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注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì) 提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)（1）　視頻下載

張奠宙 教授 數(shù)學(xué)教育家 華東師范大學(xué)

唐彩斌 中學(xué)高級(jí)教師 浙江杭州現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究中心

唐：各位老師大家好。今天我們交流研討的話題是“注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)”。討論小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的“數(shù)學(xué)問題”，為什么強(qiáng)調(diào)是數(shù)學(xué)問題呢，是因?yàn)槲覀兿Ｍ裉斓慕涣髂芡怀鰯?shù)學(xué)的本質(zhì)，幫助大家一起提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。也正如大家常說“教什么比怎樣教更重要”，我們今天討論的就應(yīng)該屬于“教什么”的范疇。

張：各位老師，大家可能都聽到一句俗語叫做要給學(xué)生一杯水，教師必須有一桶水。所以我們今天來談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，大家不會(huì)覺得太簡單嗎？實(shí)際上我們要關(guān)注小學(xué)數(shù)學(xué)教材里邊背后的內(nèi)容，就是說我們是要源于教材但是要高于教材；另外，就是要居高臨下，我們有一些更高的觀點(diǎn)來觀察小學(xué)教材的內(nèi)容；其次，我們要有全面的整體的意識(shí)，知道小學(xué)數(shù)學(xué)教材他在整個(gè)教育當(dāng)中的地位和作用，然后，我們就可以心中有數(shù)；最后，小學(xué)教材雖然看來比較簡單，但是它與時(shí)俱進(jìn)，還是有許多時(shí)代特色需要我們展示，需要我們深入的了解。所以，我們愿意給大家來探討，小學(xué)當(dāng)中的一些數(shù)學(xué)問題，我想，希望給各位理解教材，理解課程標(biāo)準(zhǔn)有所幫助?！綪PT】（PPT內(nèi)容為畫線部分，下同）

一、數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域問題的討論

1．0為什么是自然數(shù)

唐： 現(xiàn)在我們就按照小學(xué)數(shù)學(xué)的幾大領(lǐng)域來選擇一些問題來具體分析。我們都知道，小學(xué)數(shù)學(xué)中最大的學(xué)習(xí)領(lǐng)域是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域。首先我們討論關(guān)于自然數(shù)。大家可能會(huì)問： 自然數(shù)誰不懂？ 這里還會(huì)有數(shù)學(xué)問題嗎？其實(shí)與時(shí)俱進(jìn)地看，自然數(shù)的問題還真不少。大家可能爭論最多的是“0本來不作為自然數(shù)，現(xiàn)在怎么又說是自然數(shù)了，為什么”？

張： 在上世紀(jì)90年代以前，自然數(shù)不包括0，但是1993之后，就包括0在內(nèi)，這當(dāng)然是一個(gè)規(guī)定所產(chǎn)生的，那是在1993年頒布的《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)》里面有一句話說規(guī)定自然數(shù)包含0，從此之后，0就屬于自然數(shù)的范圍了?！綪PT】

唐： 從近年來編寫新課標(biāo)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，我們可以發(fā)現(xiàn)教材也都根據(jù)上述國家標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了修改。具體的表述是：用0表示“一個(gè)物體也沒有”所對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)。【PPT】只是在教學(xué)中，有些老師覺得把0作為自然數(shù)，與傳統(tǒng)不同，不太習(xí)慣。

張： 這只是習(xí)慣問題。0是自然數(shù)有許多理由。首先， 人的經(jīng)驗(yàn)是，從無到有。 魔術(shù)師先交代兩手空空， 再變出一只兔子， 然后兩只兔子……。鉛筆盒中本來是空的，然后裝進(jìn)一支鉛筆、兩只等等。第二，更重要的是書寫的需要， 十的位置記數(shù)寫法是10?！綪PT】 沒有0， 就寫不出10，20，30， 100。 所以0，1，2……9， 共十個(gè)數(shù)字是最基本的。第三， 0的出現(xiàn)可以保證自然數(shù)集有單位元 a+0 =0+a=a.【PPT】在自然數(shù)中5－5＝0，如果0不是自然數(shù)，那么5－5豈不是不能減了。此外，大數(shù)學(xué)家馮·諾依曼用集合論的語言寫自然數(shù)， 第一個(gè)是“空集Φ”， 用0表示，【PPT】 然后把以空集為元素的集合{Φ}叫做1， 依次類推。從文化的角度看來“有”也是從沒有開始的。

唐： 這么說， 0是自然數(shù)的說法，既有生活經(jīng)驗(yàn)， 又符合數(shù)學(xué)規(guī)則， 還有文化背景和科學(xué)依據(jù)， 是合乎情理的。

    說起習(xí)慣，從某種意義上是老師的習(xí)慣，學(xué)生其實(shí)沒有這樣的習(xí)慣。從這個(gè)角度來說，有時(shí)有些新的事物老師認(rèn)為難接受，但學(xué)生反而覺得好接受，可能也是這樣的原因吧。

2．?dāng)?shù)位的分級(jí)是三位一級(jí)還是四位一級(jí)

唐：下面的類似問題是關(guān)于數(shù)位的分級(jí)。自然數(shù)用十進(jìn)位記數(shù)。在小學(xué)里教材上，讀數(shù)與寫數(shù)的時(shí)候，一向強(qiáng)調(diào)四位一級(jí)，分為個(gè)級(jí)、萬級(jí)、億級(jí)，但是在現(xiàn)實(shí)生活，無論是銀行里的計(jì)數(shù)，還是信息技術(shù)中的計(jì)數(shù)都是三位一級(jí)，即個(gè)、千、百萬……，從數(shù)學(xué)角度上怎樣看這種現(xiàn)象？ 

張：這個(gè)問題我覺得應(yīng)該“與時(shí)俱進(jìn)”，在以前我關(guān)注到，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中只講四位一級(jí)，只講個(gè)、萬、億。但是現(xiàn)在與國際接軌之后“千”的用途越來越大。所以說四位計(jì)數(shù)是我們的傳統(tǒng)，必須保持，【PPT】我們的學(xué)生應(yīng)該懂，三位一級(jí)更是國際慣例，又必須與國際接軌，【PPT】我們也應(yīng)該讓學(xué)生掌握。兩種并存，是必然趨勢，逐步與國際接軌。我們也注意到，像尺和寸現(xiàn)在就用的比較少了，米和厘米用的比較多了。將來，會(huì)通過社會(huì)的選擇來確定哪一種是主要的。我想，兩種都要學(xué)，這大概是不可避免的。

唐：聽張老師這么一說，我們知道既要保存?zhèn)鹘y(tǒng)，又要與國際接軌。也有學(xué)者把數(shù)位的分級(jí)與空間圖形結(jié)合起來，認(rèn)為“三位一級(jí)”更符合數(shù)形結(jié)合的規(guī)律。具體地說，一個(gè)小立方體表示1， 那么10個(gè)一排就是10，10個(gè)10排成1個(gè)面就是一個(gè)百，每一百算一層，10層就是一個(gè)新立方體，表示“千”。 再從“千立方體”出發(fā)， 10個(gè)一排， 10排構(gòu)成面， 10個(gè)面疊成新的立方體就是一百萬。這就很形象地描繪出“三位一級(jí)”的構(gòu)造?！綪PT】這樣看來，“三位一級(jí)”也是可以通過數(shù)形結(jié)合來描述這種結(jié)構(gòu)。

張：我還注意到，不管是“四位一級(jí)”還是“三位一級(jí)”，百萬是大家共用的名詞， 例如“百萬雄師”，“和百萬英鎊， 中外都用百萬形容很多。所以對(duì)百萬我們還應(yīng)該多多的關(guān)注。

唐：張老師說起那個(gè)百萬，就不僅讓我想起我們經(jīng)?？吹降囊恍┱n題教學(xué)。我們經(jīng)常聽到這樣的片段，1百萬有多大？讓學(xué)生認(rèn)識(shí) “1百萬顆黃豆有多少體積。” 【PPT】

張：當(dāng)初設(shè)計(jì)這樣的教案，它的初衷是好的，就是要大家體驗(yàn)一下一百萬是怎么樣過來的。它一定是從一開始，然后到十、百、千一點(diǎn)一點(diǎn)數(shù)出來的。當(dāng)數(shù)目很大的時(shí)候，數(shù)起來很費(fèi)力。讓兒童經(jīng)歷這樣一個(gè)過程還是很有好處。不過，我又覺得，我們本質(zhì)上還是要關(guān)注100萬這個(gè)數(shù)的結(jié)構(gòu)。至于說100萬粒米有多大，這個(gè)不是數(shù)學(xué)要研究的問題，這是個(gè)別的體驗(yàn)，100萬粒米， 100萬顆花生， 100萬個(gè)籃球有多大等像這樣的問題是沒有窮盡的，也不是我們每個(gè)人都需要去體驗(yàn)的。所以。我覺得還是要把精力放在100萬的結(jié)構(gòu)上面，比如100萬里面有多少個(gè)1000，100萬里面有多少個(gè)1萬，我們每人捐款1000元，要捐到100萬需要多少個(gè)人捐，這樣的素材不僅有現(xiàn)實(shí)背景，而且還有數(shù)學(xué)意義，可能更值得我們?nèi)ニ伎?/span>。

3．分?jǐn)?shù)的定義

唐： 聽張老師這么說，就是我們在組織這樣的活動(dòng)的時(shí)候，一方面要關(guān)注現(xiàn)實(shí)背景，但是更重要的是要關(guān)注數(shù)學(xué)的意義。前面我們主要討論的是關(guān)于自然數(shù)的問題。接下來我們要討論的是一個(gè)比較難學(xué)，但卻很重要的課題：分?jǐn)?shù)。我想我們從分?jǐn)?shù)的定義開始談起。教材很多都是從份數(shù)的定義開始的?！綪PT】 一般都這樣描述：單位1平均分為若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)?！綪PT】這樣的描述聽起來比較自然，也符合“幾分之幾”的稱呼。因而是引入分?jǐn)?shù)的首選。張老師你怎么看。

