原題重現(xiàn)：（來(lái)源：高郵市贊化學(xué)校九年級(jí)數(shù)學(xué)自主練習(xí)，江都一模壓軸）
如圖1，二次函數(shù)y=mx^2+(m^2-m)x-2m+1的圖像與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1.
（1）求二次函數(shù)的解析式及A、B的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P（0，t）（t<>
（3）在（2）的條件下，連接AD、AE，若點(diǎn)M是該二次函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，且∠DAE=∠MCB，求點(diǎn)M的坐標(biāo).
簡(jiǎn)析：（1）利用二次函數(shù)頂點(diǎn)公式易知m=-1，故二次函數(shù)的解析式為y＝-x^2＋2x＋3，且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（3，0），不再詳述；
（2）點(diǎn)P（0，t）（t<>
第一步：畫(huà)出符合題意的草圖，如圖2所示；
第二步：分析草圖2會(huì)發(fā)現(xiàn)隱藏著一個(gè)等腰Rt△PQE，“見(jiàn)等腰直角三角形，造K字型全等”，如圖3所示，注意這里的PF=QR=-t>0，再利用“平移公式”得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-t，t+5）；
第三步：“有點(diǎn)即代入”，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)得t+5＝-（-t）^2＋2（-t）＋3，解得t=-1或-2，又因?yàn)閠<>
解題后反思：本題中“見(jiàn)等腰直角三角形，造K字型全等”（類(lèi)比“見(jiàn)直角三角形，造K字型相似”）是一個(gè)極其重要的基本圖形與解題思路，在中考里應(yīng)用非常廣泛，值得同學(xué)們反復(fù)推敲，這是本文中“K字型”的第一次“生花”！
再來(lái)看最后一問(wèn)：
（3）這是一個(gè)有關(guān)角的存在性問(wèn)題，可以采用“抓不變量”的審題策略結(jié)合“確定性思想”去認(rèn)真讀讀題目、理解題意：與∠DAE相關(guān)的三個(gè)點(diǎn)A、D、E都是確定的，因此∠DAE也是一個(gè)確定的角，“既然是確定的，一定是可解的”，∠DAE的三角函數(shù)值一定可求；這樣與其相等的∠MCB的大小也是隨之確定的，而與∠MCB相關(guān)的兩個(gè)點(diǎn)C、B都是確定的點(diǎn)，現(xiàn)在需要尋找的就是第三個(gè)點(diǎn)M，它也一定是確定的，肯定可解；
用這些“確定性思想”去分析問(wèn)題，結(jié)合“不變的背景（或框架）”去尋找符合題意的目標(biāo)，這種最基本也是最自然的分析方式值得同學(xué)們用心學(xué)習(xí)并加以運(yùn)用；
回到本問(wèn)的解答中，主要分以下幾步“庖丁解牛”：
第一步：如圖4所示，什么事也不干，就先按題目要求連接AD、AE，然后去認(rèn)真分析∠DAE，想辦法求出其三角函數(shù)值，解出此角；
相不相信，∠DAE所在的△DAE會(huì)是一個(gè)特殊的三角形，很有可能是直角三角形額，如圖5那樣；
做數(shù)學(xué)題就是需要大膽而心細(xì)，大膽地去猜，但又不是毫無(wú)依據(jù)地瞎猜；細(xì)心地去推理證明剛剛的猜想，“瞎想與遐想”有時(shí)候真的很重要，這是一種重要的數(shù)學(xué)感性意識(shí)；
第二步：驗(yàn)證△DAE是個(gè)直角三角形，進(jìn)而得到∠DAE的三角函數(shù)值，如tan∠DAE；
多數(shù)同學(xué)第一反應(yīng)都會(huì)用勾股定理去驗(yàn)證△DAE是個(gè)直角三角形，這不失為一種好方法，但三個(gè)邊長(zhǎng)均屬于“斜”邊長(zhǎng)，計(jì)算稍顯麻煩，下面筆者采用另一種解法去驗(yàn)證△DAE是個(gè)直角三角形，而且順帶求出tan∠DAE=1/3；
前文我們有提過(guò)“見(jiàn)直角三角形，造K字型相似”，這里我們變通為“證直角三角形，造K字型相似”，如圖6所示，依托于△DAE的各頂點(diǎn)作“水平—豎直輔助線(xiàn)”得Rt△DGE及Rt△EHA，若能證明這兩個(gè)確定的直角三角形相似，則就能通過(guò)導(dǎo)角得到∠DEA為直角；
事實(shí)上，這兩個(gè)直角三角形都是等腰直角三角形，可以通過(guò)普適地“相似法”導(dǎo)角得直角∠DEA，也可以抓住這里的“特殊性”，即∠DEG=∠AEH=45°輕松得到∠DEA為直角，且無(wú)論是通過(guò)相似還是通過(guò)求邊都可導(dǎo)出tan∠DAE=1/3；
