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    小波變換具有良好的多分辨率和時頻局域化的特點, 因而成為分析非平穩(wěn)信號和瞬變信號強有力的數(shù)學(xué)工具[1-2]。工程中的絕大多數(shù)信號均為瞬變、非平穩(wěn)信號，由于傅里葉變換不能提供信號的時頻域局域化分析，人們提出用短時窗分析信號的短時傅里葉變換。但因分辨率單一，短時傅里葉變換僅適合分析近似平穩(wěn)信號或分段平穩(wěn)信號。為了能有效地分析非平穩(wěn)信號，從信號中提取特征信息，在時、頻兩域均有良好局域化分析能力的小波變換應(yīng)運而生。目前，小波變換在工程領(lǐng)域的應(yīng)用不斷拓展，已被廣泛應(yīng)用于信號檢測、信號處理等方面[3-4]。

    小波變換可以用數(shù)字和模擬兩種方式實現(xiàn)。目前，用數(shù)字方式實現(xiàn)小波變換較為廣泛，但對模擬信號進行數(shù)模轉(zhuǎn)換會造成信號失真，數(shù)模轉(zhuǎn)換電路還會增加信號處理電路系統(tǒng)的體積與功耗，數(shù)據(jù)運算量大難以實現(xiàn)實時數(shù)據(jù)處理。在很多需要體積小、功耗低及實時處理的場合，例如在需對心電信號進行監(jiān)測分析的人工心臟起搏器的應(yīng)用中，數(shù)字方式實現(xiàn)小波變換難以滿足應(yīng)用需要。這樣人們提出小波變換的模擬硬件電路實現(xiàn)，其具有不需要對信號進行數(shù)模轉(zhuǎn)換，處理電路體積小、功耗低、數(shù)據(jù)實時處理等特點。為了降低制造成本，當(dāng)前多采用數(shù)/?；旌想娐吩O(shè)計集成電路，因而集成電路的模擬部分要求采用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字CMOS工藝制造，符合這一條件的首推開關(guān)電流技術(shù)。開關(guān)電流電路是基于電流模式的取樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)，用它處理模擬信號，具有高頻特性好、電壓低、功耗低、動態(tài)范圍大等優(yōu)點[5-6]。將開關(guān)電流技術(shù)用于實現(xiàn)小波變換，可以完成高速低功耗集成芯片的設(shè)計，滿足小波變換實時處理的應(yīng)用需求?；诖?，文章對小波變換實現(xiàn)進行研究，提出采用開關(guān)電流電路實現(xiàn)小波變換，可廣泛應(yīng)用于語音分析、圖像處理、信號檢測、故障診斷等領(lǐng)域。

    小波變換模擬實現(xiàn)方法可分為時域法和頻域法兩大類[7-9]。根據(jù)小波變換定義：具有緊支集的平方可積函數(shù)Ψ(t)(Ψ(t)∈L2(R))為小波函數(shù)或小波基，信號f(t)是平方可積函數(shù)，則其在時域的小波變換定義為：

    選用不同小波基對信號進行小波變換分析，其結(jié)果有可能相差很大，在工程應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)實際情況對小波基進行選取。小波基選取的好壞以小波變換的信號處理結(jié)果與理論值之間的誤差來判斷，誤差越小，選擇的小波基越適合用于小波變換。一般來說，應(yīng)該從有效支撐區(qū)間大小、對稱性、正則性與被分析信號的相似性等方面考慮小波基的選擇[1]。此外，若要獲取信號的相位信息需選用復(fù)小波。工程中常用的實小波主要有Daubechies小波，高斯類小波包括高斯一階導(dǎo)數(shù)小波、Marr小波、Morlet小波等，復(fù)小波常見的有Gabor小波、復(fù)Morlet小波等。

1.1 小波變換的時域?qū)崿F(xiàn)

    根據(jù)式(1)所示小波變換的時域表達可見：若能構(gòu)造一個能生成不同尺度a和位移τ下小波函數(shù)的小波函數(shù)發(fā)生器，其輸出與輸入信號相乘后積分即可實現(xiàn)信號的連續(xù)小波變換。這樣，時域法實現(xiàn)連續(xù)小波變換的基本單元電路有：小波函數(shù)發(fā)生器、乘法器和積分器，圖１所示為時域法實現(xiàn)連續(xù)小波變換的原理圖。