張：對(duì)，用份數(shù)的定義來引入分?jǐn)?shù)是非常自然的。但我覺得這樣也有缺點(diǎn)，最后是一份或幾份，那究竟是自然數(shù)還是分?jǐn)?shù)？這樣不太明確。因此必須盡快過渡到分?jǐn)?shù)的“商”定義，分?jǐn)?shù)的定義就是，分?jǐn)?shù)是兩個(gè)正整數(shù)a，b，a除以b的商。所以分?jǐn)?shù)是一個(gè)商，這個(gè)概念我們現(xiàn)在注意的不夠，而這恰恰是我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的核心所在。用a除以b，當(dāng)除的進(jìn)時(shí)（整除），就是原來的自然數(shù)，沒什么問題，問題就在除不進(jìn)的情況下面，那么我們就得到了一個(gè)分?jǐn)?shù)，這就是分?jǐn)?shù)所以要成為分?jǐn)?shù)根本的原因，就是除不進(jìn)的情況下需要分?jǐn)?shù)，除的進(jìn)就不需要分?jǐn)?shù)了。

例如1/4， 它是一個(gè)整體平均分為4份中的一份。 但是， 這一份究竟有多大呢？ 1除以4的商是多大呢？它一定比1小， 卻又比0大。于是我們在數(shù)射線上可以標(biāo)出它的位置：它在0和1之間，當(dāng)中這一點(diǎn)是一半就是1/2，把1/2和0之間再分一半，那個(gè)地方就應(yīng)該是1/4，這樣一畫，數(shù)的概念就出來了。這就顯示它是一個(gè)新的數(shù)，是原來自然數(shù)所沒有的數(shù)，它是我們現(xiàn)在要研究的對(duì)象。商的分?jǐn)?shù)的定義比份數(shù)的定義要深入一步，體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)出現(xiàn)的必要性，特別是商和除法之間的關(guān)系，我想，如果理解了這一點(diǎn)，分?jǐn)?shù)的價(jià)值才能完整的體現(xiàn)。

份數(shù)定義還停留在“幾份”的思考上，還沒有擺脫自然數(shù)的表示。1份，幾份，是分?jǐn)?shù)還是自然數(shù)？ 因此必須盡快過渡到分?jǐn)?shù)的“商”定義。

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【PPT】

唐：剛才張老師也說起分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，但是以前我們描述分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系時(shí)只講分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系，一般描述為：分?jǐn)?shù)中的分子相當(dāng)于除法中的被除數(shù)，分母相當(dāng)于除法中的除數(shù)。但到底是怎樣的一種關(guān)系，尚不明晰。通過剛才的介紹分?jǐn)?shù)的商的定義，可能分?jǐn)?shù)是一個(gè)新的數(shù)。張老師，你剛才還提到了分?jǐn)?shù)的另外一種定義，那是一種怎樣的定義？

張：分?jǐn)?shù)的第三個(gè)定義是比的定義

兩個(gè)自然數(shù) a比b, b≠0,即a/b叫做分?jǐn)?shù)。

比和除，本來是一個(gè)問題的兩個(gè)方面，我的意思是說，用比的概念之后，分?jǐn)?shù)就可以擴(kuò)大它的應(yīng)用范圍，使我們的視野更廣闊。我記得我曾經(jīng)請(qǐng)你做過一個(gè)實(shí)驗(yàn)，你把實(shí)驗(yàn)向大家介紹一下。

唐：好的，我們來分享一下這個(gè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。上次張老師布置我做過一個(gè)小調(diào)查，我們就組織了100多名學(xué)生，分別來自三、四、六年級(jí)，調(diào)查的方法是，就是當(dāng)學(xué)生看到屏幕上有一個(gè)圓，我們把圓分成4份，其中的一份涂成藍(lán)色，這時(shí)學(xué)生會(huì)想到哪些分?jǐn)?shù)呢？我們給學(xué)生一些時(shí)間，讓他們想，結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)：（時(shí)間2分鐘）【PPT】

測試結(jié)果：                                      【PPT】

張老師。你怎么看這個(gè)數(shù)據(jù)。

張：我想，比的定義和我們原來份數(shù)的定義是相關(guān)的，份數(shù)的定義是說一個(gè)整體平均分之后，其中的幾份。從這個(gè)小調(diào)查看出，以整個(gè)圓作為“整體單位”的思維定勢還是比較強(qiáng)的。但整體不僅僅是一個(gè)圓，也可以是1個(gè)半圓，或3/4個(gè)圓，所以整體是可以變化的，是可以有多種多樣的選擇的。所以就一個(gè)大學(xué)的教師來看，我首先看到的是在1個(gè)圓里面1快藍(lán)3塊白，藍(lán)和白之比是1：3，然后馬上就認(rèn)為是一個(gè)1/3。所以說不能把一個(gè)整圓分成4等分作為一種定式，以至于看不到一塊藍(lán)三塊白之間的比。我想比的定義也許和份數(shù)之間的靈活轉(zhuǎn)換有一定的關(guān)系，我也希望大家把份數(shù)和比的定義連接起來思考。

唐： 如果電視機(jī)前面的老師也有興趣的話，你也不妨對(duì)你班里的學(xué)生做這樣的調(diào)查，或許你能更加深刻的認(rèn)識(shí)到剛才張老師所講的從份數(shù)定義怎樣過渡到商的定義的重要性。因?yàn)樵谶@個(gè)過渡的過程中，讓我們明確了分?jǐn)?shù)是不同于自然數(shù)的一種“新”的數(shù)，是我們的新朋友。當(dāng)我們把1/3，1/6等等分?jǐn)?shù)標(biāo)在數(shù)軸（數(shù)射線）上的時(shí)候 ，新數(shù)的面貌就完全呈現(xiàn)出來了。【PPT】

4．分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)

唐：分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中有一個(gè)重要的性質(zhì)，是老師們都特別熟悉的，就是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。但是所謂基本性質(zhì)，我們總是這樣描述：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。除了這樣的描述，究竟是什么性質(zhì)呢？并沒有明確的詞語，好像總得有一個(gè)特別的名字才好。從數(shù)學(xué)的角度應(yīng)該怎么描述？

張：我想，這就是分?jǐn)?shù)相等的性質(zhì)，在自然數(shù)里面，兩個(gè)數(shù)相等，這兩個(gè)數(shù)的表達(dá)是一樣的，2等于2，2就是2。在分?jǐn)?shù)里面，不同形式的分?jǐn)?shù)，它是相等的，但相等的東西可以不一樣，這就是一個(gè)新問題了。在數(shù)學(xué)上面，這叫做“等價(jià)類”。就是把不同表現(xiàn)形式的東西歸為一類，這樣，我們在觀察問題時(shí)，就不僅是看一個(gè)數(shù)，而是看一群數(shù)，一類數(shù)，這類數(shù)我們就叫做“等價(jià)類”。這個(gè)思想在教材當(dāng)中未見得要出現(xiàn)，但是作為老師我們要認(rèn)識(shí)到，自從進(jìn)入分?jǐn)?shù)范圍內(nèi)以后，這個(gè)基本性質(zhì)，實(shí)際上是說明了：不同的東西可以歸為一類，但是它們有個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，就是數(shù)值相等。“等價(jià)類”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，也是我們處理分?jǐn)?shù)不可缺少的一個(gè)思考。

大家也可以看這個(gè)“等價(jià)類”例子，

1/2所在的等價(jià)類，各個(gè)分?jǐn)?shù)彼此相等：

     1/2 = 2/4= 3/6 =……= n/2n =……【PPT】

唐： 聽張老師這么一說，就是說有不同分?jǐn)?shù)的外形，但是它的數(shù)值是一樣的，如果要派代表的時(shí)候，我們都很熟悉，叫做最簡分?jǐn)?shù)。那么用最簡分?jǐn)?shù)作代表行不行？你能不能給我們結(jié)合具體的事例形象地說明一下？

張： 我可以有兩個(gè)比喻：

一個(gè)是：分?jǐn)?shù)好像一個(gè)人可以穿不同的衣服。體育課穿運(yùn)動(dòng)服，上課穿校服，正式場合穿西裝，文藝演出穿演出服， 休閑時(shí)穿休閑服等等。不同場合穿不同衣服，雖然最常用的是校服，但校服不能代替其它的服，但人是同一個(gè)。

另一個(gè)是：分?jǐn)?shù)又好像我們的學(xué)校。里面的成員都是平等的，都能代表學(xué)校，但是各有各的作用。校長會(huì)議校長去參加，數(shù)學(xué)教師活動(dòng)請(qǐng)數(shù)學(xué)教師去，5年級(jí)學(xué)生的競賽則必須由5年級(jí)學(xué)生參與。

所以我想，“等價(jià)類”就是這樣，大家都是平等的，不同的場合要有不同的表示形式。最簡分?jǐn)?shù)固然重要，但分?jǐn)?shù)相加需要通分， 最簡分?jǐn)?shù)就不夠用了。就如校長雖然重要，卻不能代表一切。所以你剛才提的問題很好，所謂分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，就是分?jǐn)?shù)相等的性質(zhì)。什么叫做分?jǐn)?shù)相等，就是這樣的定義。

唐：經(jīng)過張老師這樣形象地描述，分?jǐn)?shù)的這個(gè)等價(jià)性大家一定清楚些了。那為什么分?jǐn)?shù)要出這樣一個(gè)基本性質(zhì)，而自然數(shù)沒有呢？

張：相等的自然數(shù)只有一種形式。 但是相等的分?jǐn)?shù)卻有不同的形式。 而且分?jǐn)?shù)的約分，通分在后續(xù)學(xué)習(xí)中非常有用。所以必須認(rèn)真學(xué)習(xí)，加深理解。

唐：基于以上的討論，我感到分?jǐn)?shù)教學(xué)對(duì)我們老師的啟示有以下兩點(diǎn)： 第一， 分?jǐn)?shù)是“新朋友”，是除不盡情形下引進(jìn)的新數(shù)。分?jǐn)?shù)的本質(zhì)在于使得自然數(shù)的除法總可以施行，因而分?jǐn)?shù)的“商定義”顯得十分重要。 第二。分?jǐn)?shù)是一個(gè)大家庭，相等的分?jǐn)?shù)可以有不同的形式。等價(jià)類的思想應(yīng)該有所滲透。【PPT】

