凱利公式是賭博中關(guān)于最佳投注率的數(shù)學(xué)描述。其表達(dá)式為：f = (b*p - 1)/(b - 1)。
公式中各個字母的定義：
f：最佳押注比例：最佳押注金額 / 本金總額。
b：賠率：贏時贏得的金額 / 輸時輸?shù)舻慕痤~。
p：概率：贏的次數(shù) / 下注的總次數(shù)。
凱利公式現(xiàn)實中的含義是：
當(dāng)你確定了賭局的賠率和概率后，可以用這個公式算出最佳的押注比例，以此比率押注可以獲得最優(yōu)的期望收益率（預(yù)期收益率的定義是：每次平均贏得的金額 / 本金的總額）。
凱利公式在數(shù)學(xué)形式上非常簡單，只是加減乘除的簡單計算，只要數(shù)學(xué)有小學(xué)水平就能看懂。
然而在實際中，大多數(shù)人應(yīng)用都會力不從心。
究其原因，主要有下面兩點：
1、凱利公式只給出了最佳投注比例。然而投資者最關(guān)心的按此比例押注，最終獲得的預(yù)期收益率是多少，凱利公式并沒有給出答案。
2、式子的形式是靜態(tài)的，但現(xiàn)實中賠率和概率是動態(tài)的變量。普通人缺乏由理論公式演繹出現(xiàn)實結(jié)果的能力。
鑒于此，我自己做了一個最佳預(yù)期收益率與賠率、概率和投注率的模型。模型的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程和表達(dá)式就不寫了，免得趕跑讀者。這里，我只把最后的結(jié)果用圖形展示出來，看圖總是比看式子更直觀和便于理解。
在我的模型中，x軸代表賠率b，y軸代表概率p，而投注率則以不同顏色的面來表示，z軸代表預(yù)期收益率。
第一個圖：
先看兩種極端的情形：
1、押注比例=0：
灰色平面，預(yù)期收益率為0。也就是說，0押注下，不管賠率和概率怎么變化，預(yù)期收益永遠(yuǎn)為0，本金不增不減。
2、押注比例=1：
粉紅的面，只有概率=1時，預(yù)期收益等于賠率；而當(dāng)概率<1時，預(yù)期收益為-1。也就是說，如果每次下注都壓上所有本金，除非概率是100%，否則最終結(jié)果都將是輸?shù)羲斜窘?，遲早輸光光。
在現(xiàn)實中，押注比例一般都不是上面所說的兩個極端情形，而是在[0，1]之間，那情況將是如何呢？
圖中藍(lán)色的曲面是投注比例=0.3時的情形。可以看出，有一部分藍(lán)面在灰色平面之上，另一部分在其之下。
在灰面之上的區(qū)域是正收益區(qū)域（賺錢區(qū)域），而在之下則是負(fù)收益區(qū)域（虧錢區(qū)域）。
再看一下投注比例=0.7的情形。比較兩種情形會發(fā)現(xiàn)：不同投注比例，正負(fù)收益區(qū)域是不一樣的，投注比例越高，負(fù)收益區(qū)域越大。
如果把投注比例0.3和0.7兩種情形放一起比較，還會發(fā)現(xiàn)，在有些區(qū)域投注比例0.3的預(yù)期收益率高于0.7，而在另一些區(qū)域則相反
這就是在不同的賠率和概率之下，存在著最佳投注比例。如何計算最佳投注率，這就是凱利公式的應(yīng)用了。
不過，看凱利公式不來感覺，看圖會更加直觀。下圖中不同顏色的曲面，分別是從0、0.1、0.2，一直到1.0的不同投注比例在不同賠率和概率區(qū)域的預(yù)期收益率。在不同的賠率和概率區(qū)域，最優(yōu)的預(yù)期收益對應(yīng)著不同的投注比例。
上面這些圖都是模型的截圖，都只是一個靜態(tài)的視角看到的情形，預(yù)期收益與賠率、概率和投注比例之間的關(guān)系，略顯片面。
有興趣而又想深入了解模型的的朋友，'關(guān)注”后“私信”。它是一個3維模型。透過這個模型，可以360度全方位了解預(yù)期收益與賠率、概率和投注比例之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。
通過模型的分析，還能提煉出一些對投資更深層次的一些原則。
如：“賠率優(yōu)先”不但在實踐中更有現(xiàn)實意義，而且在理論上也有充分的數(shù)學(xué)支持。諸如此類，以后有機(jī)會再繼續(xù)討論吧。
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