17.想 法 則
用來說明運(yùn)算規(guī)律(或方法)的文字，叫做法則。
由“一個(gè)分?jǐn)?shù)乘以5，是分子乘以5分母不變”，結(jié)果是分子的5倍比
分子的5－3＝2(倍)是2＋16＝18，分子為18÷2＝9，分母為9×5－2＝43或9×3＋16＝43。
18.想 公 式
證明方法：
以分母a，要加(或減)的數(shù)為
(2)設(shè)分子加上(或減去)的數(shù)為x，分母應(yīng)加上(或減去)的數(shù)為y。
19.想 性 質(zhì)
例1 1992年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題初賽(C)卷題6：有甲、乙兩個(gè)
200÷16＝12.5(倍)。
例2 思考題：三個(gè)最簡真分?jǐn)?shù)，它們的分子是連續(xù)自然數(shù)，分母大于10，且它們最小公分母是60；其中一個(gè)分?jǐn)?shù)的值，等于另兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和。寫出這三個(gè)分?jǐn)?shù)。
由“分母都大于10，且最小公分母是60”，知其分母只能是12、15、20；12、15、30；12、15、60。
由“分子是連續(xù)自然數(shù)”，知分子只能是小于12的自然數(shù)。
滿足題意的三個(gè)分?jǐn)?shù)是
(二)第400個(gè)分?jǐn)?shù)是幾分之幾？
此題特點(diǎn)：
(2)每組分子的排列：
假設(shè)某一組分?jǐn)?shù)的分母是自然數(shù)n，則分子從1遞增到n，再遞減到1。分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)為n＋n－1＝2n－1，即任何一組分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)總是奇數(shù)。
(3)分母數(shù)與分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，正是自然數(shù)與奇數(shù)的對應(yīng)關(guān)系
分母：1、2、3、4、5、……
分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)：1、3、5、7、9、……
(4)每組分?jǐn)?shù)之前(包括這組本身)所有分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)的和，等于這組的組號(hào)(這一組的分母)的平方。
例如，第3組分?jǐn)?shù)前(包括第3組)所有分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)的和是32=9。
或者102=100， 100－12=88。
100－6＝94， 88＋6＝94。
問題(二)：由上述一串分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)的和與組號(hào)的關(guān)系，將400分成某數(shù)的平方，這個(gè)數(shù)就是第400個(gè)分?jǐn)?shù)所在的組數(shù)400＝202，分母也是它。
第400個(gè)分?jǐn)?shù)在第20組分?jǐn)?shù)中，400是這20組分?jǐn)?shù)的和且正好是20的平方無剩余，故可斷定是最后一個(gè)，即
若分解為某數(shù)的平方有剩余，例如，第415個(gè)和385個(gè)分?jǐn)?shù)各是多少。
逆向思考，上述的一串分?jǐn)?shù)中，分母是35的排在第幾到第幾個(gè)？
352－(35×2－1)＋1
?。?225－69＋1＝1157。
排在1157－1225個(gè)的位置上。
20.由規(guī)則想
例如，1989年從小愛數(shù)學(xué)邀請賽試題：接著1989后面寫一串?dāng)?shù)字，寫下的每一個(gè)數(shù)字都是它前面兩個(gè)數(shù)字的乘積的個(gè)位數(shù)字。
例如，8×9＝72，在9后面寫2，9×2＝18，在2后面寫8，……得到一串?dāng)?shù)：1989286……
這串?dāng)?shù)字從1開始往右數(shù)，第1989個(gè)數(shù)字是什么？
先按規(guī)則多計(jì)算幾個(gè)數(shù)字，得1989286884286884……顯然，1989后面的數(shù)總是不斷重復(fù)出現(xiàn)286884，每6個(gè)一組。
(1989－4)÷6＝330……5
最后一組數(shù)接著的五個(gè)數(shù)字是28688，即第1989個(gè)數(shù)字是8。
21.用 規(guī) 律
例1 第六冊P62第14題：選擇“＋、－、×、÷”中的符號(hào)，把下面各題連成算式，使它們的得數(shù)分別等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
(1)2 2 2 2 2＝0
(2)2 2 2 2 2＝1
……
(10)2 2 2 2 2＝9
解這類題的規(guī)律是：
先想用兩、三個(gè)2列出，結(jié)果為0、1、2的基本算式：
2－2＝0，2÷2＝1；
再聯(lián)想2－2÷2＝1，2×2÷2＝2，2÷2＋2＝3，……
每題都有幾種選填方法，這里各介紹一種：
2÷2＋2÷2－2＝0
2÷2×2－2÷2＝1
2－2＋2÷2×2＝2
2×2＋2÷2－2＝3
2×2×2－2－2＝4
2－2÷2＋2×2＝5
2＋2－2＋2×2＝6
2×2×2－2÷2＝7
2÷2×2×2×2＝8
2÷2＋2×2×2＝9
例2 第六冊P63題4：寫出奇妙的得數(shù)
2＋1×9＝
3＋12×9＝
4＋123×9＝
5＋1234×9＝
6＋12345×9＝
得數(shù)依次為11、111、1111、11111、111111。此組算式的特點(diǎn)：
第一個(gè)加數(shù)由2開始，每式依次增加1。第二個(gè)加數(shù)由乘式組成，被乘數(shù)的位數(shù)依次為1、12、123、……繼續(xù)寫下去
7＋123456×9=1111111
8＋1234567×9=11111111
9＋12345678×9＝111111111
10＋123456789×9＝1111111111
11＋1234567900×9=11111111111
12＋12345679011×9=111111111111
……
很自然地想到，可推廣為
(1)當(dāng)n=1、2時(shí)，等式顯然成立。
(2)設(shè)n=k時(shí)，上式正確。當(dāng)n=k＋1時(shí)
k＋1＋123…k×9
=k＋1＋[123…(k－1)×10＋k］×9
=k＋1＋123…(k－1)×9×10＋9k
=[k＋123…(k－1)×9]×10＋1
根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，由(1)、(2)可斷定對于任意的自然數(shù)n，此等式都成立。
例3 牢記下面兩個(gè)規(guī)律，可隨口說出任意一個(gè)自然數(shù)作分母的，所有真分?jǐn)?shù)的和。
(1)奇數(shù)(除1外)作分母的所有真分?jǐn)?shù)的和、是(分母－1)÷2。
=(21－1)÷2=10。
22.巧想條件
例2 一個(gè)整數(shù)與1、2、3，通過加減乘除(可添加括號(hào))組成算式，若結(jié)果為24這個(gè)整數(shù)就是可用的。4、5、6、7、8、9、10中，有幾個(gè)是可用的。
看結(jié)果，想條件，知都是可用的。
4×(1＋2＋3)＝24
(5＋1＋2)×3＝24
6×(3＋2－1)＝24
7×3＋1＋2＝24
8×3÷(2－1)＝24
9×3－1－2＝24
10×2＋1＋3＝24
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