 5．小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系

唐：說完了分?jǐn)?shù)，我們來討論和分?jǐn)?shù)密切相關(guān)的小數(shù)，小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，我們常常這樣說：小數(shù)是分?jǐn)?shù)的另一種形式。十分之幾的分?jǐn)?shù)可以寫成一位小數(shù)，百分之幾的分?jǐn)?shù)可以寫成兩位小數(shù)，……依此類推，所以一般都先學(xué)分?jǐn)?shù)再學(xué)小數(shù)。你怎么看？ 

張：先學(xué)分?jǐn)?shù)再學(xué)小數(shù)是從一般到特殊，一般的分?jǐn)?shù)有了，我們再來研究特殊的，以10為分母的分?jǐn)?shù)。但是小數(shù)是不是因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)才產(chǎn)生的呢？這不是。小數(shù)的產(chǎn)生與現(xiàn)實(shí)中的度量有密切關(guān)系。我們有了尺所以下面有寸、有分，我們有了斤所以下面有兩。所以我想，如果我們先學(xué)分?jǐn)?shù)，比如說幾元、幾角、幾分，然后再把特殊的分?jǐn)?shù)，我們分成10份的分?jǐn)?shù)，推廣為一般，從特殊到一般，也是一種認(rèn)識(shí)的規(guī)律。所以這兩者，在我所見到的國內(nèi)外許多教材當(dāng)中，是有不同的安排的。有些就是由一般到特殊，像我們現(xiàn)在多數(shù)采取的，有些國外的教材就是從特殊到一般，先有小數(shù)這樣的分?jǐn)?shù)，然后在推廣到一般的分?jǐn)?shù)，都是可以的。

唐：看來現(xiàn)代人們在編教材的時(shí)候有不同的解讀，所以順序也不一定一樣。哪么我們想小數(shù)與分?jǐn)?shù)之間到底有怎樣的關(guān)系，有什么區(qū)別呢？在數(shù)學(xué)史上到底是先有分?jǐn)?shù)還是先有小數(shù)？

張：中國在商代，就是現(xiàn)在出土的文物中就有尺了，那個(gè)尺里面就有寸，而且是十進(jìn)位的，所以這個(gè)是有考古的實(shí)物為證的，所以小數(shù)在商代就出現(xiàn)了。分?jǐn)?shù)根據(jù)記載是在春秋時(shí)代出現(xiàn)的，比商代就要晚很多了。從中國的小數(shù)和分?jǐn)?shù)出現(xiàn)的時(shí)間來說，是先有小數(shù)，后有分?jǐn)?shù)。于一般分?jǐn)?shù)。度量衡的發(fā)展大約始于父系氏族社會(huì)末期。傳說唐帝“設(shè)五量”，“少昊同度量，調(diào)律呂”。這時(shí)的單位尚有因人而異的弊病。《史記·夏本紀(jì)》中記載禹“身為度，稱以出”，則表明當(dāng)時(shí)已經(jīng)以名人為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行單位的統(tǒng)一，出現(xiàn)了最早的法定單位。商代遺址出土有骨尺、牙尺，長度約合16厘米，與中等身材的人大拇指和食指伸開后的指端距離相當(dāng)。尺上的分寸刻劃采用十進(jìn)位?！綪PT】

唐：分?jǐn)?shù)產(chǎn)生在什么時(shí)候呢？

張：我國的分?jǐn)?shù)記載出現(xiàn)于春秋時(shí)代（公元前770年～前476年《左傳》中，規(guī)定了諸侯的都城大小：最大不可超過周文王國都的三分之一，中等的不可超過五分之一，小的不可超過九分之一。秦始皇時(shí)代的歷法規(guī)定：一年的天數(shù)為三百六十五又四分之一。在小數(shù)出現(xiàn)的時(shí)候，并不覺得這是分?jǐn)?shù)。 后來有了一般的分?jǐn)?shù)概念，才看到小數(shù)是“沒有寫分母”的分?jǐn)?shù)， 其分母由位置確定。

唐：古代的教學(xué)史對(duì)我們現(xiàn)代的教學(xué)也是有一定的啟示的，有一種關(guān)系可能是值得我們思考的，就是既然分?jǐn)?shù)可以和小數(shù)互化，那么已經(jīng)有了小數(shù)， 何必還要學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)呢？

張：問題就在于實(shí)際的需要，小數(shù)是運(yùn)算比較方便，很容易看得出來它的大小，但是無限循環(huán)小數(shù)的加減乘除非常麻煩。因此，分?jǐn)?shù)運(yùn)算必須單獨(dú)學(xué)習(xí)。 反過來， 只學(xué)分?jǐn)?shù)不學(xué)小數(shù)也不行。 因?yàn)樾?shù)是十進(jìn)位的， 比較實(shí)用。 尤其是比較兩個(gè)小數(shù)的大小， 無論是有限小數(shù)還是無限循環(huán)小數(shù)，用“字典順序”比較，一目了然。不像面對(duì)兩個(gè)分?jǐn)?shù)， 要比較它們的大小比較困難。所以說，它們各有各的好處。

唐：小數(shù)和分?jǐn)?shù)在具體的問題當(dāng)中各有個(gè)的好處，通過剛才我們討論小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，也正是印證了張老師最前面講的一句話，讓我們總體把握，做到心中有數(shù)。

6．算法多樣化的思考

唐：討論完了數(shù)以后，我想在數(shù)與代數(shù)當(dāng)中另外一大塊就是計(jì)算，或許電視機(jī)前的老師和我們一樣，現(xiàn)在一提起計(jì)算，腦子里就會(huì)反映出一個(gè)新的詞，叫做“算法多樣化”，這也正是我們新課程改革以來，一直倡導(dǎo)的一種理念，

張老師你是怎樣看“算法多樣化”這種理念的？

張：算法，就是計(jì)算方法。隨著計(jì)算機(jī)時(shí)代的到來，計(jì)算機(jī)可以做各種各樣的事情，但是計(jì)算機(jī)都是按照算法運(yùn)行的，所以算法的重要性不言而喻。所以《新課標(biāo)》提出算法的意義，也提出了算法的多樣性也是非常必要的。 而小學(xué)提倡算法多樣化， 目的在于重視算法， 創(chuàng)造性地運(yùn)用算法。

唐：“算法多樣性”是一種好的理念，但是在具體的實(shí)施過程中，我們又會(huì)碰到怎樣的問題呢？我來舉一個(gè)例子：28×15，兩位數(shù)乘兩位數(shù)。

學(xué)生可能使用的其他方法，至少有以下四種：

    28×15＝28×（10＋5）       28×15＝28×5×3

＝28×10＋28×5             ＝140×3

＝420                       ＝420

28×15＝15×4×7                 28＝30－2

＝60×7                28×15＝30×15－2×15

＝420                        ＝420

一位同學(xué)是把15分拆成10＋5，然后利用乘法分配律計(jì)算出結(jié)果，另外一位同學(xué)是把28分成4×7，然后先用15和4相乘得到60，然后在乘以7也得到420的結(jié)果。還有同學(xué)是把15分成5×3，然后再來相乘算出結(jié)果。有同學(xué)把28看成是30-2的差，再和15相乘。

當(dāng)然，在計(jì)算的過程當(dāng)中有一種基本的方法，就是豎式計(jì)算的方法。

    首先是常規(guī)的豎式計(jì)算?！綪PT】

                28

             × 15

            ----------

               140

               28

--------

                420

這么多的算法，張老師你怎么看。

張：算法可以多樣化，但是必須選擇一種作為基礎(chǔ)。 豎式計(jì)算方法， 就是大家的首選。這是無數(shù)的人，經(jīng)過挑選之后確定下來的，無論在國內(nèi)還是國外都是一樣的。豎式算法是基本技能，基本算法。它的特點(diǎn)是程序化、機(jī)械化，按部就班，能夠?qū)Ω度魏挝粩?shù)、任何形式的自然數(shù)的加減乘除運(yùn)算。這個(gè)算法雖然顯得笨重一點(diǎn)，也不夠簡便，但它是最基本的，我們必需把基本的先掌握好。將來多項(xiàng)式相乘也是這樣操作。我們把這類算法，稱作通性通法。它永遠(yuǎn)行得通，算得出。其它的算法都在它的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，隨機(jī)應(yīng)變。

唐：這種通性通法也有算起來不夠迅速、快捷的缺點(diǎn)，而上面指出的學(xué)生的一些簡便算法，是一種針對(duì)特殊問題的特殊算法，屬于“巧算”一類，不能適用一般情形。我們使用這些特殊算法，有助于提高計(jì)算效率，培養(yǎng)個(gè)人的計(jì)算特點(diǎn)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的創(chuàng)新能力。張老師你認(rèn)為課堂上出現(xiàn)的多種多樣的方法，是否需要 “優(yōu)化”？

張：豎式計(jì)算是笨辦法，但永遠(yuǎn)有效。但是，我們每個(gè)人都有自己的個(gè)性，肯定也有一些自己喜歡的個(gè)性的算法。相對(duì)而言其他算法更加巧妙，但要隨機(jī)應(yīng)變，沒有普遍性。實(shí)際上如果把上面的四種方法比較一下就可以發(fā)現(xiàn)，有兩種算法其實(shí)就是利用乘法分配律，另兩種就是湊整的思想，都特別有利于心算。乘法分配律在數(shù)學(xué)中的作用，有學(xué)者認(rèn)為，相當(dāng)于人類從石器時(shí)代到鐵器時(shí)代；靈活運(yùn)用分配律是一種數(shù)學(xué)技能。所以，我想在提倡算法多樣化的時(shí)代，一方面要把豎式算法學(xué)會(huì)，同時(shí)也要充分運(yùn)用一些能使我們計(jì)算更加簡便、靈活的算法，要把基礎(chǔ)和靈活都掌握好。

