關(guān)于小學(xué)“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的對(duì)話

對(duì)話者：張奠宙  唐彩斌

分?jǐn)?shù)究竟該如何定義

1、：小學(xué)數(shù)學(xué)教材中已經(jīng)根據(jù)這一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了修改。具體的表述是：用0表示“一個(gè)物體也沒(méi)有”所對(duì)應(yīng)的數(shù)。在教學(xué)中，有些老師覺(jué)得把0作為自然數(shù)，不大好接受。

張：這只是習(xí)慣問(wèn)題。0是自然數(shù)有許多理由。首先，人的經(jīng)驗(yàn)是從無(wú)到有。我們常說(shuō)：“從0開(kāi)始”、“零距離接觸”，就表明0是最小的自然數(shù)。再比方說(shuō)，魔術(shù)師總是先交代兩手空空，再變出一只兔子，然后是兩只兔子……鉛筆盒中本來(lái)是空的，然后裝進(jìn)一支鉛筆、兩支鉛筆等等。老子的《道德經(jīng)》里說(shuō)：“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物。”可見(jiàn)，一是由道——一種虛無(wú)的存在而產(chǎn)生的。第二，更重要的是書(shū)寫(xiě)的需要，10的位置記數(shù)寫(xiě)法是10。沒(méi)有0，就寫(xiě)不出10、20、30、100.所以0、1、2……9這10個(gè)數(shù)字是最基本的。第三，0的出現(xiàn)可以保證自然數(shù)集有單位圓a+0=0+a=a。在自然數(shù)5-5=0，如果0不是自然數(shù)，那么5-5豈不是不能減了？

2：通過(guò)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)“100萬(wàn)粒米的體積”，來(lái)認(rèn)識(shí)100萬(wàn)有多大？您怎么看這樣的教學(xué)？

張：數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注度額是100萬(wàn)這個(gè)數(shù)的結(jié)構(gòu)。至于100萬(wàn)粒米有多大，知不知道無(wú)所謂。難道我們還要體驗(yàn)100萬(wàn)顆花生、100萬(wàn)個(gè)籃球有多大？有的文章問(wèn)100萬(wàn)張100圓的人民幣要多大的箱子裝？這不是普通百姓需要的知識(shí)。關(guān)于100萬(wàn)的教學(xué)，主要精力要放在100萬(wàn)的結(jié)構(gòu)，即如何形成100上面。例如：從一個(gè)單位立方體除法，10個(gè)構(gòu)成一排，10排構(gòu)成一個(gè)正方形，10個(gè)正方形疊成一個(gè)立方體即1000.再以這個(gè)立方體作為新單位，10個(gè)一排構(gòu)成萬(wàn)，10排形成新的正方形構(gòu)成10萬(wàn)，最后10個(gè)新正方形構(gòu)成新的立方體就是100萬(wàn)。

3、很多教材這樣定義分?jǐn)?shù)：?jiǎn)挝?平均分為若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。這樣的描述聽(tīng)起來(lái)比較自然，也符合“幾分之幾”的稱呼，因而是引入分?jǐn)?shù)的首選。

張：用分?jǐn)?shù)的定義來(lái)引入分?jǐn)?shù)是非常自然的。但這樣說(shuō)還沒(méi)有體現(xiàn)引進(jìn)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)：分?jǐn)?shù)是一個(gè)不同于自然數(shù)的新數(shù)。分?jǐn)?shù)定義還停留在“幾份”的思考上，還沒(méi)有越出自然數(shù)的范圍。1份、2份是分?jǐn)?shù)還是自然數(shù)？因此必須進(jìn)路愛(ài)過(guò)度到分?jǐn)?shù)的“商”的定義即分?jǐn)?shù)是正整數(shù)a除以正整數(shù)b的商，記作a/b。用a除以b，當(dāng)除得盡時(shí)（整除），答案仍是自然數(shù)，除不盡時(shí)，得到的商就是我們要結(jié)識(shí)的新朋友——分?jǐn)?shù)。這個(gè)概念我們現(xiàn)在注意得不夠，而這恰恰是我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)所在。原來(lái)的自然數(shù)離散地分布在數(shù)射線上，現(xiàn)在的分?jǐn)?shù)密密麻麻的分布在射線上。商的分?jǐn)?shù)的定義比分?jǐn)?shù)的定義要深入一步，體現(xiàn)了引進(jìn)分?jǐn)?shù)的必要性。目前教材只是說(shuō)“分?jǐn)?shù)和除法之間的關(guān)系”，未免不得要領(lǐng)。

