一、概念解讀
數(shù)的認(rèn)識，一直是小學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一。自然數(shù)、整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)等，都是小學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的概念，這些概念是學(xué)生今后構(gòu)建“概念網(wǎng)絡(luò)圖”、學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算、研究數(shù)量關(guān)系的重要基礎(chǔ)，是小學(xué)數(shù)學(xué)中的核心內(nèi)容。數(shù)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)中最基本的概念之一。自然數(shù)的產(chǎn)生，起源于人類在生產(chǎn)和生活中計(jì)數(shù)的需要。自然數(shù)的形成包括兩個(gè)方面：一是0-9這10個(gè)數(shù)字的形成，二是計(jì)數(shù)單位的建立。隨著人類社會實(shí)踐的需要，數(shù)的概念逐步形成和不斷發(fā)展。根據(jù)數(shù)系的形成過程可知，數(shù)概念的形成過程是一個(gè)數(shù)概念外延的多次擴(kuò)張過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，在自然數(shù)集合中添加負(fù)整數(shù)就得到了整數(shù)，在整數(shù)集合中添加分?jǐn)?shù)就得到了有理數(shù)，在有理數(shù)集合中添加無限無循環(huán)小數(shù)就得到了實(shí)數(shù)。
小學(xué)階段對數(shù)概念的認(rèn)識在本質(zhì)上應(yīng)從數(shù)的擴(kuò)充角度來理解——
分?jǐn)?shù)的擴(kuò)充一般有兩種需要：一是分東西的過程中，需要對一個(gè)物體進(jìn)行切割與分配時(shí)，整體中的“部分”無法用自然數(shù)來表示，就需要有刻畫“部分”的方式方法；二是計(jì)算過程中，對除法算式無法用自然數(shù)表示計(jì)算的結(jié)果時(shí)，就需要有刻畫這類除法運(yùn)算結(jié)果的方式方法。
小數(shù)的產(chǎn)生有兩個(gè)前提；一是十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的使用，一是分?jǐn)?shù)概念的完善。小數(shù)的產(chǎn)生有兩個(gè)動因：一是十進(jìn)制計(jì)數(shù)法擴(kuò)展完善的需要，二是分?jǐn)?shù)書寫形式的優(yōu)化改進(jìn)。小數(shù)的出現(xiàn)標(biāo)志著十進(jìn)制計(jì)數(shù)法從整數(shù)擴(kuò)展到了分?jǐn)?shù)，使分?jǐn)?shù)與整數(shù)在形式上獲得了統(tǒng)一。
負(fù)數(shù)的產(chǎn)生。負(fù)數(shù)是一個(gè)與正數(shù)的意義相反的數(shù)學(xué)概念。它的形成源于對生活中完全相反的事物數(shù)量的刻畫。如進(jìn)與出，上與下，進(jìn)與退等。
二、教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)
內(nèi) 容
冊 次
整數(shù)的認(rèn)識
認(rèn)識10以內(nèi)的數(shù) 認(rèn)識20以內(nèi)的數(shù)
一上
認(rèn)識100以內(nèi)的數(shù)
一下
認(rèn)識萬以內(nèi)的數(shù)
二下
認(rèn)識多位數(shù)
四下
負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識
五上
因數(shù)和倍數(shù) 最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)
五下
（百）分?jǐn)?shù)和小數(shù)的認(rèn)識
分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（把一個(gè)物體平均分）
三上
分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（把一個(gè)整體平均分）
三下
小數(shù)的初步認(rèn)識
三下
小數(shù)的意義和性質(zhì)
五上
分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)
五下
認(rèn)識百分?jǐn)?shù)
六上
教材把認(rèn)識整數(shù)的教學(xué)分成20以內(nèi)的數(shù)，100以內(nèi)的數(shù)，萬以內(nèi)的數(shù)，多位數(shù)，簡單的負(fù)數(shù)等五個(gè)階段，循序漸進(jìn)，螺旋上升，安排在一到五年級陸續(xù)進(jìn)行。分?jǐn)?shù)和小數(shù)的教學(xué)分成兩段進(jìn)行，交叉編排。第一段學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)的初步認(rèn)識。把初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)放在前面，初步認(rèn)識小數(shù)就有十分之幾的分?jǐn)?shù)作支撐了。第二段系統(tǒng)學(xué)習(xí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)的知識。