唐：張老師剛才在講算法多樣化的時(shí)候，還特別提到了乘法分配律它特別重要的地位，我想盡管它不是我們算法多樣化的一種普遍的規(guī)律，但是它的重要性或許會(huì)引起大家更多地思考。同時(shí)在算法多樣化問題上， 橫式計(jì)算方法值得重視。其原理是從高位到低位，與豎式計(jì)算相反。 例如

         28×15 = 20×10 + 20×5 + 10×8+ 5×8

= 200 + 100 + 80 + 40 = 420。

先用兩個(gè)乘數(shù)的十位和十位相乘，再用第一個(gè)乘數(shù)的十位和第二個(gè)乘數(shù)的個(gè)位相乘，在分別用以第一乘數(shù)的個(gè)位和第二個(gè)乘數(shù)的十位相乘，然后再是個(gè)位和個(gè)位相乘，最后相加。這種橫式算法張老師你是怎么看的。

張：橫式算法在國外比較盛行，可能是因?yàn)樗鼘?duì)算理說的比較清楚，它揭示了不同的位數(shù)它們所產(chǎn)生的作用。但是它有一個(gè)缺點(diǎn)，就是對(duì)位比較復(fù)雜，在對(duì)位的過程中容易出錯(cuò)，所以橫式算法還是不如豎式算法哪么有效。橫式算法是一種從高位到低位的算法，和中國的珠算加法相同。所以現(xiàn)在國內(nèi)外一致討論的結(jié)果是豎式算法為主，橫式算法為輔來說明算理，再加上各種各樣的簡便、創(chuàng)造性的一些計(jì)算方法，使得“算法多樣化”真正成為中國數(shù)學(xué)教育的一個(gè)特色。

唐：剛才張老師講起來從低位算起還是從高位算起，讓我也想起了張?zhí)煨⒗蠋熖貏e提到的對(duì)算法多樣化的一種理解，他認(rèn)為起算點(diǎn)不同也是我們算法多樣的一種不同，有的從低位算起有的從高位算起。橫式算法在對(duì)位的過程中比較容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，而豎式算法是一種通性通法，從后續(xù)學(xué)習(xí)當(dāng)中來看，即便我們以后學(xué)習(xí)多項(xiàng)式的乘法，也是符合這樣的道理的。

張：對(duì)，以前降冪排列，升冪排列都是按照豎式計(jì)算的方法。

唐：也就是說，豎式計(jì)算不僅適用于小學(xué)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)當(dāng)中都要用到的方法。

唐：說起計(jì)算，張老師在你編著的《中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)》中，提到雙基的一個(gè)維度是速度。對(duì)于學(xué)生的計(jì)算，我們是不是要提出一些速度的要求？

張：從國內(nèi)外的調(diào)查來看，中國學(xué)生的計(jì)算能力特別是心算的能力是被國際公認(rèn)的。新加坡一個(gè)代表團(tuán)在調(diào)查后認(rèn)為中國學(xué)生的心算能力要強(qiáng)于新加坡，當(dāng)然比美國就更好，這種計(jì)算的能力對(duì)我們成人后的生活也是非常重要的，所以我們一定要保持中國學(xué)生在心算領(lǐng)域的優(yōu)勢。但要注意的是，我們說的心算主要是指100以內(nèi)或者兩位數(shù)的加減乘除，過多的則沒有必要。速度是我國雙基的一個(gè)維度。但是對(duì)于計(jì)算來說，隨著計(jì)算器的普及，不需要對(duì)計(jì)算有過高的要求，尤其不要用一些大數(shù)目的繁雜的計(jì)算來考查學(xué)生計(jì)算能力。這種機(jī)械的勞動(dòng)還是讓機(jī)器來做比較好。但是，兩位數(shù)的加減運(yùn)算，一位數(shù)乘兩位數(shù)等的心算能力，還是非常重要的，屬于“雙基”范疇。

唐：我想是不是可以這樣理解，我們作為老師去考察學(xué)生的計(jì)算能力的時(shí)候，不要用那種繁雜的、特別大數(shù)字的計(jì)算題來增加學(xué)生計(jì)算的難度，而學(xué)生對(duì)于計(jì)算基本的方法是否掌握，是我們所更要關(guān)注的。記得以前張老師也請(qǐng)中西部的一位老師做過這樣的調(diào)查，或許電視機(jī)前的老師會(huì)想，中國的計(jì)算那么好，是不是也是指我們那里呢？

張：現(xiàn)在小學(xué)生的計(jì)算能力，張曉霞老師做過一個(gè)非常詳細(xì)的調(diào)查，我總的感覺中國的計(jì)算能力確實(shí)比外國要強(qiáng)很多，或許要求是高了一點(diǎn)。但是因?yàn)槲覀円呀?jīng)有了這樣一個(gè)傳統(tǒng)，丟掉一個(gè)傳統(tǒng)很容易，但保持一個(gè)傳統(tǒng)很困難，所以我們應(yīng)該在保持一個(gè)合理的計(jì)算速度的基礎(chǔ)上進(jìn)行改革。

唐：我想聽了張老師剛才這樣的點(diǎn)評(píng)以后，我們中西部的老師心里一定會(huì)更加自信了，因?yàn)槲覀冊谟?jì)算方面的優(yōu)勢說不定就在你們班里。

7．什么是代數(shù)？

唐：剛才我們討論了數(shù)和計(jì)算，其實(shí)有一個(gè)名詞或許老師也和我一樣有疑問的，叫做“數(shù)與代數(shù)”，新課標(biāo)設(shè)置了“數(shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)領(lǐng)域。過去的小學(xué)里，對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)我們比較熟悉。至于代數(shù)，相對(duì)來說比較陌生一些。怎么理解代數(shù)？

張：代數(shù)學(xué)的西文名稱是algebra，是9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米的一部著作的名稱。原意是“還原與對(duì)消的科學(xué)”。什么叫做對(duì)消，大家知道的有正負(fù)對(duì)消，就是解方程時(shí)所謂的移項(xiàng)，所謂還原，就是把本來淹沒在方程中的ｘ把它暴露出來，還原了ｘ的本來面目，所以方程是和代數(shù)緊密聯(lián)系的，所以我們一說到代數(shù)，就會(huì)聯(lián)系到解方程。【PPT】

唐：一般在學(xué)習(xí)方程之前，我們都要先學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”，方程理論就是“用字母代表數(shù)”嗎？它們之間到底以一種怎樣的關(guān)系。

張：單單用文字代表數(shù)， 還不是代數(shù)。例如加法交換率寫為： a+b = b+a ,雖然也用文字代表數(shù)，卻和代數(shù)思想方法沒有關(guān)系。用文字代表數(shù)，即設(shè)某量為x這樣的做法,只是運(yùn)用代數(shù)方法的第一步。它后面進(jìn)一步的是“式”的運(yùn)算，有“式”參與運(yùn)算就是代數(shù)。所以所謂代數(shù)，就是把文字代表數(shù)往前推一步，可以進(jìn)行“式”的運(yùn)算，最后把問題數(shù)找出來這樣一個(gè)過程全部叫做代數(shù)。代數(shù)思想方法的核心是基于含有x的“式”的運(yùn)算來求得未知數(shù)，最后解決數(shù)學(xué)問題。從數(shù)的運(yùn)算到“式”的運(yùn)算， 是算術(shù)與代數(shù)的根本區(qū)別。 

唐：聽得出來就是從“數(shù)的運(yùn)算”到“式的運(yùn)算”，才是算術(shù)與代數(shù)的根本區(qū)別。這就是說，所謂代數(shù)，需要和方程聯(lián)系在一起。代數(shù)的主要內(nèi)容就是通過文字和數(shù)的運(yùn)算，把方程中的未知數(shù)求出來?！綪PT】

唐：小學(xué)數(shù)學(xué)的“代數(shù)”內(nèi)容就是能夠部分地解出一元一次方程；ax+b=c。至于ax+b=cx＋d這樣的方程小學(xué)里解起來還是有些困難。

張：解一般的一元一次方程的通性通法，需要使用負(fù)數(shù)，沒有了負(fù)數(shù)解方程就不能夠完整的體現(xiàn)出來。但是從我們國家的教學(xué)情況來看，小學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)還是比較困難的，我們現(xiàn)在的課標(biāo)也沒有把負(fù)數(shù)放到小學(xué)教學(xué)的內(nèi)容里面，那我們應(yīng)該怎樣解方程呢？那就是逆向思維的方法。而逆向思維的方法本質(zhì)上又是一種算式思維的方法。用逆向思維解方程，是現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)里應(yīng)該掌握的一部分，接下來就是在中學(xué)里進(jìn)行負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)，然后把方程的全部都解出來。在逆向思維解方程中，要做到適可而止，學(xué)生能通過一些簡單的逆向思維把方程解出來即可，不要搞一些繁難的逆向思維，結(jié)果等到將來這些逆向思維都沒有用。而且當(dāng)學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)之后，解方程就是程式化的，一步步做下來就是了，根本不需要逆向思維，逆向思維太多了，反而會(huì)干擾負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)，所以，我們逆向思維的要求應(yīng)該是適可而止、不要太高。

唐：張老師多次提到適可而止，剛才也講到負(fù)數(shù)的概念，其實(shí)小學(xué)里只是一個(gè)簡單的涉及，但是不參與運(yùn)算，所以解方程是就不能運(yùn)用這方面的知識(shí)了。

其實(shí)對(duì)方程的概念我們也常有爭論，關(guān)于方程概念的爭論也很多。如：x=1。是不是方程？雖然我們說要避免這樣的爭論，但是老師當(dāng)看到試卷上有這樣的問題時(shí)，還是會(huì)為此爭論不休。張老師你如何看這樣的爭論。

