構(gòu)成群，二不唯一。所以，歐拉角描述三維轉(zhuǎn)動(dòng)，有工程上能用，但是它不構(gòu)成學(xué)問，而三維轉(zhuǎn)動(dòng)要用四元數(shù)來描述。就是我現(xiàn)在覺得特別有種沖動(dòng)要找當(dāng)年的老師再找?guī)追只貋恚娴牟皇俏也粫?huì)，是我竟然能認(rèn)識(shí)到那個(gè)學(xué)問是錯(cuò)的。
這個(gè)地方感慨的是從前的歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)定律的證明特別繁雜，但是用四元數(shù)就是簡(jiǎn)單的乘積。這個(gè)地方我的感悟是一個(gè)問題為什么復(fù)雜，它是由于你看問題的層面低才復(fù)雜的，比方說像我這樣的科學(xué)家做一個(gè)課題，需要百八十萬塊錢的時(shí)候這就是一個(gè)特別復(fù)雜一個(gè)了不起的事情，可是從國(guó)家科技布局的科技問題，你那一百萬算什么錢呀。對(duì)吧，你把層面放的足夠高的時(shí)候，問題就簡(jiǎn)單了，就沒那么復(fù)雜。這一點(diǎn)其實(shí)是非常重要的一個(gè)問題。
OK，現(xiàn)在我們看四元數(shù)作為乘法的問題，我剛才已經(jīng)提了，格拉斯曼在1844年的這本擴(kuò)展的學(xué)問里已經(jīng)提供了16種乘法，而同學(xué)們你們其實(shí)在小學(xué)的時(shí)候就應(yīng)該注意到兩種不同的乘法。比如說3×4，這就是簡(jiǎn)單的兩個(gè)數(shù)的乘，可是一個(gè)籃子里有3個(gè)蘋果，2個(gè)籃子里面有6個(gè)蘋果，2×3，前邊的“2”就是算符，而不是兩個(gè)蘋果。就后邊的3是3個(gè)蘋果，前邊的2是加倍，是操作，是多方一籃子在這兒，它是個(gè)動(dòng)作。你看這些乘法我們小學(xué)老師都不跟我們講，所以說乘法這個(gè)事情，有各種各樣的乘法，有2×3=6，也有2m×3m等于6m2，也有兩個(gè)矢量乘法等于點(diǎn)乘+叉乘的方法，也有v’=qvq-1這種先做q的逆乘上它再乘以它的乘法，這叫共軛的乘法。也就是說世界上乘法有很多很多種，目前為止基本上許多人一輩子乘法就學(xué)到這兒（帶單位的乘法），許多人學(xué)物理的人乘法都沒學(xué)到這兒（矢量乘法），在這兒說什么能量、物質(zhì)，其實(shí)就是不懂這個(gè)公式。懂這個(gè)公式，就沒那么事情了。
這就說明什么呢？這就說明乘法這個(gè)東西，前邊的東西叫算符，后邊被乘的東西叫乘法的對(duì)象，乘法的對(duì)象要發(fā)明的，要找著的。我們看復(fù)數(shù)的乘法，復(fù)數(shù)乘上復(fù)數(shù)還等于一個(gè)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)乘上一個(gè)這樣二階的列，還等于二階的列，這個(gè)二階的列和復(fù)數(shù)是可以等價(jià)的，所以當(dāng)年我們做2×2的矩陣，實(shí)數(shù)矩陣這么乘的時(shí)候，好像覺得這倆不是一回事，但是也沒覺得怎么不是一回事，因?yàn)樗ň仃?x,-y;y,x)）與它(二階列(x,y))可以等價(jià)，所以就沒覺得有什么事情?？墒钱?dāng)我們用四元數(shù)乘積的時(shí)候突然事情就不對(duì)了，因?yàn)樗脑獢?shù)乘以一個(gè)四元數(shù)等于一個(gè)四元數(shù)，四元數(shù)乘以兩個(gè)分量的兩階的東西等于兩個(gè)兩階的東西，但是這個(gè)東西和四元數(shù)是不相等的，也就是說這冒出一個(gè)嶄新的對(duì)象，被四元數(shù)乘的這個(gè)東西有個(gè)嶄新的對(duì)象。這個(gè)嶄新的對(duì)象就是去年得諾貝爾獎(jiǎng)的這位大神，特別善于玩的東西叫旋量。也就是我們有四元數(shù)之后，近60年之后才找到四元數(shù)乘法的對(duì)象，叫spinor，叫旋量，花了60年的時(shí)間。這個(gè)東西就是描述轉(zhuǎn)動(dòng)，描述粒子自旋性質(zhì)的數(shù)學(xué)。我當(dāng)年學(xué)量子力學(xué)就被他們說，這是一個(gè)多么多么了不得的東西，是量子力學(xué)的神奇的東西，其實(shí)不對(duì)，就是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)。
1843年10月16日，就發(fā)明了四元數(shù)，我們的哈密頓告訴了他的朋友格萊烏斯，格萊烏斯兩個(gè)月之后就發(fā)明了八元數(shù)。八元數(shù)就是一個(gè)實(shí)部加上7個(gè)虛部，八元數(shù)表達(dá)方式有多少種可能呢，有480種可能。480種可能太復(fù)雜今天就不提了，但我提醒大家一句：八元數(shù)不僅他倆乘積的順序不能顛倒，而且是三個(gè)數(shù)相乘的順序，不是先后順序而是先干哪兩個(gè)乘法，這個(gè)順序也沒有。也就是說我們小學(xué)乘法的那個(gè)叫乘法的結(jié)合率，也不存在了?，F(xiàn)在就回到一個(gè)問題，我們小時(shí)候?qū)W算術(shù)，不就學(xué)123456這種算數(shù)嗎。老師在教我們說乘法有交換率，有分配律，你們沒覺得哪兒奇怪嗎？這種東西都知道2×3=3×2，2×3×4，先做2×3，還是先做3×4是一樣的，你老是說乘法交換律、分配律干嘛，沒必要啊。為什么呢？就是因?yàn)檎鎸?shí)的數(shù)學(xué)不是這樣的，真實(shí)的數(shù)學(xué)是當(dāng)我們發(fā)明了八元數(shù)，我們想干成十六元數(shù)根本干不著的時(shí)候，我們才總結(jié)乘法是有這種交換律、分配律，并且到八元數(shù)的時(shí)候交換律違背完了，分配律也違背完了，往下你沒路可走了，所以再也沒有了。所以說這個(gè)世界上，只有一元數(shù)、二元數(shù)、四元數(shù)、八元數(shù)，四種情形，這叫做Hurwitz定理，這個(gè)地方我們不說四元數(shù)，我們說乘法的交換律與分配律。
