第1題

（2018秋·丹江口市期末）（1）如圖1，四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠ADC，∠BCD的角平分線交于AB邊上的點(diǎn)E，求證：①CD＝AD+BC；②E是AB的中點(diǎn)；

（2）如圖2，（1）中的條件“∠A＝∠B＝90°”改為“條件AD∥BC”，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否都依然成立？請(qǐng)什么理由．

【熱門考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．

【解題思路】（1）如圖1﹣1中，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F．利用角平分線的性質(zhì)定理可得AE＝EB．利用全等三角形的性質(zhì)證明AAD＝DF，CB＝CF即可．

（2）結(jié)論仍然成立．如圖2中，在CD上截取DF＝DA，連接EF，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．

【解答】（1）證明：如圖1﹣1中，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F．

【解題技巧】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．

第2題

（2018秋·江夏區(qū)期中）如圖1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F．

（1）直接寫出∠AFC的度數(shù)：　120°　；

（2）請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，試判斷線段AE、CD與AC之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．

【熱門考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．

【解題思路】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)只要求出∠FAC，∠ACF即可解決問(wèn)題；

（2）根據(jù)圖（1）的作法，在AC上截取CG＝CD，證得△CFG≌△CFD（SAS），得出DF＝GF；再根據(jù)ASA證明△AFG≌△AFE，得EF＝FG，故得出EF＝FD；

（3）根據(jù)圖（1）的作法，在AC上截取AG＝AE，證得△EAF≌△GAF（SAS），得出∠EFA＝∠GFA；再根據(jù)ASA證明△FDC≌△FGC，得CD＝CG即可解決問(wèn)題；

【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，

∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，

∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，

∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，

∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°

故答案為：120°；

（2）解：FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為：DF＝EF．

理由：如圖2，在AC上截取CG＝CD，

∴△CFG≌△CFD（SAS），

∴DF＝GF．

∵∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，

∴∠FAC

∠BAC，∠FCA

∠ACB，且∠EAF＝∠GAF，

∴∠FAC+∠FCA＝（∠BAC+∠ACB）

（180°﹣∠B）＝60°，

∴∠AFC＝120°，

∴∠CFD＝60°＝∠CFG，

∴∠AFG＝60°，

又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，

∴∠AFE＝∠AFG，

在△AFG和△AFE中，，

∴△AFG≌△AFE（ASA），

∴EF＝GF，

∴DF＝EF；

（3）結(jié)論：AC＝AE+CD．

理由：如圖3，在AC上截取AG＝AE，

∴∠FAC+∠FCA

（∠BAC+∠ACB）

（180°﹣∠B）＝60°，

∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝120°，

∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，

∴∠CFG＝∠CFD＝60°，

同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），

∴CD＝CG，

∴AC＝AG+CG＝AE+CD．

【解題技巧】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形．

第3題

（2017秋·吉縣期中）如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延長(zhǎng)線上截取CG＝AB，連接AD、AG．

（1）求證：AD＝AG；

（2）AD與AG的位置關(guān)系如何，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【熱門考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．

【解題思路】（1）由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定義得∠HFB＝∠HEC，由得對(duì)頂角相等得∠BHF＝∠CHE，所以∠ABD＝∠ACG．再由AB＝CG，BD＝AC，利用SAS可得出三角形ABD與三角形ACG全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出AD＝AG，

（2）利用全等得出∠ADB＝∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB＝∠AED+∠DAE，又∠GAC＝∠GAD+∠DAE，利用等量代換可得出∠AED＝∠GAD＝90°，即AG與AD垂直．

【解答】（1）證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，

∴∠HFB＝∠HEC＝90°，又∵∠BHF＝∠CHE，

∴∠ABD＝∠ACG，

在△ABD和△GCA中

∴△ABD≌△GCA（SAS），

∴AD＝GA（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；

（2）位置關(guān)系是AD⊥GA，

理由：∵△ABD≌△GCA，

∴∠ADB＝∠GAC，

又∵∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，

∴∠AED＝∠GAD＝90°，

∴AD⊥GA．

【解題技巧】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

第4題

在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的直線GF交AC于點(diǎn)F，交AC的平行線BG于點(diǎn)G，E為AB上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EG、EF，且EG＝EF．

（1）說(shuō)明BG與CF相等的理由．

（2）說(shuō)明ED⊥GF的理由．

【熱門考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．

【解題思路】（1）根據(jù)ASA證明△DFC≌△DGB可得結(jié)論；

（2）由△DFC≌△DGB得：DF＝DG，根據(jù)等腰三角形三線合一可得結(jié)論．

【解答】解：（1）∵AC∥BG，

∴∠C＝∠GBD，

在△DFC和△DGB中，

∴△DFC≌△DGB（ASA），

∴BG＝CF；

（2）由（1）得：△DFC≌△DGB，

∴DG＝DF，

∵EG＝EF，

∴ED⊥FG．

【解題技巧】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力．

第5題

在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A的平分線AE交DC于點(diǎn)E．求證：當(dāng)BE是∠B的平分線時(shí)，AD+BC＝AB．

【熱門考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．

【解題思路】在AB上取一點(diǎn)F，使AF＝AD，連接EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得出∠AEB＝90°，通過(guò)證明△AED≌△AEF和△BCE≌△BFE，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．

【解答】證明：′在AB上取一點(diǎn)F，使AF＝AD，連接EF，

∵AE平分∠BAD，

∴∠5＝∠6

∠BAD．

∵BE平分∠ABC，

∴∠7＝∠8

∠ABC．

∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD＝180°，

∴

∠ABC

∠BAD＝90°，

∴∠6+∠8＝90°，

∴∠AEB＝∠2+∠3＝90°．

∴∠1+∠4＝90°．

在△AED和△AEF中，

∴△AED≌△AEF（SAS）

∴∠1＝∠2．

∴∠4+∠2＝90°，

∴∠4＝∠3．

在△BEC和△BEF，

∴△BCE≌△BFE（ASA），

∴BC＝BF．

∵AB＝BF+AF，

∴AD+BC＝AB．

【解題技巧】本題考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用截取法作輔助線是關(guān)鍵．