小波函數(shù)與尺度函數(shù)分別是什么意思，有什么作用？小波分解的意義是什么以及作用？
尺度函數(shù)又稱為小波父函數(shù).根據(jù)雙尺度方程,可以由尺度函數(shù)生成小波.進行信號處理時,先要對信號進行副近.也就是用尺度函數(shù)對信號進行分解.尺度函數(shù)的頻帶與待分析信號的頻帶相同,然后將逼近函數(shù)分別在尺度空間和小波空間中進行分解.就得到了信號的低頻粗略部分和高頻細節(jié)部分.此時新的尺度函數(shù)頻帶是原信號頻帶的一半.小波函數(shù)的頻帶是另一半(高頻部分).由此實現(xiàn)了對原信號的按頻帶分解!
小波函數(shù)與尺度函數(shù)
簡單的說你得從小波的多分辨率分析開始理解，多分辨率分析又得從映射來理解，映射又得從向量的投影來理解，所以我就從向量的投影來說：假設是在三維空間里表達一個向量，我們需要建立一個三維的坐標系，只要坐標系建立我們就可以用三個點（x,y,z）來簡單的表示一個向量，同樣的在一個信號我們設為f(t),要想表示它，我們可以用一個個正交的簡單函數(shù)來構建坐標系，然后將f(t),映射與這些簡單的正交函數(shù)上，產(chǎn)生一個系數(shù)，這些系數(shù)我們就可以等同于(x,y,z),只是由于它的維數(shù)是超過3維的所以你不好想象，總之就是利用相互正交的簡單函數(shù)，構建一個表達信號的空間“坐標系”，然后就可以用這些系數(shù)和正交函數(shù)來表示f(t),
借就是小波的核心思想，在小波分析中這個構建坐標系的函數(shù)，就是小波函數(shù)，但是在小波函數(shù)來表示一個信號的時候，它其實是將信號映射在了時頻平面內的，這里面就有一個問題，在實現(xiàn)過程中需要對需要一個頻域的底座和平臺，來讓信號f(t)與之做映射后是在一定的頻率分辨率上進行的，這個起到底座的函數(shù)就是尺度函數(shù)，在尺度函數(shù)的平臺下對頻率的分析，或者說對信號的f(t)的表達就是在小波函數(shù)的作用了。在濾波實現(xiàn)中低頻濾波就相當于尺度函數(shù)的作用，小波函數(shù)的實現(xiàn)就是高頻濾波器的使用。
尺度函數(shù)和小波函數(shù)有什么聯(lián)系和區(qū)別，還有為什么有的小波有尺度函數(shù)，而有的沒有呢？尺度函數(shù)是干什么用的呢？
小波函數(shù)是由尺度函數(shù)構造的，尺度函數(shù)的性質決定了小波函數(shù)的性質。尺度函數(shù)從濾波器的角度看是低通濾波器，而小波函數(shù)是高通濾波器。
具體分析時，有沒有選擇小波函數(shù)的一般原則和尺度的選擇？
還是僅僅根據(jù)經(jīng)驗？多次試探？或所要分析的信號的形狀？
一般來說，小波分析與傅立葉分析結合起來。
如果對于分析的信號所具有的特征不了解，你必須通過傅立葉頻譜分析了解信號的原貌，小波分析只是一種獲取信號特征信息的手段，不能僅僅因為小波功能強大，很多人都在用而依賴小波分析，特別是入門前更要注重各種分析方法的比較，本人意見，即使精通了小波分析，傅立葉分析還是不能放棄的！
選擇小波應該從下面幾個角度，根據(jù)你的需要來選擇：小波的支集長度，消失距階數(shù)，正則性，對稱性。如果你需要壓縮應用，最好選擇消失距階數(shù)高和有正則性（雙正交小波）的小波。
小波基函數(shù)的選取應從一般原則和具體對象兩方面進行考慮.一般原則是：① 正交性：源于數(shù)學分析的簡單和工程應用中的便于理解操作。② 緊支集：保證優(yōu)良的時－頻局部特性，也利于算法的實現(xiàn)。③ 對稱性：關系到小波的濾波特性是否具有線性相位，這與失真問題密切相關。④ 平滑性：關系到頻率分辨率的高低。如果平滑性差，則隨著變換級數(shù)的增加，原來平滑的輸入信號將很快出現(xiàn)不連續(xù)性，導致重建時失真。 當然，要完全滿足這些特性是十分困難的。如，緊支集與平滑性不可兼得，正交性的緊支集又使對稱性成為不可能，因此只能尋找一種能恰當兼顧這些特性的合理折衷方案。 具體選時應視應用的領域的不同而不同。就圖像處理而言，如果目的是無損壓縮，對稱性和平滑性就很重要；如果是邊緣檢測紋理分析和噪聲去除，那就需要選擇小波基與待處理圖像的感興趣分量具有相似性。
小波函數(shù)與尺度函數(shù)的關系,框架,低頻粗略部分和高頻細節(jié)部分