分?jǐn)?shù)的第三種定義是比的定義：兩個(gè)自然數(shù)a和b，b不為0，把比值a/b叫做分?jǐn)?shù)。比和除，本來(lái)是一個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)方面，用比的概念之后，分?jǐn)?shù)就可以擴(kuò)大它的應(yīng)用范圍，使我們的視野更廣闊。有個(gè)調(diào)查：組織了100名學(xué)生，分別來(lái)自三、四、六年級(jí)。給他們看屏幕上的一個(gè)圓，這個(gè)圓倍分為4份，其中一份被圖呈藍(lán)色。然后問(wèn)，你看到了哪些分?jǐn)?shù)？想兩分鐘然后盡量寫(xiě)答案。結(jié)果如下：

張：比的定義和原來(lái)份數(shù)的定義是相關(guān)的。份數(shù)的定義是說(shuō)：份數(shù)表示的是一個(gè)整體平均分之后，其中的幾份。從這個(gè)小調(diào)查看出，以整個(gè)圓作為“整體單位”的思維定式還是太強(qiáng)了。不僅是圓可以作為整體，1個(gè)半圓或3/4個(gè)圓也可以是整體。靈活地選擇整體是理解分?jǐn)?shù)的重要一步。作為一個(gè)大學(xué)數(shù)學(xué)教師，看到的是1個(gè)圓里面有1塊藍(lán)、3塊白，它們的比是1：3，首先想到的是1、3.所以，不能把一個(gè)整圓四等分作為一種定式，以至于看不到1塊藍(lán)與3塊白之間的比。比的定義也許和份數(shù)之間的靈活轉(zhuǎn)換有一定的關(guān)系，我也希望老師們能把分?jǐn)?shù)和比的意義連起來(lái)思考。

什么是代數(shù)？

1、《標(biāo)準(zhǔn)》設(shè)置了“數(shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)領(lǐng)域。過(guò)去，在小學(xué)里對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)我們比較熟悉。至于代數(shù)，相對(duì)來(lái)說(shuō)比較陌生一些。怎樣理解代數(shù)？

張：代數(shù)學(xué)的英文名稱是algebra,是9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米一部著作的名稱。愿意是“還原與對(duì)消的科學(xué)”。什么叫對(duì)消呢?大家知道的有正負(fù)對(duì)消，就是解方程時(shí)所謂的移項(xiàng)。所謂還原，就是把本來(lái)淹沒(méi)在方程中的未知數(shù)x暴露出來(lái)，還原了x的本來(lái)面目。所以方程和代數(shù)緊密聯(lián)系在一起。

2、一般在學(xué)習(xí)方程之前，我們都要先學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”。方程理論就是“用字母代表數(shù)”嗎？它們之間到底是一種怎樣的關(guān)系？

張：?jiǎn)螁斡米帜复頂?shù)，還不是代數(shù)。例如，加法交換律為a+b=b+a，雖然也用字母表示數(shù)，卻和代數(shù)的思想方法沒(méi)有關(guān)系。用字母代表數(shù)，即設(shè)某量為x的做法，知識(shí)運(yùn)用代數(shù)方法的第一步。代數(shù)的思想方法，其核心是基于含有x的“式”的運(yùn)算來(lái)求得未知數(shù)，最后解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。從數(shù)的運(yùn)算到“式”的運(yùn)算，實(shí)行對(duì)消和還原，是算術(shù)與代數(shù)的根本區(qū)別。

3、小學(xué)數(shù)學(xué)的“代數(shù)”內(nèi)容就是能夠部分地解出一元一次方程；ax+b=c。至于ax+b=cx+d這樣的方程小學(xué)里解起來(lái)還是有些困難。

張：難在含x的項(xiàng)的合并，即關(guān)于“式”的運(yùn)算。小學(xué)里解方程，用字母代表數(shù)后，主要使用逆向思維進(jìn)行對(duì)消和還原。例如2x-1=5，用逆向思維也可以還原出x=3。中學(xué)里則要引入負(fù)數(shù)、進(jìn)行式的運(yùn)算，用同解概念進(jìn)行對(duì)消和還原，按照程式化的規(guī)則，一步步機(jī)械地做下去就能得到解。那就是代數(shù)思維。這就是說(shuō)，算術(shù)中的逆向思維也有對(duì)消和還原的思想，需要學(xué)習(xí)，但是思維過(guò)程是一題一解，沒(méi)有固定的程式，不能程式化。所以，小學(xué)學(xué)習(xí)逆向思維不要搞得太難。太多了，反而會(huì)干擾未來(lái)方程的學(xué)習(xí)。