這就讓我有一個(gè)特別重要的感慨，它提醒我知道一個(gè)最根本的事實(shí)：許多東西不是因?yàn)樗心阒浪拇嬖诘?，是它沒有的時(shí)候，你才知道它的存在的。比方說很多年輕人，你不知道你戀人對(duì)你有多好，或者對(duì)你多么有意義。等有一天你失去他的時(shí)候，就知道他有意義了?；蛘呦裎覀冎袊?guó)的古詩(shī)里面，我們父母對(duì)我們的愛是毫無條件的，所以父母在的時(shí)候，你也管不著他們的事。因?yàn)樗?，所以你不覺得他的存在，可是有一天當(dāng)他不在的時(shí)候，你才突然認(rèn)識(shí)到他存在的意義，所謂我們古詩(shī)里面說最悲傷的事情是“子欲養(yǎng)而親不待”，他不在了你才能知道意義。而且這些對(duì)于我們?cè)趯W(xué)問上也是對(duì)的。我們作為一個(gè)中國(guó)人，整天說中文，其實(shí)我們對(duì)中文的語法、中文的構(gòu)思，一般人幾乎都沒有認(rèn)識(shí)。可是如果你跳出去，你如果用另外一種語言說話，用另外一種語言思考，你回頭看我們中國(guó)語文里面的時(shí)候，會(huì)發(fā)現(xiàn)中國(guó)語文里面有很酷的東西。比如說當(dāng)年法國(guó)人要判斷羅塞塔石碑上面字的時(shí)候，就注意到中國(guó)字的特別重要的東西，就是中國(guó)字是從鳥獸演化過來重要的過程，就是象形字，光表意，山、水，大家都知道，到有一天發(fā)展出既表意又表音，到發(fā)展到有一天我們的字不表意只表音。大家聽這三個(gè)階段，腦子里想想哪些漢字你能想出來只有圖象，圖像+音，和只有音的。像玻璃、葡萄是音，放在一起才有意思，像粘，米字旁一個(gè)占，它就有意，同時(shí)又告訴你音。這都是語言發(fā)展過程特殊的東西，你從另外一種語言來看的時(shí)候才突然懂得這些東西。
現(xiàn)在我們看代數(shù)的規(guī)則，我們剛才說了有交換律和結(jié)合律的問題，一元數(shù)，就是實(shí)數(shù)，都有；二元數(shù)都有，四元數(shù)就沒有交換律了，只有結(jié)合律，八元數(shù)結(jié)合律交換律都沒有了。都沒有的時(shí)候我們才認(rèn)識(shí)到有這些規(guī)律。我再提醒大家一句：無是個(gè)非常重要的存在，從無里頭我們才能理解一些有。
說完了這么多，先說數(shù)，復(fù)數(shù)、四元數(shù)，由四元數(shù)產(chǎn)生的現(xiàn)代代數(shù)，現(xiàn)代代數(shù)上面發(fā)展的Clifford代數(shù)，這些東西是我們學(xué)電動(dòng)力學(xué)、學(xué)量子力學(xué)非常重要的東西。比如說我們?cè)S多研究磁學(xué)的人，到現(xiàn)在不知道磁場(chǎng)B在數(shù)學(xué)上到底算什么，這是今天我們給大學(xué)生研究生留的第二個(gè)作業(yè)，磁場(chǎng)B在數(shù)學(xué)意義上到底是個(gè)什么？相對(duì)論也會(huì)用到雙四元數(shù)，八元數(shù)的物理現(xiàn)在有人在研究，但是沒有什么結(jié)果。
當(dāng)然像復(fù)數(shù)、四元數(shù)，當(dāng)20世紀(jì)誕生了量子力學(xué)以后，復(fù)數(shù)一瞬間就風(fēng)光無限。這有很多學(xué)問，我們學(xué)物理、學(xué)數(shù)學(xué)，會(huì)學(xué)經(jīng)典力學(xué)、經(jīng)典光學(xué)、波動(dòng)力學(xué)、波動(dòng)光學(xué)、波動(dòng)力學(xué)就是所謂的量子力學(xué)，電動(dòng)力學(xué)、相對(duì)論、代數(shù)、代數(shù)方程、復(fù)數(shù)、超復(fù)數(shù)等等，這么多學(xué)問學(xué)科都跟螞蚱一樣，你覺得很散，但是這么多螞蚱用一個(gè)繩索能串起來，就是這個(gè)詞：Hamilton。所有這里面的東西，你如果熟悉Hamilton的工作，這些東西就能串起來了。這個(gè)人叫William
Rowan Hamilton，我再提醒大家一句，13歲學(xué)完一大堆外語，21歲大學(xué)沒畢業(yè)的時(shí)候成為教授和天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)，30歲封為爵士。
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