一題多解之“九九歸一” （2013內(nèi)江）在半圓中，AB為直徑，AD平分∠CAB，AC=3，AB=5，求AD的長(zhǎng).
分析：此題已知條件簡(jiǎn)單，但是卻非常經(jīng)典，一題多解，精彩無比。
點(diǎn)評(píng)：由AD是角平分線，得D是弧BC的中點(diǎn)，聯(lián)想到垂徑定理，連OD，得BC的垂直平分線，再利用中位線、半徑等線段之間的數(shù)量關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)至Rt△FBD中，求出BD的長(zhǎng)，再回到Rt△ABD中，求出AD的長(zhǎng)。方法一構(gòu)造輔助線的初衷，來自角平分線在圓中可以得弧的中點(diǎn)，這是題眼。
點(diǎn)評(píng)：方法二和方法四構(gòu)造輔助線，都是由角平分線上一點(diǎn)作角兩邊的垂線，這是角平分線性質(zhì)的應(yīng)用。方法三和方法五構(gòu)造的輔助線，是角平分線對(duì)稱性的基本圖形。方法三，由垂直于角平分線的線段入手，延長(zhǎng)BD與角的另一邊相交于點(diǎn)E，得等腰△EAB；方法五，是在角的一邊AB上截長(zhǎng)補(bǔ)短，使AE=AC，構(gòu)造三角形的全等。從方法二到方法五，都是利用角平分的基本性質(zhì)構(gòu)造輔助線，是對(duì)角平分的三個(gè)基本圖的應(yīng)用。
點(diǎn)評(píng)：方法六的輔助線做法來自對(duì)角互補(bǔ)圖。一條角平分線、一組鄰邊相等、對(duì)角互補(bǔ)（圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)），這三個(gè)信息正好是對(duì)角互補(bǔ)圖的內(nèi)容，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等可破解對(duì)角互補(bǔ)圖！
點(diǎn)評(píng)：方法四、方法六和方法七都屬于三角函數(shù)“半倍角”構(gòu)造法的應(yīng)用。方法四由角平分線作角兩邊的垂線，根據(jù)全等得出線段之間的數(shù)量關(guān)系，將問題集中到Rt△EFB中，利用勾股定理列方程求解，從而得到半角∠DAB的三角函數(shù)值，從而求出AD的長(zhǎng)；方法六利用等腰三角形轉(zhuǎn)化倍角和半角之間的三角函數(shù)值，從倍角∠CAB處，在CA的延長(zhǎng)線上截AE=AB，得等腰△BAE，在Rt△BCE中，得出半角∠CEB的三角函數(shù)值，再回到Rt△DAB中，求出AD的值；方法七，利用旋轉(zhuǎn)全等，得到等腰三角形，從而得出半角的三角函數(shù)值。方法六和方法七中，構(gòu)造等腰三角形，是三角函數(shù)“半倍角”構(gòu)造法的常用手段。
點(diǎn)評(píng)：方法九的輔助線構(gòu)造法很巧妙，由等腰三角和角平分線兩個(gè)條件，聯(lián)想到了OD∥AC，這是在學(xué)習(xí)等腰三角形時(shí)積累的課外知識(shí)。平行線的發(fā)現(xiàn)，是此題的題眼，從而利用垂徑定理構(gòu)造矩形，利用等線段的替換，將問題集中到Rt△FAD中，求出AD的長(zhǎng)。
總 評(píng)
（1）介紹下此題的背景。此題原型出自北師版教材，2013年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)試卷上出現(xiàn)此題，由于反響極好，14年武漢市將此題引入當(dāng)年中考，16年湖南省常德市中考也將此題的改編版。此題解法非常多，可以從多角度解讀，也可靈活的考察學(xué)生對(duì)幾何性質(zhì)的掌握及運(yùn)用，是一道好題，絕對(duì)值得研究。
（2）一題多解并非炫技，而是通過一題多解，探究幾何學(xué)習(xí)的本質(zhì)：萬變不離其宗，根據(jù)已知條件，利用幾何性質(zhì)、基本圖形，構(gòu)造輔助線，將問題轉(zhuǎn)化解決。此題解法絕不止9種，筆者之所以選擇9種典型代表方法，取名“九九歸一”，表達(dá)無論題目如何變化，根據(jù)課本基礎(chǔ)知識(shí)、重要基本圖形，構(gòu)造輔助線的幾何本質(zhì)始終不變之意。
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