值得一提的是，這一步是本文中“K字型”的第二次“生花”！有趣的是，這里是通過(guò)構(gòu)造“K字型”相似來(lái)證明直角三角形，另外有時(shí)候若需要證明等腰直角三角形的話(huà)，也可以通過(guò)構(gòu)造“K字型全等”輔助線(xiàn)來(lái)完成，是一種重要的思路方法；
第三步：確定tan∠DAE=1/3后，與之相等的∠MCB的大小也就隨之確定了，接下來(lái)就要依托確定的邊CB先畫(huà)出符合題意的∠MCB，很明顯符合條件的點(diǎn)M有兩個(gè)，如圖7所示，這里存在兩種情況，希望同學(xué)們一下子就要想到，這樣的幾何直觀極其重要；
接下來(lái)就是分別去求找到的點(diǎn)M了，目標(biāo)既然已經(jīng)確定，那就要堅(jiān)定方向，矢志不渝地去集中全力去思考，下面看筆者如何“玩轉(zhuǎn)任意角”獨(dú)步天下，這一點(diǎn)其實(shí)在本人作品《廣猛說(shuō)題系列之由一道月考題談通性通法與特事特辦、由玩轉(zhuǎn)45度到玩轉(zhuǎn)任意角》中曾重點(diǎn)提及過(guò)，有興趣的同學(xué)可拿來(lái)溫故一下；
第四步：前面已經(jīng)得到tan∠M1CB=1/3，如圖8所示，依托這個(gè)確定的∠M1CB，過(guò)已知點(diǎn)B作BN⊥CM1交CM1于點(diǎn)N，構(gòu)造出Rt△BCN；
值得一提的是，這里將已知點(diǎn)B作成直角頂點(diǎn)，值得同學(xué)們關(guān)注，這樣構(gòu)造才能真正實(shí)現(xiàn)口算，是構(gòu)造直角三角形這一步的精髓所在；
第五步：造出確定的Rt△BCN后，“見(jiàn)直角三角形，造K字型相似”再次發(fā)揮用武之地，如圖9所示，易知Rt△BCG∽R(shí)t△NBH，且其相似比為3，這里tan∠M1CB=1/3提供的就是所需相似比，從而得N（2，-1）；
然后利用點(diǎn)C、N兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線(xiàn)CM1的解析式，再與拋物線(xiàn)聯(lián)立解方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出所要尋找的第一個(gè)點(diǎn)M1的坐標(biāo)，不再詳述；
這一步是本文中“K字型”的第三次“生花”！有趣的是，這里的直角三角形不是已知、也不是所求，而是依托于題目中已經(jīng)確定的某個(gè)角構(gòu)造出來(lái)的，筆者稱(chēng)這個(gè)過(guò)程為“玩轉(zhuǎn)任意（確定）角”，瞧，很有趣吧！
第六步：Once again（再來(lái)一遍）！如圖10所示，先依托確定的∠M2CB，過(guò)已知點(diǎn)B作BN⊥CM2交CM2于點(diǎn)N，構(gòu)造出Rt△BCN；
“見(jiàn)直角三角形，造K字型相似”，如圖10，易知Rt△BCO∽R(shí)t△NBG，且其相似比為3，這里tan∠M2CB=1/3提供的就是所需相似比，從而得N（4，1）；
然后利用點(diǎn)C、N兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線(xiàn)CM2的解析式，再與拋物線(xiàn)聯(lián)立解方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出所要尋找的第二個(gè)點(diǎn)M2的坐標(biāo)，不再詳述；
這一步是本文中“K字型”的第四次“生花”！“玩轉(zhuǎn)任意（確定）角”獨(dú)步天下也并非浪得虛名?。?/strong>
至此本題已經(jīng)得到完美解答，筆者通過(guò)直角三角形，包括已知直角三角形、證明直角三角形甚至于先構(gòu)造出直角三角形，讓“K字型”基本圖形遍地生花，也期盼在同學(xué)們心里結(jié)滿(mǎn)了果！另，同學(xué)們?nèi)艟毘伞巴孓D(zhuǎn)任意（確定）角”之功夫，就可以獨(dú)步天下、笑傲江湖啦！
對(duì)于最后一問(wèn)，筆者不甘就此停筆，繼續(xù)反思后，又尋到一種通解通法，而且正符合一些解題高手?jǐn)?shù)學(xué)探究情懷的味口，現(xiàn)介紹如下，同學(xué)們“慎讀”：
還記得前兩天本人作品《廣猛說(shuō)題系列之以?xún)傻佬☆}的解題后反思趣談構(gòu)造法之神奇》中，當(dāng)你需要處理兩個(gè)確定的角的和差倍分之間的關(guān)系時(shí)，往往可以構(gòu)造一個(gè)神奇的“矩形模型”另行處理；
