某日，社區(qū)用戶陳小米找到了本小編，說她在網(wǎng)上看到一篇凱利公式的介紹，但整個方法看著有點不嚴謹。后來經(jīng)過我們的討論，其假設確實有點牽強。所以后來我們一合計，凱利公式被人提到很多，網(wǎng)上的文章也很多，但總有點隔靴搔癢的感覺，同時社區(qū)內(nèi)的有些朋友對于凱利公式不甚清楚。于是決定一起寫篇東西吧，介紹介紹。
如果不去證明，只看凱利公式本身，它有著非常簡潔的形式。在小編的量化體系中，凱利公式是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)。雖然基礎(chǔ)，但是卻是很重要的一環(huán)，可以說是小編整個量化體系的根基之一。
但須知差之毫厘，謬之千里。有如天龍八部中的易筋經(jīng)，打開方式不對，你就看不到武功秘籍。而正確的使用凱利公式，有一個正確的方法論，才能讓你的凈值增長如虎添翼。
那怎么做呢？請繼續(xù)往下看。
凱利公式產(chǎn)生的背景人物介紹什么的就不多說了，總之，就是有那么一個牛人，找到了連續(xù)賭博中的最佳投注比例公式，橫掃賭場。后來他又以此構(gòu)建了一個對沖基金，戰(zhàn)績不俗。
這個人的大頭像也不貼了，陳小米的帖子里面有。我們直接開始正文：
賭博怎么用凱利公式？最早的凱利公式是運用在賭博游戲中的，我們先看看賭博情形下凱利公式的
特殊形式：
其中Pwin表示勝率，Ploss=1-Pwin，b表示賭贏了的賠率（扣除本金后的收益/本金）。f表示單次下注占總資金的比例。
就是這個精巧簡潔的公式，將信息論與賭博之間的本質(zhì)聯(lián)系揭露出來，告訴我們
在有限了解的信息下，如何下注能使得資本增值的速度最大化。
這個公式怎么來的，由于是普及向的文章，我們跳過了。各位就默認這個是對的就行：），真想深入，請看wiki鏈接：
https://en.wikipedia.org/wiki/Kelly_criterion
舉個簡單的例子假想一個賭博游戲。贏的概率是60%，輸?shù)母怕?0%。入場費隨意交。如果贏了獲得2倍的入場費金額（b=1），輸則輸?shù)羧雸鲑M。小編有100元做本金，請問小編每次給多少入場費，若干次游戲后幾何期望收益能最大？
答：f = （1×0.6-0.4）/1 = 0.2。
也就是說最佳的策略是每次投剩余本金的20%。
這塊不難理解，帶入公式就能算出來。
有兩點要注意：1.從概率的角度說，一個期望凈收益為負的游戲是不值得參與的，凱利公式也完美的體現(xiàn)了這一點。還是上面的游戲，如果贏的概率40%，輸?shù)母怕?0%，那么，期望凈收益就是（1×0.4-0.6）<>
負數(shù)倉位意味著你有上中兩策可以選。中策選擇不下注，上策是誘騙別人來跟你下注。
2.賭博版凱利公式只有在穩(wěn)贏（贏概率=100%）時才會支持押下全部本金，否則都是本金的一定比例。隨著本金的減少，下的注也越來越少。如果沒有交易費用，下注可無限分割，我們是虧不完的（留得青山在，不怕沒柴燒）。
下圖能更直觀的看到凱利公式對倉位的控制：如果押注的比例限制在0和1之間，對應不同的勝率（Pwin）和賠率（b）時，f會在三維空間上形成一個曲面。這個曲面與f=0對應的平面相交的那條黑線就是期望為0所形成的曲線。
接下來我們在股票操作中構(gòu)建一個類似上述的賭博模型，然后引入凱利公式。
怎么把股票模型轉(zhuǎn)換為賭博模型？下圖來自《財富公式：玩轉(zhuǎn)拉斯維加斯和華爾街的故事》，看看凱利的結(jié)果還不錯嘛