分?jǐn)?shù)、小數(shù)是數(shù)概念的一次重要擴(kuò)展。無論是在意義、書寫形式、計(jì)數(shù)單位、計(jì)數(shù)法則等方面，還是在學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)方面，分?jǐn)?shù)、小數(shù)都與自然數(shù)有較大不同。百分?jǐn)?shù)由于在實(shí)際生活中的特殊性，教材將百分?jǐn)?shù)作為專門的一段內(nèi)容學(xué)習(xí)，安排在六年級上冊。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)，表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)都是百分?jǐn)?shù)。自然數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)雖然表征形式不同，但其本質(zhì)都是“計(jì)數(shù)單位與其個(gè)數(shù)乘積的累加”。
三、實(shí)踐之思
1.充分經(jīng)歷，關(guān)注過程
無論是整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)，還是負(fù)數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展，都是人類生活實(shí)踐的總結(jié)。教材根據(jù)數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展特點(diǎn)，十分注意創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境或操作活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體情境抽象出數(shù)的過程，逐步體會數(shù)的含義，建立正確的數(shù)概念。
（1）整數(shù)概念的形成過程
整數(shù)的計(jì)數(shù)方法是十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，有了數(shù)位和0-9這10個(gè)數(shù)字，就能表示出所有的整數(shù)。因此，數(shù)字與數(shù)位是兩個(gè)十分重要的概念。以一年級認(rèn)識1-5教學(xué)內(nèi)容為例，讓學(xué)生在具體情境中數(shù)物體的個(gè)數(shù)，把物體的個(gè)數(shù)與相應(yīng)的數(shù)量建立聯(lián)系，初步體驗(yàn)物體的個(gè)數(shù)可以用數(shù)量表示；接著，用數(shù)珠表示物體的個(gè)數(shù)，體會相應(yīng)顆數(shù)的數(shù)珠表示一類等價(jià)集合的元素的個(gè)數(shù)；在此基礎(chǔ)上，把數(shù)珠表示抽象成用數(shù)字符號表示。這樣的呈現(xiàn)方式，突出了“數(shù)是對數(shù)量的抽象”。要表示更大的數(shù)，數(shù)位概念的建立就顯得尤為重要。我們可以通過引導(dǎo)學(xué)生擺小棒、小方塊、計(jì)數(shù)器、算盤等認(rèn)數(shù)工具的操作活動讓學(xué)生理解位值原則。（同一個(gè)數(shù)字在不同的數(shù)位其意義不同，它表示的是不同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)）以認(rèn)識11-20各數(shù)為例，通過數(shù)小棒、捆小棒、回顧反思等活動，教學(xué)一和十，以及10個(gè)一是1個(gè)十。以12為重點(diǎn)，教學(xué)用小棒表示十幾的方法，體會十幾就是一個(gè)十和幾個(gè)一合起來的數(shù)。最后，圍繞19根添上1根是多少根，經(jīng)歷得出20的過程，初步理解20的含義，滲透“滿十進(jìn)一”的思想。例2的教學(xué)可以把小棒表示的數(shù)過渡到計(jì)數(shù)器上，讓學(xué)生初步了解計(jì)數(shù)器上的個(gè)和十的意思，進(jìn)一步理解11-20各數(shù)的組成，體會不同數(shù)位上的數(shù)有不同的計(jì)數(shù)單位。然后，對照著計(jì)數(shù)器上的數(shù)珠寫數(shù)，賦予數(shù)字的具體含義，形成數(shù)的概念。
（2）展開小數(shù)概念的建構(gòu)過程
小數(shù)概念的學(xué)習(xí)，無論是三年級的直觀認(rèn)識，還是五年級的認(rèn)識小數(shù)的意義，教材都是從學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)背景入手，再通過去情境化，形成概括化的認(rèn)識。以五年級認(rèn)識小數(shù)的意義例1為例，可安排三個(gè)層次組織教學(xué)。第一個(gè)層次，通過分米改寫成米的活動，喚起已有的一位小數(shù)經(jīng)驗(yàn)，第二個(gè)層次，認(rèn)識兩位小數(shù)。首先，在厘米改寫成米的探索活動中，展開兩位小數(shù)的推理與思考的過程。接著，嘗試4厘米，12厘米各是幾分之幾米，遷移經(jīng)驗(yàn)，深化理解，最后，看著直尺，獨(dú)立表示兩位小數(shù)。第三層次，認(rèn)識三位小數(shù)。延續(xù)前面的情境，壓縮推理過程。在學(xué)生獲得豐富認(rèn)識的基礎(chǔ)上，揭示小數(shù)的意義。這樣，可以幫助學(xué)生自主建構(gòu)小數(shù)的概念。
（3）展開分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)過程