張：方程的本意就是要求未知數(shù)，如果ｘ=1，未知數(shù)也求出來了，也就沒有方程的問題了，所以我們也就不需要去爭論這些問題，比如說０×ｘ＝０是不是方程？ｘ－ｘ＝０是不是方程？這樣的問題還有很多，但對(duì)我們學(xué)習(xí)方程知識(shí)是沒有關(guān)系的，所以要把這些形式的問題淡化掉，不要在這些無意義的問題上面進(jìn)行爭論，數(shù)學(xué)上不可能把所有的問題按照邏輯的關(guān)系一一寫出來，因?yàn)槟菢幼龅脑掃^于繁瑣，我們只有抓住方程就是一個(gè)從等式的關(guān)系求未知數(shù)這一主要關(guān)系，其它一些枝節(jié)問題，一些過于形式化的問題則不必過分的關(guān)注。正如西南師范大學(xué)的老校長陳重穆先生所說需要“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”。【PPT】

唐：也就是說，對(duì)于我們教學(xué)來說，我們不要過度的爭論是不是方程，而是要討論怎樣解、會(huì)不會(huì)解這樣的方程。我想我們大家一定要牢記剛才張老師所講的西南師范大學(xué)的老校長陳重穆所講一句話：“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”，這應(yīng)該成為我們數(shù)學(xué)教學(xué)的追求。由于時(shí)間的關(guān)系，這一講就講到這里，謝謝大家。

注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì) 提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)（2）

張奠宙 教授 數(shù)學(xué)教育家 華東師范大學(xué)

唐彩斌 中學(xué)高級(jí)教師 浙江杭州現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究中心

8． 問題解決與應(yīng)用題的教學(xué)

唐：在數(shù)學(xué)新課程改革中，電視機(jī)前的老師會(huì)有很大的困惑，就是以前特別熟悉的應(yīng)用題不見了，取而代之的是解決問題。這兩者有怎樣的聯(lián)系？我們應(yīng)該怎樣來處理傳承與創(chuàng)新之間的關(guān)系？請(qǐng)張老師從數(shù)學(xué)的角度談?wù)勥@兩者之間的關(guān)系。

張：數(shù)學(xué)問題分為兩類，一類稱為純數(shù)學(xué)問題，像歌德巴赫猜想，另一類稱為應(yīng)用問題，像大學(xué)里有應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，可見應(yīng)用問題是客觀存在，似乎不必回避。我們反對(duì)的是過去小學(xué)數(shù)學(xué)中那些“矯揉造作”的遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)，使學(xué)生得不到什么教育的應(yīng)用題。

新的應(yīng)用題， 其情境更有真實(shí)性，方法上強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)模型的建立。條件可以冗余， 數(shù)據(jù)需要取舍， 模型需要建立， 結(jié)果需要驗(yàn)證。 像這一些都是過去的應(yīng)用題所缺乏的。

唐：張老師你也常常提起一個(gè)很典型的例子，就是弗賴登塔爾舉過的一個(gè)例子，你能否再給大家介紹一下。

張：對(duì)，這是我很欣賞的一個(gè)例子，弗賴登塔爾可以說是20世紀(jì)最偉大數(shù)學(xué)教育家，【PPT】弗賴登塔爾有一個(gè)經(jīng)典的問題：“昨夜外星人訪問我校，留下了一個(gè)巨大的手?。▓D）， 今夜他還要來，試問： 我們給他坐的椅子應(yīng)該有多高？他用的新鉛筆應(yīng)該要多長？【PPT】像這樣的問題很現(xiàn)實(shí)，使我們每個(gè)學(xué)生都很感興趣，但是它蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想又非常深刻。尤其是體現(xiàn)比例的思想，通過測量兩只手大小的比值， 按比例放大，將比值用于設(shè)計(jì)椅子高度和鉛筆長度， 這是比、比例、相似等數(shù)學(xué)本質(zhì)的體現(xiàn)。像這樣的問題就和過去的應(yīng)用題有很大的區(qū)別，是我們需要關(guān)注的。

唐：像這樣的問題既具有現(xiàn)實(shí)意義，又包含了很重要的數(shù)學(xué)思想。但說起應(yīng)用題與解決問題，還有一個(gè)著名的“船長問題”不得不讓我們重提。“一條船上有75頭牛， 32頭羊， 問船長幾歲？”。記得這個(gè)題目最早是張教授引進(jìn)國內(nèi)的。那時(shí)是怎樣的一個(gè)背景情況？【PPT】

張：當(dāng)時(shí)我是在一個(gè)國際會(huì)議上面，見到法國的一個(gè)數(shù)學(xué)教育家，他告訴我在1980年前后，他們在法國進(jìn)行調(diào)查。 這本來是一道是不能做的題目，可是在調(diào)查過程中發(fā)現(xiàn)他們學(xué)校的學(xué)生往往能夠做出來，因此法國的教育家說了一句很語重心長的話：“我們的學(xué)校是不是把孩子越教越笨了？”記得那年我們在國內(nèi)也選取一些學(xué)校做實(shí)驗(yàn)，結(jié)果有近90％的學(xué)生得出來答案。學(xué)生都有這樣的思想，就是老師出的題目都是對(duì)的，都是有答案的。

唐：對(duì)，當(dāng)時(shí)我也是看到你的調(diào)查有一些新的啟示，這么多年過去了，現(xiàn)在的情況又是怎樣的呢？所以最近我們又做了一個(gè)調(diào)查，老師們可以看一下屏幕上的表格，我們選擇的調(diào)查對(duì)象既有二、三年級(jí)，也有四、五、六年級(jí)的學(xué)生，老師們可以從數(shù)據(jù)上發(fā)現(xiàn)，有26.7％的學(xué)生是把兩個(gè)數(shù)相加作為船長的年齡，還有45.1％的同學(xué)通過兩個(gè)數(shù)相減得出船長的年齡。也就是說有超過70％的同學(xué)僅僅通過加減算出來答案。20年過去了，張老師當(dāng)你看到這一組數(shù)據(jù)時(shí)是一種什么樣的感覺？

【PPT】

張： 這就是我們在應(yīng)用題方面的一個(gè)缺陷，認(rèn)為什么題目都能算，都有結(jié)果。其實(shí)我們應(yīng)該能夠區(qū)別哪些是數(shù)學(xué)問題，哪些不是數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)問題要求揭示事物內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，牛、羊數(shù)目和船長年齡沒有內(nèi)在的關(guān)系，學(xué)生卻盲目解答，明明不能做的題目，學(xué)生卻非要做，這就值得我們深思了。

唐：或許電視機(jī)前的老師也有這樣的好奇心，你不妨也去做一下這樣的試驗(yàn)，可能結(jié)果和你想象的有很大的不同。我們不展開討論關(guān)于解決問題的教學(xué)，但是我們必須引起重視的是，解決數(shù)學(xué)問題應(yīng)該是重在分析內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系。而這些都是值得我們繼續(xù)研究。

二、圖形與幾何領(lǐng)域問題的討論

1．小學(xué)幾何學(xué)習(xí)內(nèi)容的增加

唐：前面說了這么多數(shù)與代數(shù)的問題，接下來我們把目光轉(zhuǎn)向圖形的領(lǐng)域，在新課程改革過程中，我們發(fā)現(xiàn)在空間與幾何的領(lǐng)域多了一些新的內(nèi)容？也常常出現(xiàn)在一些公開課觀摩課中，看來很受老師們的歡迎。為什么要增加了這些新的內(nèi)容？

張：從大學(xué)數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，幾何可以分成很多內(nèi)容， 具體說來， 有以下5個(gè)方面：首先是直觀幾何學(xué)，就是對(duì)平面圖形，立體圖形的認(rèn)識(shí)；還有一些求面積、體積的問題，屬于度量幾何。在新課標(biāo)以前，小學(xué)數(shù)學(xué)主要包括這兩部分內(nèi)容。后來我們發(fā)現(xiàn)，大學(xué)數(shù)學(xué)的許多問題，它的原始思是想非常簡單，非常樸實(shí)的，和我們小學(xué)生的生活也是密切相關(guān)的，所以后來我們就增加了三個(gè)方面的內(nèi)容。第三就是演繹幾何，比如說垂直，平行，線段，射線這些名詞都屬于演繹幾何的范疇。然后運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)的一些基本的內(nèi)容也加到了當(dāng)中，最后我們發(fā)現(xiàn)在中學(xué)、大學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的解析幾何學(xué)，它的坐標(biāo)的思想也是非常樸實(shí)、簡單，大家所容易接受的，所以我們現(xiàn)在小學(xué)里也有了坐標(biāo)幾何學(xué)的內(nèi)容。總體的看，小學(xué)里包括直觀幾何；度量幾何；演繹幾何學(xué)；運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)；坐標(biāo)幾何學(xué)；這五大塊。從過去的兩塊擴(kuò)大到五塊，擴(kuò)大了我們幾何學(xué)的視野和感受，是十分有意義的改革?！綪PT】

唐：聽了張老師剛才的講解，我有一個(gè)即時(shí)的一個(gè)想法，就是我們小學(xué)數(shù)學(xué)是打基礎(chǔ)的，就像造房子打地基一樣，我們現(xiàn)在把每一個(gè)方面的地基都?jí)旧蟻砹耍瑸樗院蟮膶W(xué)習(xí)打下了更好的基礎(chǔ)。說起這5個(gè)方面的內(nèi)容，再聯(lián)系我們平時(shí)聽到的一些課，我們就不難發(fā)現(xiàn)，如果下次你再聽到比如說不同的角度觀察物體，比如說平移和旋轉(zhuǎn)，比如說確定位置的時(shí)候，就便于把另外幾個(gè)領(lǐng)域的幾何聯(lián)系起來了。不過對(duì)于小學(xué)來說可能還是直觀幾何最為基本。張老師你認(rèn)為直觀幾何學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)是什么？

張：我想小學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中，直觀幾何最根本的或者最核心的內(nèi)容就是用平面來描述立體。因?yàn)槲覀兠總€(gè)人所處的世界的事物都是立體的，但是我們看到的、畫在教科書上的都是平面的；因此，空間圖形平面化，通過平面圖形想象空間物體是直觀幾何的重要內(nèi)容。新課標(biāo)里通過照相機(jī)從“不同角度下拍攝照片”想象物體前后位置就是新增的內(nèi)容。通過三視圖科學(xué)描述簡單對(duì)象， 也是如此。所以說我們通過平面來描述立體的手段越來越多，角度也是多種多樣的?！綪PT】