股票的假設和賭博有點不一樣。股票是一個連續(xù)的過程，未來某一個時刻的收益率不是固定的一個值，而是一個分布。
那么我們怎么做捏？怎么做可以發(fā)揮各種想象力，我們提供一個思路。
首先，在西方那一套理論中，往往用隨機游走來描述股價的波動：
怎么把模型轉(zhuǎn)換成與賭博模型類似的呢？方法有很多，這里來一個簡單粗暴的。設置一個止盈價格和止損線，碰到了就出局。如果取對數(shù)后的股價服從隨機游走假設，并且初始點是上沿和下沿的正中間，按照理論，先碰到上沿和先碰到下沿的概率是一樣的。（忽略漂移項）。
但是在實際情況中呢，股價不是所有的時候都服從這個隨機游走模型。股價先碰到上沿的概率會高于先碰到下沿的概率。比如說，突然出一個利好，財報公布后超預期，降準降息啦，或者單純的資金面涌入造成短時間多空失衡，等等。
我們管這些事件，或者與這些事件同時發(fā)生的一些現(xiàn)象稱為信號。比如說，降息的事件本身，就是一個信號。利好之前可能會有人提前知道偷偷買，造成股價跌不下去，這個該跌不跌就是一個信號。資金的涌入造成成交量放大，這個成交量放大也是一個信號。
上圖表示事件對股價形成了影響，整體概率分布向上偏移，先碰到止盈的概率大于先碰到止損的概率。
交易所做的事情，就是這么一個尋找信號的過程，找到有效信號，意味著信號背后的事件會使股價的概率分布偏離，贏的期望變大。同時我們設置止盈止損線，這樣賠率也就固定了下來。
由此我們就把投資股票的過程轉(zhuǎn)換成一個連續(xù)賭博的過程。信號發(fā)出就是我們?nèi)雸鳇c。止盈止損發(fā)生的時候，就是我們的出場點。賠率和損失率就是止盈止損與入場價格之差。一次入場和出場就相當于賭博模型中的單次賭博，單次賭博的倉位由凱利公式確定。
邏輯好通順。
各位童鞋注意，這個信號嘛，是需要同學自己去找的（這就是你們要做的事情啊喂！找到有效的信號就可以賺錢了）。而一旦找到有效信號，由某種方法固化了勝率賠率，凱利公式就華麗登場了。
凱利公式登場以后呢前文的賭博公式中，賠一次會輸?shù)粞鹤⒌乃薪痤~。而由于在股市中，我們不會一次性賠光本金，而是賠掉本金的一定比例。所以我們需要使用一般性的凱利公式：
其中：f：倉位比例
Pwin：賭贏的概率—股市上漲概率
Ploss：賭輸?shù)母怕省墒邢碌怕?br>
b：贏錢率（資產(chǎn)從1增加到1+b）
c：損失率（資產(chǎn)從1減少到1-c）
假設我們找到了一個有效信號。并且根據(jù)歷史上的統(tǒng)計，過去三年這個有效信號發(fā)生了1000次。以信號發(fā)出的價格為起點，在20%的正收益時止盈，在20%的負收益時止損。
那么在信號發(fā)出后，如果先觸碰盈的次數(shù)570次，先觸碰止損的次數(shù)430次（這里只是為了舉例而做簡化，實際中我們需要做更多的工作）。
于是，我們就成功的把問題轉(zhuǎn)換成了一個連續(xù)賭博的問題：有這么一種賭博，贏一次的賠率為20%，輸一次的損失率為20%，贏率為57%
對應公式，有Pwin=0.57，Ploss=0.43，b=0.20，c=0.20
此時f=Pwin/c – Ploss/b = 0.57/0.20 – 0.43/0.20= 70%
也就是說，不管你現(xiàn)在剩余多少錢，應該買入剩余部分的70%的倉位。