    由圖1可以看出，不同尺度與位移的小波由小波函數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生，乘法器將輸入信號與小波函數(shù)相乘，運算結(jié)果輸入積分器進行積分運算后完成信號的小波變換。小波變換采用時域法實現(xiàn)，能在時域直接由電路綜合實現(xiàn)，但需要種類繁多的單元電路[7]，如時鐘電路、正弦信號發(fā)生器、高斯函數(shù)發(fā)生器、乘法器和積分器等，而且每一個單元電路的性能會對整個小波變換的實現(xiàn)產(chǎn)生較大的影響。因此，雖然時域法實現(xiàn)小波變換的原理較為直觀，但其實現(xiàn)過程較復(fù)雜、所需單元電路種類較多、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，導(dǎo)致系統(tǒng)設(shè)計難度較大，近年來所取得的研究成果較少，目前更多的研究已轉(zhuǎn)向小波變換的頻域法實現(xiàn)。

1.2 小波變換的頻域?qū)崿F(xiàn)

    小波變換頻域表達式如下：

其中，“*”代表共軛，a為尺度因子，F(xiàn)(ω)、Ψ(ω)分別為信號與小波函數(shù)的頻域表達。根據(jù)式(2)所示頻域小波變換表達可見：在頻域中，信號的小波變換可等效為在不同尺度a下，具有頻率特性為Ψ(aω)且品質(zhì)因數(shù)恒定的帶通濾波器對輸入信號進行濾波后的輸出結(jié)果。根據(jù)信號處理理論，信號與小波函數(shù)的卷積就是信號通過以該函數(shù)特性為沖激響應(yīng)系統(tǒng)的輸出。這樣，只要構(gòu)造沖激響應(yīng)為不同尺度小波函數(shù)的濾波器組，則信號通過該濾波器組后的輸出就是信號的小波變換。綜上所述，小波變換實現(xiàn)轉(zhuǎn)化為構(gòu)造沖激響應(yīng)為尺度不同小波函數(shù)的濾波器組[8]，這樣可將小波變換從時域變換到頻域?qū)崿F(xiàn)。此外，在構(gòu)造不同尺度與位移的小波濾波器時，要保證中心頻率與頻寬(帶寬)之比也即品質(zhì)因數(shù)Q與尺度a值無關(guān)。圖2所示為小波變換的頻域法實現(xiàn)原理圖。

    圖2濾波器組中的每路濾波器的沖激響應(yīng)均為該尺度下的小波函數(shù)。小波變換尺度取a=2n(n∈Z)，這是因為小波變換具有冗余性，工程應(yīng)用中尺度a不需連續(xù)變化，實際應(yīng)用只需將尺度a離散化即可。小波變換的尺度越多，所需的濾波器數(shù)量也越多，這必然會提高小波變換實現(xiàn)電路的復(fù)雜程度，從而增大電路體積與功耗，不利于制成低功耗集成芯片。在實際工程應(yīng)用中，往往在檢測信號時只需選擇較少個數(shù)的尺度來計算小波變換系數(shù)即可滿足實用要求，這樣將減少所需濾波器的數(shù)量，降低設(shè)計難度。

    由小波變換的頻域法實現(xiàn)原理可知，小波變換模擬濾波器實現(xiàn)的關(guān)鍵在于設(shè)計沖激響應(yīng)為小波基的基本小波濾波器，小波濾波器組中其他尺度的小波濾波器可以通過對基本小波濾波器進行尺度調(diào)節(jié)而獲得。以高斯一階導(dǎo)數(shù)小波為例，研究沖激響應(yīng)為小波函數(shù)的濾波器實現(xiàn)。高斯一階導(dǎo)數(shù)小波表達如式(3)所示：

且其拉普拉斯變換為穩(wěn)定的有理多項式，即：

    圖3給出了高斯函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)及其逼近，可以看出以式(6)為傳遞函數(shù)的濾波器沖激響應(yīng)函數(shù)對高斯函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的逼近效果良好。