唐：這樣說來，就大大溝通了現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。我們引導(dǎo)學(xué)生觀察三視圖，就是希望學(xué)生從平面圖形讀出立體的形狀；以培養(yǎng)學(xué)生想象空間的能力。

2．什么是長度、面積、體積

唐：在幾何教學(xué)中，還有一些常見的概念，也常常引起一線教師的爭論，比如什么是長度？什么是面積？什么是體積？

張：人的概念有兩種，一種就是生活中自然形成的，比如說面積、體積，大家都明白，但是要嚴(yán)格的定義卻很困難。你能說說小學(xué)是怎么樣定義這些概念的嗎？ 

唐：小學(xué)教材中一般這樣說：“物體表面或平面封閉圖形的大小叫面積”，這樣是面積的定義嗎？可以嗎？

張：【PPT】小學(xué)教材中“物體表面或平面圖形的大小叫面積”，這些也只是對(duì)面積的描述，不是嚴(yán)格的定義。因?yàn)榭偸窍扔忻娣e定義，才有面積大小。在嚴(yán)格的面積定義里不能出現(xiàn)“大小”的詞匯。但是對(duì)小學(xué)生，不要講究“面積”的嚴(yán)格定義（那是大學(xué)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容）。 我們的任務(wù)是在描述面積和體積之后，著重求一些幾何圖形的面積和體積。

唐：也就是說對(duì)于面積的嚴(yán)格定義不是重要的，重要的是我們的學(xué)生會(huì)不會(huì)求面積。當(dāng)然我們也要知道長度、面積、體積是刻畫圖形大小的度量。幾何學(xué)起源于圖形大小的度量。根據(jù)圖形的維數(shù)，把度量一維圖形大小的數(shù)稱為長度，而將二維圖形的大小用面積來表示，體積則是標(biāo)志三維圖形大小的數(shù)。線段長度是一切度量的出發(fā)點(diǎn)。

知道了關(guān)于面積的定義，我們再來討論面積公式的推導(dǎo)。在常見的平面圖形面積推導(dǎo)的過程中，除了記住面積的計(jì)算公式，還有重要一種數(shù)學(xué)思想方法的滲透：轉(zhuǎn)化思想方法。 例如，求平行四邊形面積化為求矩形面積，把三角形的面積轉(zhuǎn)化為求平行四邊形或矩形面積等，學(xué)習(xí)梯形和圓也是一樣，所有新學(xué)圖形的面積都可以由已學(xué)的圖形面積來推導(dǎo)。這也是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)。這在中國古代應(yīng)該怎樣稱謂。

張：這很重要，這也是中國古代數(shù)學(xué)“出入相補(bǔ)原理”的具體運(yùn)用。這種化歸的方法就是演繹幾何的一部分。就像我們現(xiàn)在從正方形出發(fā)到矩形再到三角形這樣一種化歸的辦法就是一種演繹的推理的方法，是演繹幾何在小學(xué)里的一種表現(xiàn)?，F(xiàn)在我們有一個(gè)明確的說法叫做化歸的思想，這是邏輯框架里面非常重要的一種。在演繹幾何的領(lǐng)域里面，學(xué)好化歸的方法是非常重要的。

3．平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱之間是什么關(guān)系

唐：張老師講到的古代數(shù)學(xué)中的“出入相補(bǔ)原理”一定會(huì)給大家很多的啟示，記得吳文俊老師就講過我們古代數(shù)學(xué)的輝煌，或許有很多在我們小學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中也會(huì)有所體現(xiàn)。剛才張老師所講到思想方法，或許又是值得我們老師探討的一個(gè)新的方面。在我們小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程當(dāng)中，除了知識(shí)和技能以外，我們又滲透率哪些思想方法，是值得我們系列的展開研究和討論的。

唐：在小學(xué)里，為什么要學(xué)習(xí)平移，旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱這些知識(shí)？他們之間有怎樣的關(guān)系？

張：這就是我們剛才所說的第四塊－運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)， 小學(xué)里原來就有運(yùn)動(dòng)。 例如， 平行四邊形面積，通過三角形的運(yùn)動(dòng)， 拼成矩形，這就是平移運(yùn)動(dòng)。面積在平移運(yùn)動(dòng)下面不變，同樣， 矩形旋轉(zhuǎn)90度， 面積也是不變的，這就是面積的特性。所以說運(yùn)動(dòng)對(duì)于我們小學(xué)老師來說并不陌生，大家是經(jīng)常在那里使用的。

唐： 知道了平移和旋轉(zhuǎn)之后，為什么還要談軸對(duì)稱變換呢？這三者之間有沒有一種內(nèi)在的聯(lián)系，能否舉例說明。

張：我想比較詳細(xì)的來說一說這件事情。大家都知道平移和旋轉(zhuǎn)的概念，至于軸對(duì)稱，我想大家也是很熟悉的，軸對(duì)稱的圖形非常漂亮，所以大家都很喜歡軸對(duì)稱的圖形，這里要從數(shù)學(xué)上講一講它的原始的價(jià)值。【PPT】（1）一點(diǎn)到另一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，要知道方向和距離；用平移就能實(shí)現(xiàn)了。（2）如果是兩根一樣長的線段（火柴棒），先將一根火柴移動(dòng)過去，使得火柴頭和火柴頭重合， 但是火柴尾不一定重合， 還得轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)才行。（圖）

（3）如果是兩個(gè)一模一樣的三角形ABC和A’B’C’， 如何看它們運(yùn)動(dòng)過程呢？ 首先，平移運(yùn)動(dòng)使得A和A’重合， 然后轉(zhuǎn)動(dòng)， 使得AB和A’B’重合。 這時(shí)可能三角形已經(jīng)重合了， 也可能不重合，還需要反射一下才行。（圖）

因此， 我們在平面上作運(yùn)動(dòng)， 需要平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱三種不同的變換。【PPT】在小學(xué)里我們要學(xué)習(xí)這三樣?xùn)|西，而這三樣?xùn)|西互相構(gòu)成一個(gè)叫做“剛體運(yùn)動(dòng)”，我們小學(xué)里面接觸它還是很有必要的。

唐：剛在張老師對(duì)這3個(gè)例子的講解，把數(shù)學(xué)發(fā)生的很強(qiáng)的驅(qū)動(dòng)性體現(xiàn)出來了，不知電視機(jī)前的老師是否聽清楚了，我們不妨再來看一下這三幅圖。如果一點(diǎn)到另一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，用平移就能實(shí)現(xiàn)了。如果是兩根一樣長的線段，還得轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)才能重合。如果是兩個(gè)一模一樣的三角形，如何看它們運(yùn)動(dòng)過程呢？ 首先要平移， 然后旋轉(zhuǎn)一下。這時(shí)可能三角形已經(jīng)重合了， 也可能不重合，還需要翻轉(zhuǎn)一下才行。這樣就把平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱聯(lián)系在一起了。這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)有什么作用？

張：因?yàn)檫@是最簡單的運(yùn)動(dòng)，接下來還有“相似運(yùn)動(dòng)”，“投影運(yùn)動(dòng)”等等，平面圖形的很多的證明都需要依賴它。運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)是一門很大的學(xué)問，后續(xù)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容還有很多，但是我們在初步接觸，對(duì)我們開闊幾何的視野，了解幾何的內(nèi)容是很有幫助的。所以新課標(biāo)把它列為小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容是很有見地，很有眼光的。

唐：說起來還是為以后的學(xué)習(xí)打重要的基礎(chǔ)。但是還有一個(gè)概念在我們教學(xué)當(dāng)中也是常常會(huì)碰到的，就是鏡面對(duì)稱是不是軸對(duì)稱圖形？【PPT】

張：我看到有些教材或者材料里面說鏡面對(duì)稱就是軸對(duì)稱，我認(rèn)為不太妥當(dāng)。因?yàn)檩S對(duì)稱都是在同一個(gè)平面當(dāng)中的兩個(gè)圖形，鏡面對(duì)稱的兩個(gè)圖像不在一個(gè)平面內(nèi)，所以不是平面上的軸對(duì)稱圖形。 雖然二者有聯(lián)系，但畢竟是不同的，我們不能混為一談。

唐：對(duì)，就是有聯(lián)系，但是也有區(qū)別。

4．小學(xué)數(shù)學(xué)為什么要滲透平面坐標(biāo)思想

唐：小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)為什么要滲透平面坐標(biāo)思想？從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和地位來看，它有怎樣的地位和作用。

張：各位老師都學(xué)過解析幾何，所以大家都知道笛卡爾發(fā)現(xiàn)解析幾何是數(shù)學(xué)上一個(gè)巨大的進(jìn)步、也是人類歷史上一個(gè)重大的進(jìn)步，所以我們在小學(xué)中加入坐標(biāo)幾何的內(nèi)容是非常正確的。我想笛卡爾的重要貢獻(xiàn)，就是一個(gè)幾何的對(duì)象，他可以用數(shù)來描寫，而數(shù)所滿足的關(guān)系就是方程。我們小學(xué)里面先學(xué)第一步，就是把坐標(biāo)建立起來，并用數(shù)對(duì)（x，y）來表示點(diǎn)。把坐標(biāo)幾何放到小學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，體現(xiàn)了隨著時(shí)代的進(jìn)步，我們小學(xué)數(shù)學(xué)也在發(fā)展。

唐：可能電視機(jī)前的老師對(duì)于解析幾何內(nèi)容慢慢地有些淡忘了，通過張老師這么一說，我們也可以聯(lián)系起我們教過的一些內(nèi)容。比如說在平面坐標(biāo)這個(gè)領(lǐng)域當(dāng)中，確定位置可能是我們首先要學(xué)的。那么我們有的疑問就是坐標(biāo)的核心思想就是確定位置嗎？