接下來，我們用蒙特卡洛模擬的方法做一組測試，看看凱利公式是怎么發(fā)揮作用的。假設股票投機產(chǎn)生了T次信號。我們相應的按照上述參數(shù)隨機生成勝率和賠率，做了T次投機。把這T次投機算成一組完整的投資過程，這樣就會得到一個凈值的序列。對于任意的T，我們將這個投資過程重復1000次，求凈值的幾何平數(shù)。
我們看看在不同的投機次數(shù)T下的效果：
T=100： 其中藍線表示每次投機都是滿倉；
綠線表示每次投機都是凱利公式給出的倉位（0.7）；
紅線是接近凱利公式的倉位（0.6）；
還選了一個每次0.9的倉位，誰知道那個線的顏色是什么名字……
當T=100時，凱利公式倉位下凈值增長最快，但是與其他倉位相比，優(yōu)勢不明顯。
T=500： 此時，最接近凱利公式倉位的紅線，尚能與凱利公式一戰(zhàn)。其他倉位的凈值已經(jīng)與凱利公式拉開了距離。
T=1000： 各個倉位明顯看到差距。凱利公式完勝！
說明如果想有效的應用凱利公式，你找到的信號不能太稀疏。否則的話隨機的因素可能占據(jù)上風。但是隨著你的交易次數(shù)增加，你的凈值能否增長就是一個字：
大概率事件。99.99%曰大概率。
接下來，還有些微小的工作：加杠桿：我們看看另外一種情況：現(xiàn)在你找到了一個信號，繼續(xù)延續(xù)上文的方法，但止盈止損線都是2%。歷史統(tǒng)計漲過2%的概率是0.7，跌破2%的概率是0.3。那么帶入凱利公式，得到的f值是多少呢？
2000%，也就是20倍的押注。
這是什么鬼？！背后的實際意義是什么？
凱利公式在告訴你這個因子太好了，值得你作20倍的杠桿來操作么？如果是那樣，我再貪心一點好不好，看下圖，加到25倍顯然就挫了。。。
所以要理解，凱利公式判斷押注比例的時候，是綜合贏錢期望和輸贏之間的差距（類似于方差的概念）進行的。如果說：
中，c=0，計算出來的f是無窮大。在現(xiàn)實中就意味著找到了一個項目，要么賺錢，要么持平，怎么都不會虧。理論上，我們能借多少就要借多少??！
但理論是理論，實際是實際。前文中隱含的前提是借錢沒有摩擦，沒有費用，也沒有利息的。而在現(xiàn)實中，借錢是有成本的。一般人也借不到這么高的杠桿。
即使凱利公式告訴你要使用高杠桿，我們也不建議加過高的杠桿。除了上述的財務摩擦之外，還有如下原因：
黑天鵝由于篇幅有限，以后有機會寫文章介紹一下長尾效應和黑天鵝。簡而言之，我們股票上所有的概率賠率，都是基于歷史數(shù)據(jù)的。而現(xiàn)實中，小概率事件的概率往往會被低估。
所以說，如果凱利公式告訴你，要壓大倉位，可千萬要三思。你要是不加思考傻乎乎的信了，出了一件在模型歷史統(tǒng)計之外的事情，爆倉分分鐘教你做人。
這么說有點抽象，打個比方，假設股災前，你找了一個很好的信號，比如跌5%時大概率會反彈的這種。然后如上文所述，凱利公式給你的倉位比例是10倍。你壓了兩倍杠桿，還嫌少，又配資加到了5倍。
接下來發(fā)生了股災，小概率事件一個接一個。第一天直接擊破止損，還沒等你反應過來，就跌停了賣不出去。第二天開盤跌停了，賣不出去；第三天開盤跌停了，賣不出去……
就問你怎么辦。
永遠記?。哼@個世界充滿了因果性和蝴蝶效應。模型只是一個近似的替代。
真正的本金是什么有人說，凱利公式計算的倉位總是偏大。其原因嘛，除了上文中提到的，實際股票收益率的分布具有長尾因素，導致極端情況發(fā)生的次數(shù)比預計要多以外，還有一個原因是很多人
