四元數(shù)的定義和復(fù)數(shù)非常類似，唯一的區(qū)別就是四元數(shù)一共有三個(gè)虛部，而復(fù)數(shù)只有一個(gè)。所有的四元數(shù)q∈H（H代表四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)者William Rowan Hamilton）都可以寫成下面這種形式：

上面這個(gè)看似簡(jiǎn)單的公式就決定了四元數(shù)的一切性質(zhì)。

與復(fù)數(shù)類似，四元數(shù)其實(shí)就是對(duì)于基{1，i，j，k}的線性組合，四元數(shù)也可以寫成向量的形式。

此外，我們?cè)诒硎舅脑獢?shù)時(shí)，還經(jīng)常把實(shí)部與虛部分開，用一個(gè)實(shí)數(shù)s表示實(shí)部，用一個(gè)三維向量來(lái)表示虛部，將其表示為標(biāo)量和向量的有序?qū)π问剑?br>

定義及性質(zhì)

模長(zhǎng)（范數(shù)）

仿照復(fù)數(shù)的定義，我們可以暫時(shí)將一個(gè)四元數(shù)q=a+bi+ci+dk的模長(zhǎng)（或者說(shuō)范數(shù)（Norm））定義為：

而如果用標(biāo)量向量有序?qū)Φ男问竭M(jìn)行表示的話，q=[s，v]的模長(zhǎng)為：

顯然，四元數(shù)的模長(zhǎng)很難用幾何的方法來(lái)進(jìn)行理解，因?yàn)樗淼氖且粋€(gè)四維的長(zhǎng)度.但是，和高維向量的模長(zhǎng)一樣，這只是類比復(fù)數(shù)模長(zhǎng)進(jìn)行衍生定義的結(jié)果，我們只需要將它理解為一個(gè)定義就可以了.。

四元數(shù)加減法

與復(fù)數(shù)類似，四元數(shù)的加法只需要將分量相加就可以了.如果我們有兩個(gè)四元數(shù)q1=a+bi+cj+dk，q2=e+fi+gj+hk，那么它們的和為：

他們的差為：

而對(duì)以標(biāo)量向量有序?qū)π问蕉x的四元數(shù)來(lái)說(shuō)：q1=[s，v]，q2=[t，u]，那么：

四元數(shù)標(biāo)量乘法

如果我們有一個(gè)四元數(shù)q=a+bi+cj+dk和一個(gè)標(biāo)量s，那么它們的乘積為對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相乘：

四元數(shù)與標(biāo)量的乘法是遵守交換律的，也就是說(shuō)sq=qs。

四元數(shù)乘法

四元數(shù)之間的乘法比較特殊，它們是不遵守交換律的，也就是說(shuō)一般情況
下q1q2 ≠ q2q1．這也就有了左乘和右乘的區(qū)別．如果是q1q2，那么我們就說(shuō)
「q2 左乘以q1」，如果是q2q1，那我們就說(shuō)「q2 右乘以q1」．除了交換律之外，我們經(jīng)常使用的結(jié)合律和分配律在四元數(shù)內(nèi)都是成立的。
那么，如果有兩個(gè)四元數(shù)??1 = ?? + ???? + ?? ?? + ???? 和??2 = ?? + ?? ?? + ???? + ???，那么它們的乘積為：

上式中的結(jié)果還是有點(diǎn)凌亂，我們根據(jù)博客開始的地方：

等到如下所示的表格：

（其中有顏色的地方表示不能使用乘法交換律）

利用上式表格，對(duì)四元數(shù)乘積的結(jié)果進(jìn)一步化簡(jiǎn)：

同時(shí)上式還可以簡(jiǎn)單的寫成一個(gè)矩陣形式，如下所示：

注意這個(gè)矩陣所做出的變換等價(jià)于左乘??1．因?yàn)樗脑獢?shù)不符合交換律，所
以右乘??1 的變換是一個(gè)不同的矩陣，它可以使用完全相同的方法推導(dǎo)而得，結(jié)果如下：

Gra?mann 積

對(duì)上述q1q2乘積結(jié)果進(jìn)行重新整理如下所示：

令：

那么：

（注意：v × u的結(jié)果是一個(gè)向量，這里的i、j、k 是向量的基，寫成這種形式結(jié)
果應(yīng)該就非常清楚了，如果使用標(biāo)量向量有序?qū)π问絹?lái)表示，q1 q2 的結(jié)果可
以用向量點(diǎn)乘和叉乘的形式表示出來(lái)）

寫成有序?qū)π问綖椋?br>

這個(gè)結(jié)果也被叫做Gra?mann 積

純四元數(shù)

如果一個(gè)四元數(shù)能寫成這樣的形式：

那么我們則稱?? 為一個(gè)純四元數(shù)，即僅有虛部的四元數(shù)。
純四元數(shù)有一個(gè)很重要的特性：如果有兩個(gè)純四元數(shù)?? = [0, v], ?? = [0, u]，
那么：

逆和共軛

因?yàn)樗脑獢?shù)是不遵守交換律的，我們通常不會(huì)將兩個(gè)四元數(shù)相除寫為??/?? 的形式。取而代之的是將乘法的逆運(yùn)算定義為?????1 或者???1??，注意它們的結(jié)果一般是不同的。

其中，???1 是?? 的逆（Inverse），我們規(guī)定：

這也就是說(shuō)：

顯然，要在無(wú)數(shù)的四元數(shù)中尋找一個(gè)滿足?????1 = ???1?? = 1 的???1 是非常困難的，但是實(shí)際上我們可以使用四元數(shù)共軛的一些性質(zhì)來(lái)獲得???1。

我們定義，一個(gè)四元數(shù)?? = ?? + ???? + ?? ?? + ???? 的共軛為??? = ?? ? ???? ? ?? ?? ? ????（??? 讀作「q star」）。如果用標(biāo)量向量有序?qū)Φ男问絹?lái)定義的話，?? = [??, v] 的共軛為??? = [??, ?v]。
共軛四元數(shù)的一個(gè)非常有用的性質(zhì)就是：

可以看到，這最終的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，而它正是四元數(shù)模長(zhǎng)的平方：


所以：qq* = q*q，滿足乘法交換定律。
引入之前定義的四元數(shù)逆，qq-1 = 1。

用這種辦法尋找一個(gè)四元數(shù)的逆會(huì)非常高效，我們只需要將一個(gè)四元數(shù)的虛
部改變符號(hào)，除以它模長(zhǎng)的平方就能獲得這個(gè)四元數(shù)的逆了．如果∥??∥ = 1，
也就是說(shuō)?? 是一個(gè)單位四元數(shù)(Unit Quaternion)，那么