4、關(guān)于方程概念的爭(zhēng)論也很多。如x=1，是不是方程？

張：毛病出在“含有未知數(shù)的等式叫方程”。大家都在把它當(dāng)作方程的定義，所以會(huì)出現(xiàn)x=1，0×x=0，x-x=0是不是方程這樣的怪問(wèn)題。其實(shí)，這句話只談了方程的表面，實(shí)在不重要。方程的本質(zhì)是為了求未知數(shù)，在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立一種等式關(guān)系。既然方程的本意就是要求未知數(shù)，如果x=1，未知數(shù)已經(jīng)求出來(lái)了，也就沒(méi)有方程的問(wèn)題了。這類問(wèn)題與我們學(xué)習(xí)方程知識(shí)沒(méi)有關(guān)系，應(yīng)當(dāng)?shù)?。正如西南師范大學(xué)的老校長(zhǎng)陳重穆先生所說(shuō)，需要“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”。

解決問(wèn)題與應(yīng)用題是什么關(guān)系？

1、在數(shù)學(xué)新課程中，以前特別熟悉的應(yīng)用題不見(jiàn)了，取而代之的是解決問(wèn)題。請(qǐng)張老師從數(shù)學(xué)的角度談?wù)勥@兩者之間的關(guān)系。

張：數(shù)學(xué)問(wèn)題可以有多種分類方法。例如，可以分為常規(guī)的練習(xí)題和非常規(guī)的探究性問(wèn)題。通常所說(shuō)的“解決問(wèn)題”則比較關(guān)注非常規(guī)問(wèn)題。另外，還可以分為純數(shù)學(xué)問(wèn)題和應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題。像歌德巴赫猜想這樣的純數(shù)學(xué)問(wèn)題，來(lái)源于數(shù)學(xué)內(nèi)部；至于“神舟7號(hào)“飛行軌道的計(jì)算問(wèn)題，則屬于應(yīng)用問(wèn)題，來(lái)源于顯示生活中各行各業(yè)所涉及的數(shù)量關(guān)系。

小學(xué)數(shù)學(xué)里的應(yīng)用問(wèn)題是客觀存在的，似乎不必回避。應(yīng)用題可以改進(jìn)，卻不能取消。我們反對(duì)的是過(guò)去小學(xué)數(shù)學(xué)中哪種矯揉造作、遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)、缺乏教育價(jià)值的應(yīng)用題。新的應(yīng)用題，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)模型的建立，問(wèn)題的條件可以冗余，數(shù)據(jù)需要取舍，模型需要建立，結(jié)果需要驗(yàn)證，值得提倡。

2、您常常提起20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾舉過(guò)的一個(gè)例子：“昨夜外星人訪問(wèn)我校，留下一個(gè)巨大的手?。▓D），今夜他還要來(lái)，試問(wèn)：我們給他坐的椅子應(yīng)該有多高？他用的新鉛筆應(yīng)該要多長(zhǎng)？“這個(gè)問(wèn)題是應(yīng)用題嗎？

張：我認(rèn)為是好的應(yīng)用題。首先，這是一個(gè)學(xué)生喜歡的題材，雖然不是實(shí)際發(fā)生的問(wèn)題，卻是可以領(lǐng)會(huì)理解的情境。正如雞兔同籠問(wèn)題一樣，是一種好的數(shù)學(xué)模型。其次，它蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想，非常深刻地體現(xiàn)了比例的思想。學(xué)生通過(guò)測(cè)量巨人的手和自己的手的大小比值，然后按比例放大，將比值用于設(shè)計(jì)椅子高度和鉛筆長(zhǎng)度。這是比、比例、相似等數(shù)學(xué)本質(zhì)的體現(xiàn)。再如，日本有一堂公開(kāi)課，內(nèi)容是要求學(xué)生在一塊舉行場(chǎng)地上設(shè)計(jì)花壇，使得花壇的面積為場(chǎng)地的一半。這是數(shù)學(xué)和藝術(shù)相結(jié)合的應(yīng)用題。類似的問(wèn)題就和過(guò)去的應(yīng)用題有很大的區(qū)別，是我們需要關(guān)注的。