沒明白凱利公式的投注比例所對應的本金到底是什么。 人們往往會認為凱利公式所針對投注比例是全資產(chǎn)，但其實上并不是，凱利公式所針對的投注比例是
你可承受損失的資產(chǎn)。比如說，有一個私募，投入了1000w，但是有0.8的清倉線，其實只能承受200w的損失。那么在凱利公式里，
f針對的本金其實只有200w，也就是說，如果f=0.7，你一次壓上去的錢只有 200w*0.7=140w。
明白了沒有？如果現(xiàn)在這個1000w虧的只剩 910w了，那么本金只有110w，一次下注的錢只能是110w*0.7=77w
而如果這個1000w賺到了1150w，那么本金就變成了（1150w-800w）*0.7=350w，需要壓的數(shù)量就是350w*0.7=245w。
所以說，如果一個人雖然有100%的倉位，但是實際心理能承受的損失就是20%，那么此時就應該用這個20%作為本錢來帶入凱利公式。如果用100%的倉位帶入，結(jié)果會讓你很煩躁。
差點忘了，那個錯誤的例子：開頭提到了，我們在網(wǎng)上找到了一個錯誤的例子。剖析一下：
我們畫了一張圖來理解本文的假設：
上面那段話的暗含的條件是，如果一年內(nèi)最高價H=2，一年內(nèi)最低價L=1，不論當前你的價格在那里，未來價格先碰到H的概率和先碰到L的概率都相等。
即Pwin = Ploss = 0.5的情況下,如果當前價為1.3， 此時該保持的倉位 f = (0.5×0.54-0.5×0.23)/（0.54×0.23） = 124.80%。
按照上文邏輯，挑選中信證券（600030.SH）進行回測(如果倉位大于100%，則調(diào)整成100%)：
1.中信證券 哇塞，比一直持有更賺錢。
到這里，你以為你真的就可以一招吃遍天下，用凱利就可以躺著賺錢了嗎？且慢，換一個標的試試。
2.嘉實滬深300ETF 納尼？大師的一世英名豈不是要栽在這張回測圖上了。說好的收益最大化呢？？是不是哪里出錯了？？
問題出在哪？問題出在假設中，文中假設任意的股票任意位置，先觸碰最高價和先觸碰最低價的概率都是0.5，這顯然是不合理的強假設。因此可能一個股票剛好回測效果比較好，另外一個股票回測效果就比較差。
如果假設改進一下，比如先判斷一下目前是不是一個震蕩中樞里。如果在震蕩中樞里，我們假設先碰到震蕩下沿和上沿的概率相等，都是0.5。如果突破上沿，說明新的趨勢形成，可以滿倉追進去。如果跌破下沿，說明反向趨勢形成，暫時避開。我覺得可能更合理一些。（這只是一個猜想，大家有興趣可以驗證）
哇。。。好啦，少年。真正賺錢的是找有效的因子or信號，使得Pwin盡可能大，b盡可能大。而這個因子or信號的挖掘，就是作為礦工孜孜不倦追求的終極目標了。當你找到這樣一個神奇的因子，你需要做的就是，用一種方法將其近似成連續(xù)的賭博模型。接下來，凱利公式就會給你指引一條正確的道路。
行動起來吧。加入寬客大軍。
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彩蛋：評論區(qū)有朋友問，如果長期即碰不到上沿也碰不到下沿怎么辦。其實這個問題就出在將股票模型轉(zhuǎn)換為連續(xù)賭博模型的方法上，這就是該方法的缺陷所在。
如果各位仔細看，可以看出本篇文章中轉(zhuǎn)換為賭博模型的方法，其實是加強了對賠率的控制，舍棄了對時間的控制。因為我們不知道何時才會觸碰上下沿。
如果點贊轉(zhuǎn)發(fā)數(shù)高，我再寫一個固定時間，模糊賠率的股票投資至賭博模型轉(zhuǎn)換方法。