《廣猛說(shuō)題系列之以?xún)傻佬☆}的解題后反思趣談構(gòu)造法之神奇》一文中最后提及了兩個(gè)基本的構(gòu)造類(lèi)型，其他的所有類(lèi)型幾乎都可以轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)基本類(lèi)型，現(xiàn)摘錄如下，以便強(qiáng)化理解與記憶（這里的圖序號(hào)與本文可能不一致，不影響閱讀）：
回到本文的最后一問(wèn)上，如圖11所示，由前面的分析tan∠BCM=1/3知∠BCM是確定的，又易知∠BCO=45°也是確定的，從而這兩個(gè)角的和∠OCN2與差∠OCN1也是確定的，既然是確定的，肯定是可解的，只要能求出tan∠OCN2與tan∠OCN1的值即可輕松求出相應(yīng)的CM的解析式，從而解決問(wèn)題；
問(wèn)題就在于怎么求tan∠OCN2與tan∠OCN1的值呢？這正是上面我摘錄的兩個(gè)基本類(lèi)型所能解決的拿手好戲啊，下面筆者另起爐灶處理解決；
先求tan∠OCN2，其中∠OCN2=45°+∠BCN2，這里要處理的是兩個(gè)確定角之和的三角函數(shù)值，具體構(gòu)造如下：
第一步：如圖12所示，構(gòu)造一個(gè)含45°的等腰Rt△BOC；
第二步：如圖13所示，依托Rt△BOC的斜邊CB再造一個(gè)“背靠背”的含銳角β的Rt△BCN，其中tanβ=tan∠BCN2=1/3，則圖13中構(gòu)造的∠OCN就等于圖11中的∠OCN2；
第三步：如圖14所示，依托中間的“斜置”Rt△BCN構(gòu)造“K字型相似”，并補(bǔ)成矩形OCGH，即過(guò)Rt△BCN的三個(gè)頂點(diǎn)作“水平—豎直輔助線(xiàn)”，“改斜歸正”得出Rt△BOC∽R(shí)t△NHB，且其相似比為3；
第四步：鎖定Rt△CNG，利用“巧設(shè)”，求出tan∠OCN=tan∠CNG=2的值即可；
第五步：回到圖11中，tan∠OCN2=2，則N2的坐標(biāo)為（6，0），然后利用點(diǎn)C、N2兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線(xiàn)CM2的解析式，再與拋物線(xiàn)聯(lián)立解方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出所要尋找的點(diǎn)M2的坐標(biāo)，不再贅述；
Once again（再來(lái)一遍）！下面求圖11中的tan∠OCN1的值，其中∠OCN1=45°-∠BCN1，這里要處理的是兩個(gè)確定角之差的三角函數(shù)值，具體構(gòu)造如下：
第一步：如圖15所示，構(gòu)造一個(gè)含45°的等腰Rt△BOC；
第二步：如圖16所示，依托Rt△BOC的斜邊CB再造一個(gè)“背靠背”的含銳角β的Rt△BCN，其中tanβ=tan∠BCN1=1/3；
第三步：如圖17所示，依托中間的“斜置”Rt△BCN構(gòu)造“K字型相似”，并補(bǔ)成矩形OBGH，即過(guò)Rt△BCN的三個(gè)頂點(diǎn)作“水平—豎直輔助線(xiàn)”，“改斜歸正”得出Rt△BOC∽R(shí)t△CHN，且其相似比為3；
第四步：鎖定Rt△BNG，其中∠NBG=45°-β=∠OCN1（見(jiàn)圖11），利用“巧設(shè)”，求出tan∠NBG=1/2的值即可；
第五步：回到圖11中，tan∠OCN1=1/2，則N1的坐標(biāo)為（3/2，0），然后利用點(diǎn)C、N1兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線(xiàn)CM1的解析式，再與拋物線(xiàn)聯(lián)立解方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出所要尋找的點(diǎn)M1的坐標(biāo)，不再贅述；
兩角和與差的構(gòu)造，有趣吧！這里我們用初中人人都能看懂的構(gòu)造法，解決了高中學(xué)生所能掌握的公式，仁者見(jiàn)仁智者見(jiàn)智，好與不好在于學(xué)生，對(duì)于能接受的學(xué)生并且能運(yùn)用于平時(shí)的解題中，這肯定是大好事，因?yàn)橛械臅r(shí)候，我們用最自然的“確定性思想”思考問(wèn)題時(shí)，很容易遇到這些“障礙”，掌握了今天的構(gòu)造法，你就可以輕松掃除障礙，掌握不了還可以去尋找其他方法，多一種工具、多一種方法，何樂(lè)而不為！
為了滿(mǎn)足大家的探究“胃口”，下面再提供一種由兩角和的構(gòu)造法結(jié)合對(duì)稱(chēng)性進(jìn)而得到兩角差的構(gòu)造之法，增加構(gòu)造的趣味性與數(shù)學(xué)味：
一切盡在圖18與圖19中，這也是傳說(shuō)中的“無(wú)字證明”！只要最后將目光鎖定在Rt△CHN’中，tan∠HCN’=1/2即為所要構(gòu)造的兩個(gè)角之差，不再詳述！
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