    開關(guān)電流電路是基于電流模的模擬取樣數(shù)據(jù)信號處理電路，具有高頻特性好、功耗低、適于低電壓工作、動態(tài)范圍大等優(yōu)點，由于是電流模式電路，它不需要運算放大器，從而消除了運算放大器帶來的限制和誤差；不需要線性浮置電容，從而與標(biāo)準(zhǔn)的CMOS工藝完全兼容，便于電路的大規(guī)模集成。開關(guān)電流技術(shù)自提出以來就備受關(guān)注，并得到迅速發(fā)展，其主要成果集中在濾波器的設(shè)計方面。開關(guān)電流濾波器特性取決于元件參數(shù)的比值及時鐘頻率，其帶寬隨時鐘頻率變化而變化，與此同時品質(zhì)因數(shù)能保持恒定，非常適合小波濾波器組的實現(xiàn)[7-9]：當(dāng)構(gòu)造出沖激響應(yīng)為小波基的開關(guān)電流基本小波濾波器后(尺度a=1)，在開關(guān)電流濾波器允許的時鐘頻率范圍內(nèi)，調(diào)節(jié)時鐘頻率可實現(xiàn)不同尺度的開關(guān)電流小波濾波器。這極大地簡化了小波濾波器組的設(shè)計難度，其設(shè)計主要變?yōu)閷拘〔V波器的設(shè)計。

    開關(guān)電流基本小波濾波器可采用電路級聯(lián)實現(xiàn)，該方式具有模塊性和簡易性等優(yōu)點。以式(6)為傳遞函數(shù)的高斯一階導(dǎo)數(shù)小波變換濾波器是一個5階電路，可由1個開關(guān)電流一階節(jié)電路和2個二階節(jié)電路級聯(lián)實現(xiàn)。開關(guān)電流一階節(jié)電路、二階節(jié)電路分別如圖4、圖5所示。

    在進行電路仿真前應(yīng)對式(6)所示的傳遞函數(shù)去歸一化。因為從s域到z域之間存在由非線性關(guān)系引起的頻率翹曲效應(yīng)，應(yīng)進行頻率預(yù)翹處理。若取樣頻率遠大于工作頻率，則頻率翹曲效應(yīng)較小，可以不進行頻率預(yù)翹處理。

    電路仿真采用開關(guān)電流專用仿真軟件ASIZ(Analysis of Switched-current Filters in Z Transform)進行仿真[10]，ASIZ可對開關(guān)電流電路仿真獲得瞬態(tài)響應(yīng)、頻率響應(yīng)、零極點和靈敏度。設(shè)定電路仿真時鐘頻率為10 kHz，用ASIZ仿真獲得基本尺度(a=20)上的小波，高斯一階導(dǎo)數(shù)基本小波濾波器的沖激響應(yīng)如圖6所示。

    為了產(chǎn)生更多尺度上的小波函數(shù)，在其他尺度上的開關(guān)電流小波濾波器可通過調(diào)節(jié)開關(guān)電流基本小波濾波器的時鐘頻率獲得。如將時鐘頻率分別設(shè)定為20 kHz和40 kHz，即可獲得尺度為a=2-1、a=2-2的小波濾波器。作為對比，圖7所示仿真結(jié)果是時鐘頻率分別為10 kHz、20 kHz和40 kHz，也即在尺度為a=20、a=2-1和a=2-2上的小波濾波器的沖激響應(yīng)，其電路仿真輸出波形分別是圖7中的曲線①、曲線②和曲線③。

    圖6和圖7所示的電路仿真結(jié)果充分證明用開關(guān)電流電路實現(xiàn)小波濾波器的效果非常理想，且只需調(diào)節(jié)開關(guān)電流基本小波濾波器的時鐘頻率，用同一濾波器電路即可實現(xiàn)其他尺度上的小波濾波器，極大地簡化了小波濾波器組的設(shè)計。

    本文提出了基于開關(guān)電流電路的小波變換模擬實現(xiàn)。根據(jù)小波變換的定義，研究了在時域、頻域的小波變換實現(xiàn)方法，給出了工程應(yīng)用中小波基選取的原則，對頻域?qū)崿F(xiàn)小波變換進行小波函數(shù)逼近，獲得了小波變換模擬濾波器所需的傳遞函數(shù)。采用開關(guān)電流電路實現(xiàn)基本小波濾波器，通過調(diào)節(jié)時鐘頻率獲得小波濾波器組所需的其他尺度的小波濾波器，簡化了小波濾波器組的設(shè)計與實現(xiàn)。本文提出方法的有效性得到了仿真結(jié)果的驗證，其對小波變換在工程中的應(yīng)用發(fā)展具有促進作用。

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作者信息:

胡沁春1，霍  平2，尤小泉1，張  松1，郭麗芳1，譚化勇1

（1.成都工業(yè)學(xué)院 網(wǎng)絡(luò)與通信工程學(xué)院，四川 成都611730；2.成都工業(yè)學(xué)院 電氣工程學(xué)院，四川 成都611730