張：很多的教案都是到此為止，就是認(rèn)為坐標(biāo)就是確定位置，這是第一步要做的事情。笛卡爾當(dāng)時(shí)發(fā)明坐標(biāo)，并不是單純的表示位置，坐標(biāo)表示位置更多的是地理學(xué)上的應(yīng)用，大家知道，地理學(xué)要求用經(jīng)緯線確定地球表面上的位置，而不是數(shù)學(xué)光要研究的問題。 數(shù)學(xué)課程中用平面坐標(biāo)系確定位置僅僅是學(xué)習(xí)坐標(biāo)系知識(shí)的初步結(jié)果。 更重要的是用坐標(biāo)來表示幾何圖形。【PPT】例如， 兩個(gè)坐標(biāo)一樣的點(diǎn)， 形成一條直線（y=x的圖像）， 兩個(gè)坐標(biāo)都小于或等于10的點(diǎn)， 構(gòu)成一個(gè)邊長為10的正方形等等?！綪PT】所以我們甚至建議，大家在講完坐標(biāo)之后，讓大家說一說兩個(gè)坐標(biāo)都一樣的點(diǎn)是形成一個(gè)怎么樣的幾何圖形，于是發(fā)現(xiàn)它是一條直線或者半直線。也可以問兩個(gè)坐標(biāo)都小于3的是一個(gè)怎樣的圖形啊，那肯定就是一個(gè)正方形。所以不要僅僅停留在用坐標(biāo)確定位置，應(yīng)該稍微的引申開去。

唐：剛在張老師也舉了兩個(gè)例子，我們不妨也看看屏幕上的兩個(gè)例子【PPT】：如果x＝y(tǒng)的圖像就是左邊這幅圖，如果兩個(gè)坐標(biāo)都小于或等于3的，那么他構(gòu)成的是一個(gè)邊長是3的正方形，我想用平面坐標(biāo)不僅能表示位置，而且能表示數(shù)學(xué)的對(duì)象。

三、統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域的問題討論

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與概率有什么關(guān)系

唐：下面的問題有關(guān)統(tǒng)計(jì)與概率的學(xué)習(xí)領(lǐng)域。小學(xué)數(shù)學(xué)一向?qū)y(tǒng)計(jì)并不陌生，以前沒有概率，平均數(shù)、條形統(tǒng)計(jì)圖，折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形圖等等教學(xué)，也都可以順利進(jìn)行。 大家不很清楚的是，為什么統(tǒng)計(jì)要和概率放在一起？

張：統(tǒng)計(jì)和概論在18世紀(jì)以前是沒什么關(guān)系的，后來就發(fā)生了聯(lián)系，大家不知道有沒有注意到在新課標(biāo)中有這樣一條，就是用我們現(xiàn)在的數(shù)據(jù)去估計(jì)和預(yù)測一個(gè)東西。就像天氣預(yù)報(bào)，是用我們過去的知識(shí)，去預(yù)測明天的、不知道的知識(shí)，這就是統(tǒng)計(jì)和概論結(jié)合的地方。就是要我們從一個(gè)局部去推測、預(yù)計(jì)整體，這時(shí)問題就來了，比如局部的推測究竟準(zhǔn)不住啊，能不能代替全部啊。舉例來說，如果只研究本班的情形，統(tǒng)計(jì)我們班上的期中數(shù)學(xué)考試的平均分， 各個(gè)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)，畫直方圖， 那的確和概率沒有關(guān)系。問題在于， 如果本班是我們縣數(shù)學(xué)教研室抓的點(diǎn)，要從本班成績推測全縣小學(xué)5年級(jí)學(xué)生的期中數(shù)學(xué)成績， 那就和概率有關(guān)了。 因?yàn)槲覀儠?huì)問，本班的數(shù)學(xué)成績能夠代表全縣嗎？多大程度上可以代表？在城市的學(xué)校能否代表農(nóng)村？教研試驗(yàn)的點(diǎn)能否代表非實(shí)驗(yàn)的點(diǎn)？這就是一個(gè)“不確定”的隨機(jī)問題了。因?yàn)槲磥硎遣恢赖模w也是不知道的，局部是否具有代表性也是不確定的，所做的估計(jì)只是一種隨機(jī)的現(xiàn)象，這就和概率連在一起了。

唐：對(duì)，本班的數(shù)學(xué)成績確實(shí)能夠代表一部分，但是不能完全代表，那么到底在怎樣的概率意義上能夠代表。

張：這就需要我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)來掌握，小學(xué)里不需要知道這么多。但是我們老師則應(yīng)該具備這樣的知識(shí)。小學(xué)里，只要知道有樣本和總體之間的區(qū)別就可以了。例如下面這一個(gè)例子：

中華人民共和國國家統(tǒng)計(jì)局
關(guān)于1995年全國1％人口抽樣調(diào)查主要數(shù)據(jù)的公報(bào)

（1996年2月15日）

我國于1995年進(jìn)行了全國 l％人口抽樣調(diào)查。這次調(diào)查，在全國30個(gè)省、自治區(qū)、直轄市（未含臺(tái)灣省和港澳地區(qū)，下同）共抽取了1559個(gè)縣級(jí)行政單位、47471個(gè)調(diào)查小區(qū)，共調(diào)查登記了12565594人（含現(xiàn)役軍人），占全國人口總數(shù)的1.04％。1995年我國人口出生率為17.12‰,出生人口2063萬人;【PPT】

抽樣是一種生活的常識(shí)，小學(xué)生要知道抽樣這件事，我們老師給他做一些適當(dāng)?shù)慕忉?，這對(duì)提高我們公民的素質(zhì)是非常有幫助的。所以統(tǒng)計(jì)和概論聯(lián)系起來是我們小學(xué)數(shù)學(xué)向前跨的一步，希望我們大家能夠進(jìn)一步的關(guān)注。

唐：前面講到的這一組數(shù)據(jù)，我想電視機(jī)前的老師的想法一定跟我一樣，小朋友雖然不能科學(xué)完整的來表達(dá)什么是樣本、什么是總體，但看到這組數(shù)據(jù)一定能讀懂其中的意思。說起統(tǒng)計(jì)與概率的聯(lián)系，統(tǒng)計(jì)圖中的直方圖（也就是條型統(tǒng)計(jì)圖）是不是也可以和概率聯(lián)系上呢？

張：是的。我認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)里面的統(tǒng)計(jì)和概論聯(lián)系起來的一個(gè)途徑就是抽樣，這個(gè)我們前面說過了，另一條渠道就是直方圖。例如下面是80名9歲兒童身高的直方圖。將頻數(shù)除以總數(shù)80得頻率圖， 頻率可以在某種意義上代替概率， 所以就和概率聯(lián)系上了。所以這個(gè)直方圖就等于是描述了我們兒童身高的分布，落在127－130的概率是1/4，而小學(xué)數(shù)學(xué)的統(tǒng)計(jì)通過直方圖很容易走到概率的方向，所以小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)有初步的了解，這不但為將來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，也是公民素質(zhì)的重要組成部分。

【PPT】

唐： 張老師的提醒讓我們有了這樣的一種意識(shí)，就是把統(tǒng)計(jì)當(dāng)中的抽樣和條形統(tǒng)計(jì)圖、概率聯(lián)系起來，可能有利于我們后續(xù)的學(xué)習(xí)?？磥恚鳛槔蠋?，我們有時(shí)真的需要居高臨下，盡量多懂一點(diǎn)，才能抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

四、綜合與實(shí)踐活動(dòng)領(lǐng)域問題的討論

1．綜合與實(shí)踐活動(dòng)的特點(diǎn)

唐：一說起這個(gè)活動(dòng)，很多老師的心里就會(huì)感到?jīng)]底，因?yàn)檫@是一個(gè)全新的內(nèi)容，很多問題還在探索之中。我想，如果我們能夠把綜合實(shí)踐活動(dòng)進(jìn)行分類，應(yīng)該會(huì)有助于今后的研究，同時(shí)研究起來目標(biāo)也更明確了。那么張老師你認(rèn)為綜合實(shí)踐活動(dòng)從數(shù)學(xué)的角度可以分為哪幾類？

張：這是一個(gè)新問題，我們的想法也是大家參考，我初步的想法是可以分為5類：第一是綜合應(yīng)用型；第二類是活動(dòng)操作型，就是通過肢體運(yùn)動(dòng)、實(shí)踐操作來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)；第三類是數(shù)學(xué)欣賞型，數(shù)學(xué)不是光做題目，數(shù)學(xué)的美需要大家去欣賞；第四類是數(shù)學(xué)史話型，就是要聯(lián)系到人文、文化；最后一類數(shù)學(xué)素養(yǎng)型，就是課本的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展和提高。

2．綜合與實(shí)踐活動(dòng)案例：

唐：我想這只是一個(gè)初步的分類，不同的分類標(biāo)準(zhǔn)最后的結(jié)果也不盡相同，但是我們的目標(biāo)是一致的，就是把綜合與實(shí)踐活動(dòng)研究的更深入。剛才我們把綜合與實(shí)踐活動(dòng)做了大致的分類，能不能列舉幾個(gè)案例，也便于讓教師實(shí)踐操作。

張：綜合應(yīng)用型還可以細(xì)分為兩種類型，一種是綜合應(yīng)用各種知識(shí)和技能的，案案例一：身份證檢驗(yàn)碼的探索

身份證最后一位是檢驗(yàn)碼， 可以根據(jù)前17位的數(shù)碼算出來。書號(hào)， 超市商品號(hào)都有檢驗(yàn)碼。
身份證前十七位數(shù)字本體碼加權(quán)求和公式

Ai:表示第i位置上的身份證號(hào)碼數(shù)字值
Wi:表示第i位置上的加權(quán)因子Wi: 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2
求第18位檢驗(yàn)碼的具體步驟是：
（1）S = Sum(Ai× Wi), i = 0, ... , 16，先對(duì)前17位數(shù)字的權(quán)求和
（2）計(jì)算模 Y = mod(S, 11)， 即除以11所得的余數(shù)為Y
（3）通過模得到對(duì)應(yīng)的校驗(yàn)碼
Y:     0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
校驗(yàn)碼: 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2

唐：如果有一張身份證的前17位是： 11010519491231002   

第18位是什么？

首先， 將前17位數(shù)字和17個(gè) 權(quán)因子

7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2

    兩兩相乘再作和：

7+9+0+5+0+20+2+9+24+27+7+18+30+5+0+0+4=167.

