古希臘時期，哲學(xué)家泰勒斯開啟了對數(shù)學(xué)命題進(jìn)行證明的思想，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將之發(fā)揚光大。歐幾里得的《幾何原本》總結(jié)了前人的幾何知識和研究成果，用公理法建立起演繹的數(shù)學(xué)體系的最早典范，標(biāo)志著幾何知識從零散、片斷的經(jīng)驗形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橥暾倪壿嬻w系，深刻影響到后世數(shù)學(xué)的發(fā)展，采用的演繹結(jié)構(gòu)被移植到其它學(xué)科后也同樣促進(jìn)了這些學(xué)科的發(fā)展，但因受時代限制而存在部分證明有遺漏和錯誤、基礎(chǔ)部分不夠嚴(yán)密等明顯的不足。
上面第一張圖片與數(shù)學(xué)家泰勒斯的雕像一樣，它們都是沒有雕刻眼睛，這是希臘古典雕塑的特點，從這一點在藝術(shù)層面上，我們可以通過雕像的眼睛來判斷某個雕像的大概年代。但是在數(shù)學(xué)上是不可行，只要存在一絲絲的瑕疵，數(shù)學(xué)命題都是不成立的。很有可能后世有個雕塑家也不喜歡雕刻眼睛。
《幾何原本》在幾千年間是邏輯演繹證明的典范。在明朝才通過意大利傳教士利瑪竇和徐光啟對其前6卷的翻譯進(jìn)入中國。徐光啟曾說過：“能精此書者，無一事不可精；好此書者，無一事不可學(xué)?！睈垡蛩固拐f的更加直接：“如果歐幾里得未能激起你少年時代的熱情，那么你就不是一個天生的科學(xué)思想家?！?/span>
在介紹證明之前，我們需要知道兩個重要的名詞：定義和命題。
命題的特點就是可以判斷真假的陳述句，比如“等角的余角相等”就是命題，而“同位角相等嗎？”是一個疑問句，就不屬于命題范疇。經(jīng)過證明的真命題可以被稱為“定理”，確定某個命題真實性的過程叫做“證明”。泰勒斯是歷史證明第一人，他最為著名的泰勒斯定理說的是由圓的直徑與圓上任一點構(gòu)成的三角形是直角三角形。這個命題的條件是由圓的直徑與圓上任一點構(gòu)成的三角形，結(jié)論是這個三角形是直角三角形。這個命題的證明過程也非常的簡單：
證明的方法有很多，比如直接法、歸納法、反證法、逆否法。
直接證明也稱為邏輯演繹，是指從公認(rèn)的事實或者公理出發(fā)，運用邏輯推演而導(dǎo)出需要證明的命題的方法。
直接法—綜合法
從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止。
直接法-分析法
從問題的結(jié)論處罰，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件吻合為止。（或逆向推出一個明顯成立的式子）
歸納法
高斯小時候曾經(jīng)非?？斓厮愠?到100所有整數(shù)的和等于5050，他的方法非常的簡單：
現(xiàn)在我們直到這個數(shù)列的求和公式為S=n（n+1）/2?，F(xiàn)在我們嘗試用歸納法證明這種數(shù)列的求和公式。
反證法
亦稱“逆證”，是間接論證的方法之一，是通過斷定與論題相矛盾的判斷（即反論題）的虛假來確立論題的真實性的論證方法。《幾何原本》中歐幾里得素數(shù)無限定理的證明就是反證法的案例，這個證明方法被譽為數(shù)學(xué)史上最美的證明之一。
逆否法
逆否法是進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換的最重要的方法，其依據(jù)是命題與逆否命題的同一性，即命題正確則逆否命題必正確，命題錯誤則逆否命題必錯誤。其關(guān)系可以從下圖看出：
數(shù)學(xué)是邏輯性、嚴(yán)密性最強的學(xué)科，是其他學(xué)科的基礎(chǔ)。而證明是體現(xiàn)邏輯性、嚴(yán)密性的重要部分，可以說證明是整個數(shù)學(xué)中最漂亮的一部分。
聯(lián)系客服