分?jǐn)?shù)教材分三個(gè)階段編排：第一階段三上，把一個(gè)物體、圖形平均分成若干份，其中一份或幾份是這個(gè)物體、圖形的幾分之一或幾分之幾。第二階段三下，把由若干個(gè)同類物體組成的一個(gè)整體平均分成幾份，用幾分之一或幾分之幾表示這個(gè)整體里的一份或幾份。這是認(rèn)識分?jǐn)?shù)的一次發(fā)展。第三階段，五下教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)。以五下分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)單元例1為例，可以分四個(gè)層次展開：一是呈現(xiàn)學(xué)生曾經(jīng)經(jīng)歷過的活動，讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)表示圖中涂色的部分，激活已有的經(jīng)驗(yàn)；二是引進(jìn)單位1，用單位1統(tǒng)攝被平均分的對象；三是比較各個(gè)具體分?jǐn)?shù)的含義，抽象、概括分?jǐn)?shù)的定義；四是介紹分?jǐn)?shù)單位，體會分?jǐn)?shù)是由幾個(gè)相同分?jǐn)?shù)單位累加的結(jié)果。
2.加強(qiáng)感悟，發(fā)展數(shù)感
在兒童步入小學(xué)校門的第一學(xué)期，教材編排組織他們學(xué)習(xí)20以內(nèi)各數(shù)的認(rèn)識。這是自然數(shù)概念中最基礎(chǔ)的知識之一，是建立數(shù)感的開始，也是認(rèn)數(shù)教學(xué)的第一階段。到了第二學(xué)期，教材將認(rèn)數(shù)范圍從20以內(nèi)擴(kuò)展到100以內(nèi)，這是認(rèn)數(shù)教學(xué)的第二階段。到了二年級，認(rèn)數(shù)范圍又?jǐn)U展到萬以內(nèi)。到了四年級學(xué)習(xí)大數(shù)的認(rèn)識。我們在數(shù)的認(rèn)識的教學(xué)過程中，需要多設(shè)計(jì)一些有助于學(xué)生形成數(shù)感的情境和活動，促進(jìn)學(xué)生逐步發(fā)展數(shù)感。例如：數(shù)數(shù)活動是學(xué)生形成數(shù)概念的基礎(chǔ)。通過一個(gè)一個(gè)的數(shù)，學(xué)生知道了某個(gè)集合的數(shù)量，通過2個(gè)2個(gè)地?cái)?shù)或5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)，學(xué)生豐富了對數(shù)的認(rèn)識。其次，數(shù)數(shù)活動中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想。在數(shù)數(shù)時(shí)，特別是點(diǎn)數(shù)時(shí)，學(xué)生必然用到一一對應(yīng)的原則，即每說一個(gè)數(shù)必然對應(yīng)一個(gè)物體。而一一對應(yīng)作為數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想，它能夠建立起事物與事物之間的對應(yīng)關(guān)系。同時(shí)要重視學(xué)生的操作活動體驗(yàn)。通過多種感知、操作在活動中不斷體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造。
我們還可以在富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)活動中發(fā)展數(shù)感。如認(rèn)識百及百以內(nèi)的數(shù)一課，我們可以進(jìn)行四次數(shù)一數(shù)活動。初數(shù)百以內(nèi)的數(shù)，了解學(xué)生已有的數(shù)數(shù)經(jīng)驗(yàn)，可以為學(xué)生提供數(shù)量不同的學(xué)具，如蕓豆、小正方體、小棒、鉛筆等。再數(shù)百以內(nèi)的數(shù)，感受按群計(jì)數(shù)和數(shù)數(shù)策略的多樣化。當(dāng)發(fā)現(xiàn)學(xué)生數(shù)數(shù)的方法只停留在1個(gè)1個(gè)的數(shù)，而且數(shù)過后仍把學(xué)具堆成一堆，也就是數(shù)數(shù)經(jīng)驗(yàn)和方法沒有發(fā)展時(shí)，我們可以讓學(xué)生的思維從無疑到有疑，“能不能想個(gè)好方法，讓別人一看就知道是多少”，在智慧的碰撞中，多種數(shù)數(shù)的方法和策略也隨之出現(xiàn)了。三數(shù)百以內(nèi)的數(shù)，感受數(shù)之間的關(guān)系。當(dāng)學(xué)生數(shù)出自己的學(xué)具不夠100或比100多時(shí)，可以追問：怎樣才能得到100個(gè)？學(xué)生說出不夠100再加幾個(gè)，和比100多幾個(gè)就去掉幾個(gè)時(shí)，不僅感受到了百以內(nèi)數(shù)的聯(lián)系，而且體驗(yàn)了遞加和遞減的過程，同時(shí)巧妙地建立了百這個(gè)數(shù)位。四數(shù)百以內(nèi)的數(shù)，體會數(shù)位與計(jì)數(shù)單位間一一對應(yīng)的關(guān)系。數(shù)感是日積月累的，需要在具體的認(rèn)數(shù)活動中逐步形成和發(fā)展。
3.結(jié)構(gòu)一體，生長延伸
關(guān)于數(shù)概念的教學(xué)，要注重知識的生長點(diǎn)與延伸點(diǎn)，把每堂課教學(xué)的知識置身于整體的知識體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同角度加以分析、從不同層次進(jìn)行理解。比如除法概念：我們可以做一張思維導(dǎo)圖。
