百折千回恒成立
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文 | 楊春波
恒成立問題是高中數(shù)學的重要題型，在高考中常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式結(jié)合以壓軸題的身份出現(xiàn)，是整個高中教學的重點，也是難點。
已知某含參的函數(shù)不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍是高中的一類熱點問題，這類問題的處理思路大致有兩種：一種是分離參數(shù)，再去求分離后所得不含參函數(shù)的最值；另一種是直接去處理這個函數(shù)，為了得到含參函數(shù)的最值，往往需要對參數(shù)進行分類，去討論單調(diào)性與最值。
很多問題在兩種思路的處理難度上差別不大——兩種方法均可，但有些問題其中一種思路明顯優(yōu)于另一種思路，甚至只有一種思路可行，這需要大家解題時先觀察判斷，解完題后多思考總結(jié)。
筆者近日發(fā)現(xiàn)2016年高考四川卷理科數(shù)學第21題是一道不可多得的恒成立問題，值得細細品味。它就像一瓶陳釀老酒，越品越香，越咂味越濃。此題第（Ⅱ）問難度不低，筆者的求解過程也是曲曲折折，反反復(fù)復(fù)，最終收獲了不少解題感悟，與讀者分享如下。
一
試題呈現(xiàn)
二
分析與解
第（Ⅰ）問較常規(guī)，只是求導(dǎo)之后別忘記定義域就好。
下面用“含參分類討論”和“參變量分離”的方法逐一試之。
2.1 直接移項，含參分類討論
于是，必有a>0！但這又該如何處理呢？多項式和指數(shù)型混雜在一起的感覺很棘手。
2.2 參變量分離
2.3 逼上梁山
兩次等價轉(zhuǎn)化均以失敗告終，被逼無奈，只能另謀出路。吸取剛才的教訓：總是因為函數(shù)結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜而草草收場。
每一次求導(dǎo)之后，導(dǎo)函數(shù)的符號都不易判定？右側(cè)這個函數(shù)竟如此詭異，讓人捉摸不透。
2.4 善于聯(lián)想
2.5?再次投入分類討論的懷抱
三
解題啟示
以上解題過程百折千回，從中我們至少可以獲得以下啟示：
1
遇到問題，先試常規(guī)思路。如本題面對恒成立問題，先嘗試了兩種等價轉(zhuǎn)化方法——含參分類討論和參變量分離。如若行不通，則考慮調(diào)轉(zhuǎn)思路。解題要學會變通。
2
與其望題興嘆，不如勇敢嘗試。大多數(shù)嘗試都是有價值的，即使失敗的方法也能為我們提供點滴線索。如本題中參變量分離的方法幫我們確定了最終答案的形式，這在最后的分類討論里，指導(dǎo)我們由求解a的取值范圍轉(zhuǎn)向證明a≥1/2符合題意。明確目標之后，解題會變得順暢。
3
多積累掌握一些經(jīng)典結(jié)論，做題時才能觸發(fā)靈感，廣泛聯(lián)系。
4
不等式放縮很靈活，沒有定式、定法，技巧性較強。只有不斷練習，多次嘗試，才能領(lǐng)悟深刻。放縮的方式也并不唯一，有時還可轉(zhuǎn)向函數(shù)視角求最值，從而避免放縮過頭。本題中，當a≥1/2時，我們尋找到了證明F′(x)>0的三種放縮方式，雖然大同小異，但也各有千秋，望讀者細心體會。
5
解題時要瞻前顧后，綜合考慮多種方法。沒有哪種方法是萬能的，是包解百題的。高考壓軸題往往是綜合了多種方法和策略的，切忌過分迷戀一種方法，幻想一招制敵。
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