小學(xué)幾何內(nèi)容為什么要增加？

1、新課程在空間與圖形領(lǐng)域增加了一些新的內(nèi)容，從您的角度看，為什么要增加呢？

張：幾何學(xué)的內(nèi)容很豐富。首先是直觀幾何，就是對(duì)平面圖形、立體圖形的認(rèn)識(shí)；其次是一些求面積、體積的問(wèn)題，屬于度量幾何。在實(shí)施新課程以前，小學(xué)數(shù)學(xué)主要包括這兩部分內(nèi)容。后來(lái)我們發(fā)現(xiàn)，大學(xué)數(shù)學(xué)的許多問(wèn)題，它的原始思想非常簡(jiǎn)單、非常樸實(shí)又非常重要的。于是就增加了以下三個(gè)方面的內(nèi)容。第一是演繹幾何，比如說(shuō)處置、平行、線段、射線這些名詞都屬于演繹幾何的范疇。第二是運(yùn)動(dòng)幾何，如平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱，是小學(xué)生需要和可以接受的內(nèi)容。第三是坐標(biāo)幾何?？傮w來(lái)看，現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)里的幾何學(xué)，包括直觀幾何、度量幾何、演繹幾何、運(yùn)動(dòng)幾何、坐標(biāo)幾何這五大塊。從過(guò)去的兩塊擴(kuò)大到五塊，擴(kuò)大了我們幾何學(xué)的視野，豐富了我們對(duì)幾何學(xué)的感受，是十分有意義的改革。

2、不過(guò)與對(duì)小學(xué)來(lái)說(shuō)可能還是直觀幾何最為基本。張老師您認(rèn)為直觀幾何學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)是什么？

張：小學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中，直觀幾何最根本的或者最核心的內(nèi)容就是用平面來(lái)描述立體。事實(shí)上我們生活的空間是三維的，接觸的物體是立體的，但是留在眼睛視網(wǎng)膜上的、畫(huà)在教科書(shū)上的都是平面的；因此，空間圖形平面化，通過(guò)平面圖形想象空間物體是直觀幾何的重要內(nèi)容。新課程的教材中，通過(guò)照相機(jī)從不同角度下拍攝照片，通過(guò)三視圖科學(xué)描述簡(jiǎn)單對(duì)象，都是要用平面圖形描寫(xiě)立體事物。

3、小學(xué)教材中大都這樣表述面積和體積：“物體表面或平面圖形的大小叫面積”，“物體占有空間的大小叫做體積。”這是它們的定義嗎？

張：這些只是對(duì)面積、體積的描述，不是嚴(yán)格的定義。因?yàn)榭偸窍扔忻娣e、體積的定義，才能談大小。在嚴(yán)格的定義里不能出現(xiàn)“大小“的詞匯。人的概念有兩種，一種就是生活中自然形成的，比如說(shuō)面積、體積，大家都明白，不必給出嚴(yán)格的定義（那是大學(xué)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容）。現(xiàn)在的教材上，把體積說(shuō)成“占有空間的大小”，要學(xué)生記住，實(shí)在是沒(méi)有必要。事實(shí)上，要理解“空間”，比理解體積更困難。這說(shuō)明對(duì)于這類定義不要太當(dāng)真。在小學(xué)里，學(xué)生頭腦里的體積直覺(jué)已經(jīng)夠用了。

4、在課堂上，我們會(huì)看到類似“排水法測(cè)土豆的體積”案例。

張：那是物理方法。數(shù)學(xué)上可以運(yùn)用，做一些教學(xué)實(shí)驗(yàn)。但是，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是如何“計(jì)算”某些圖形的面積和體積。注意是找出“計(jì)算”的方法和公式，并不是一味地度量。面積的嚴(yán)密定義是“一些集合類上定義的有限可加、運(yùn)動(dòng)不變、單位正方形面積為1的集合函數(shù)”。這是大學(xué)里研究的問(wèn)題。但是在小學(xué)課堂上，要讓小學(xué)生體會(huì)面積、體積的一些特征：例如可以演示，不相交的兩圖形合并后面積是兩圖形面積之和，圖形搬來(lái)搬去，其面積不變，進(jìn)而可以用單位正方形的割補(bǔ)、拼接去度量復(fù)雜的圖形面積，等等。

5、小學(xué)數(shù)學(xué)為什么要滲透平面坐標(biāo)思想？坐標(biāo)的核心是確定位置嗎？

張：很多的教案都這樣說(shuō)，其實(shí)不準(zhǔn)確。學(xué)習(xí)坐標(biāo)確定位置，好像用經(jīng)緯線確定地球表面上的位置一樣，是地理學(xué)的研究目標(biāo)。數(shù)學(xué)課程中更重要的是用坐標(biāo)來(lái)表示幾何圖形。例如，兩個(gè)坐標(biāo)都是一樣的點(diǎn)（y=x）；每一個(gè)坐標(biāo)為1的點(diǎn)（x=1），等等，都能表示一類直線。同樣也可以用坐標(biāo)描繪一個(gè)矩形的“熊貓館”。