然后將167除以11，余2， 

根據(jù)對(duì)應(yīng)表， 2對(duì)應(yīng) X

所以這位居民的第18位（檢驗(yàn)碼）是x。

電視機(jī)前的老師和同學(xué)如果有興趣的話也可以自己試一下。

張：綜合應(yīng)用型還有一類就是需要肢體參與的活動(dòng)。

唐：記得張老師介紹過這樣的案例：

案例二： 自制紙飛機(jī)能夠飛多遠(yuǎn)

老師可以組織這樣的活動(dòng)。

操作方法（1）用一張A4紙折飛機(jī)，能夠飛多遠(yuǎn)呢？（2）要比飛的距離？飛幾次比較合適？（3）用哪個(gè)數(shù)代表飛行距離？（4）在機(jī)頭上加上一個(gè)別針，再次測量飛行距離；看看結(jié)果會(huì)是怎樣？（5）加兩個(gè)別針再作試驗(yàn)；（6）分析數(shù)據(jù)，推斷：是不是別針越多越遠(yuǎn)？學(xué)生很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果太重也飛不遠(yuǎn) 。在這樣的過程中，讓學(xué)生去歸納，影響紙飛機(jī)飛行距離的各種因素。在這一活動(dòng)，為了反應(yīng)飛機(jī)飛的距離不斷引發(fā)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題，收集相應(yīng)的數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，做出判斷，是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程。

唐：對(duì)于數(shù)學(xué)欣賞型，我們語文經(jīng)常聽到一些欣賞，數(shù)學(xué)怎么欣賞呢？

張：語文是會(huì)欣賞但不會(huì)做，數(shù)學(xué)是會(huì)做但不會(huì)欣賞，所以   學(xué)會(huì)欣賞也許是我們實(shí)踐活動(dòng)的一個(gè)重要方面。最容易想到的是幾何圖形的美：比如建筑中的美，可以欣賞北京的天安門，澳門的大山巴，也可以是少數(shù)民族的物 件：蒙古的蒙古包，傣族的竹簍，學(xué)生可以直觀地欣賞這些現(xiàn)實(shí)事物中的數(shù)學(xué)美。我們也可以設(shè)計(jì)一些實(shí)踐活動(dòng)，應(yīng)用數(shù)學(xué)的美來解決問題； 

案例三：圓規(guī)畫米老鼠

要求學(xué)生只用圓規(guī)，在方格紙上用圓弧畫一個(gè)米老鼠的頭像。要求學(xué)生寫出圓心的位置，半徑的大小。 

這樣的數(shù)學(xué)美，不是客觀地欣賞， 而是主觀地創(chuàng)造， 所以有特別的美學(xué)價(jià)值。

唐：數(shù)學(xué)美的欣賞是不是都在圖形與幾何的領(lǐng)域？在數(shù)與代數(shù)當(dāng)中有沒有這些欣賞的元素呢？

張：數(shù)與代數(shù)中也有數(shù)學(xué)的美；如果說圖形的美是一種美觀，那么代數(shù)中也有美。比如

案例四：數(shù)學(xué)的和諧美

交換律就很美：

2＋3＝5，1/2×1/3＝1/6, a×b＝b×a；這些算式看起來就和諧。分配律也是和諧的。當(dāng)然1/2＋1/3＝2/5；也很和諧的但它是錯(cuò)的。當(dāng)然這方面的研究還比較少，我希望大家一起來做，來幫助學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)。

唐：有一種欣賞的眼光是很重要的。數(shù)學(xué)史話型有怎樣的案例，哪些數(shù)學(xué)史是容易被學(xué)生所接受的呢？

張：數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的一部分。數(shù)學(xué)是歷史地發(fā)展過來的。我們可以組織學(xué)生在圖書館、網(wǎng)上收集資料，體味數(shù)學(xué)文化的偉大價(jià)值。下面是現(xiàn)代和古代的兩個(gè)案例。

案例五：陳景潤與哥德巴赫猜想：1742年，歌德巴赫寫信給著名數(shù)學(xué)家歐拉，信中提出如下問題：每一個(gè)偶數(shù)n≥6，都是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)p1,p2之和，即n=p1+p2.這就是至今仍未能完全解決這個(gè)世界著名的難題，歌德巴赫猜想。

我國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了（1＋2），在國際數(shù)學(xué)界引起極大反響，離最終目的（1＋1）只有一步之遙。人們對(duì)歌德巴赫猜想的研究，嘔心瀝血奮斗了兩個(gè)世紀(jì)，還差這最艱難的一步。

案例六：認(rèn)識(shí)算盤。珠算已經(jīng)成為我國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)（6月15日剛剛通過），目前正在申報(bào)世界非物質(zhì)遺產(chǎn)。隨著時(shí)代的發(fā)展，人們不會(huì)把它作為一種計(jì)算工具，但是它所蘊(yùn)含的計(jì)數(shù)和位值的思想是留給我們很多啟示的。為什么中國的算盤上面有兩顆珠？它的數(shù)學(xué)意義是什么？

唐：就是不是一定要學(xué)生會(huì)用算盤去計(jì)算，而是讓他了解算盤作為中國的一種傳統(tǒng)文化它的數(shù)學(xué)內(nèi)涵是什么。

唐：數(shù)學(xué)素養(yǎng)型的活動(dòng)案例有哪些？

數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)的內(nèi)容很多， 特別是為了提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，可以組織許多活動(dòng)。在新課標(biāo)新修訂的過程中，就有很多好的案例，例如：

案例七：圖形分類（課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂稿）

例19 

如圖所示，桌上散落著一些扣子，請(qǐng)同學(xué)們想一想可以把這些扣子分成幾類？分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？然后，數(shù)一數(shù)每一類各有多少顆扣子，并用文字、圖畫或表格等方式把結(jié)果記錄下來。

本活動(dòng)的目的是希望學(xué)生能夠清楚，分類是要依賴分類標(biāo)準(zhǔn)的，比如扣子的形狀、扣子的顏色或者扣眼的數(shù)量都可以作為分類的標(biāo)準(zhǔn)，而在不同的分類標(biāo)準(zhǔn)下分類的結(jié)果可能是不同的。本活動(dòng)將有利于培養(yǎng)學(xué)生把握?qǐng)D形的特征、抽象出多個(gè)圖形的共性的能力。另一方面，活動(dòng)還要求學(xué)生運(yùn)用文字、圖畫或表格等方法記錄對(duì)扣子進(jìn)行分類后的結(jié)果，這有利于培養(yǎng)學(xué)生整理數(shù)據(jù)的能力。這個(gè)案例學(xué)生操作起來比較方便，也是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)活動(dòng)。張老師你還有一些別的案例嗎？

張：高年級(jí)學(xué)生不妨試一試張景中院士給我們提供的一個(gè)案例?！綪PT】

案例八：三角比的滲透

把正方形壓扁成菱形，菱形的面積與壓扁的角度有關(guān)；把壓扁后菱形的面積所打的折扣叫做正弦。

如果邊長是1有一個(gè)角為a的菱形的面積叫做角a的正弦，那么平行四邊形的面積＝sinA×a×b。可以引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出三角形等其他平面圖形的面積。

學(xué)生通過自己的觀察， 從邊長為1的正方形，壓扁成菱形的現(xiàn)象出發(fā)，完成一個(gè)數(shù)學(xué)探究的過程。經(jīng)過一些小試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)小學(xué)生很喜歡這樣的活動(dòng)，我想大家不妨也試試看。

唐：或許正是印證了張景中院士一直倡導(dǎo)的“從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)的歷程”。通過張老師的舉例，可以感受得到案例濃濃的數(shù)學(xué)氣息。相信大家一定和我有同樣的體會(huì)，我們不妨來做一個(gè)這樣的小結(jié)。

最后的小結(jié)：

唐：通過今天與張教授的訪談，相信大家一定與我一樣有一種深刻的體會(huì)，我們在教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)的時(shí)候，應(yīng)該“源于教材，高于教材”；就像我們不僅知道0是自然數(shù)還知道為什么是自然數(shù)？知道教材上說的什么是面積，但那并不是嚴(yán)格的定義，而對(duì)于小學(xué)生來說也不需要嚴(yán)格的定義？我們還應(yīng)該“居高臨下，注重本質(zhì)”；就像我們不僅關(guān)注分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義，還關(guān)注分?jǐn)?shù)的商的定義，以及比的定義，分?jǐn)?shù)是一個(gè)新的數(shù)；我們還知道分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是一個(gè)等價(jià)性，在分?jǐn)?shù)的大家庭里，有多種表示的形式。我們還體會(huì)到應(yīng)該“總體把握，做到心中有數(shù)”；正如知道幾何有5種不同方面的幾何， 知道算法多樣化中什么是最為基本的通性通法？還知道為什么概率要和統(tǒng)計(jì)聯(lián)系在一起？與此同時(shí)，我們更感覺到數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該“與時(shí)俱進(jìn)，富有時(shí)代特色”；就象身份證檢驗(yàn)碼，以及圖形的運(yùn)動(dòng)變換，以及富有時(shí)代氣息的問題解決都是不斷提醒我們要有“與時(shí)俱進(jìn)”的眼光來看小學(xué)數(shù)學(xué)?！綪PT】

張：今天的培訓(xùn)就到這里，謝謝大家。

唐：謝謝大家。

作業(yè)：（選擇其中的3個(gè)問題進(jìn)行解答）

1． 說說你對(duì)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的新的理解？

2． 談?wù)勀銓?duì)算法多樣化的新認(rèn)識(shí)？

3． 舉例說明有哪幾種不同的幾何？

4． 用案例說明統(tǒng)計(jì)與概率的結(jié)合；

5． 設(shè)計(jì)一個(gè)有關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)的綜合實(shí)踐活動(dòng)？

6． 提出一些其他的關(guān)乎數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題，與同伴交流。