尺度函數(shù)可以用來生成小波函數(shù)，有的人稱之為父小波函數(shù)
尺度函數(shù)和小波函數(shù)分別是尺度空間（近似空間）和細節(jié)空間的基函數(shù)，兩者通過雙尺度方程聯(lián)系
以多尺度分析或者多分辨分析為例。尺度函數(shù)一般是整個框架的生成元，它生成整個框架，也生成小波函數(shù)，另外，尺度函數(shù)的傅立葉變換一般可做低通濾波器，而小波函數(shù)的傅立葉變換一般是用作帶通或高通濾波器！
可以通過尺度函數(shù)來構造小波函數(shù)，這是構造小波函數(shù)的一種方法，兩者通過雙尺度方程相聯(lián)系， 但是，并不是說每一種小波函數(shù)都有相應的尺度函數(shù)，有的小波是沒有對應的尺度函數(shù)的。
其實就我自己理解的話，框架就是一套對信號進行小波分解的方法，它就像一個固定的模式。比如多分辨分析，它所構造的小波分析框架就是把信號分解成一個個互相不交叉的子頻帶，但所有的子頻帶的直和又是信號的頻帶，如果尺度函數(shù)選得好，各個子空間還可以是正交的（好像是這樣）！
尺度函數(shù)和小波函數(shù)構成j 1空間，也就是V空間中尺度函數(shù)的正交補，
框架是比正交基更廣的一個概念，打個比喻，一個平面直角坐標系，x、y軸就是坐標系的正交基，它們是相互垂直的，而框架則不一定垂直，例如夾角為120度的三個向量就構成了坐標系的一個框架。
正交基只是框架中的一個特例。
對于多分辨率而言，尺度函數(shù)與小波函數(shù)共同構造了信號的分解。這里尺度函數(shù)可以由低通濾波器構造，而小波函數(shù)則由高通濾波器實現(xiàn)。這樣的濾波器組就構成了分解的框架。而同時我們可以看到，低通濾波器的尺度函數(shù)可以作為下一級的小波函數(shù)和尺度函數(shù)的母函數(shù)。說明白些，其實尺度函數(shù)表征了信號的低頻特征，小波函數(shù)才是真正逼近高頻的基。
由濾波器系數(shù)繪制尺度函數(shù)和小波函數(shù)圖像的Matlab程序
function ScaleWaveFig(h)
% -- 函數(shù)描述 : 由濾波器系數(shù)繪制尺度函數(shù)和小波函數(shù)圖像
% M : 標準化常數(shù)
% h : (尺度)濾波器系數(shù)
% g : 小波濾波器系數(shù)
% a : 尺度函數(shù)初始化
% w : 小波函數(shù)初始化
% -- 時間 : 2007-12-02
% -- 作者 : 劉恒冰(LIUHB) 版權所有(C)
M = 2;
g = fliplr(h);
for i = 1 : length(h)
g(i) = (-1) ^ (i 1) * g(i);
end
a = h;
w = g;
% 繪制尺度函數(shù)圖像
b = [ ];
for i = 1 : 7
L = M * length(a);
b(1 : M : L - M 1) = a;
for j = 2 : M
b(j : M : L - M j) = zeros(1, L / M);
end
a = b;
a = conv(h, a);
% a = sqrt(M) * a; || a = sqrt(M) * a; ?
n = length(a);
a = a(1, 1 : n - 1);
end
n = length(a);
x = linspace(0, 3, n);
subplot(221);
plot(x, a); grid on;
% 繪制小波函數(shù)圖像
b = [ ];
for i = 1 : 7
L = M * length(w);
b(1 : M : L - M 1) = w;
for j = 2 : M
b(j : M : L - M j) = zeros(1, L / M);
end
w = b;
w = conv(h, w);
% w = sqrt(M) * w; || w = sqrt(M) * w; ?
n = length(w);
w = w(1, 1 : n - 1);
end
n = length(w);
x = linspace(0, 3, n);
subplot(222);
plot(x, w); grid on;
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