當(dāng)年意大利科學(xué)家伽利略在比薩斜塔上做自由落體實(shí)驗(yàn)，經(jīng)若干次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)從塔頂落下的石子落地的時間總是相等的，且有規(guī)律 ，其中 h 是塔高，t 是時間，單位是米和秒，于是就宣布了自由落體的物理定律，作為實(shí)驗(yàn)科學(xué)的物理和化學(xué)等自然科學(xué)，都承認(rèn)可以重復(fù)做出的結(jié)果為其科學(xué)結(jié)論。數(shù)學(xué)呢？數(shù)學(xué)當(dāng)然也可以重復(fù)實(shí)驗(yàn)，例如：4=2+2，6=3+3，8=3=5，10=5+5，12=5+7，14=7+7，16=5+11，18=7+11，……這種把偶數(shù)拆分成兩個素?cái)?shù)之和的實(shí)驗(yàn)可以做成功很多次，如果按物理學(xué)家們的規(guī)矩，早就可以宣布哥德巴赫猜想是真理了，然而數(shù)學(xué)不是物理，數(shù)學(xué)有自己這一行的規(guī)矩，那就是一切數(shù)學(xué)定理都必須經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明才算數(shù)。這種規(guī)矩是保護(hù)數(shù)學(xué)建康成長的法規(guī)，不遵守它，數(shù)學(xué)科學(xué)就要遭殃！例如，1640年數(shù)學(xué)家費(fèi)馬經(jīng)反復(fù)實(shí)驗(yàn)猜想 是素?cái)?shù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：
反復(fù)多次實(shí)驗(yàn)，都使得猜想成立，這時敢宣布此猜想是定理嗎？不敢！1732年，歐拉算出：
所以， 不是素?cái)?shù)，后來的數(shù)學(xué)家找到形如 的48個數(shù)都是合數(shù)。可見若干次實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)中一般未必算是使一個結(jié)論成立的根據(jù)。
美國數(shù)學(xué)家波利亞（G.Polya）說：“數(shù)學(xué)家與自然科學(xué)家在研究方法上是截然不同的；觀察對自然科學(xué)家來說是可信的方法，但對數(shù)學(xué)家來說卻并非如此。選擇恰當(dāng)?shù)膶?shí)例進(jìn)行檢驗(yàn)，這是生物學(xué)家肯定猜想規(guī)律的唯一方法，但是對于數(shù)學(xué)家來說，選擇恰當(dāng)?shù)膶?shí)例進(jìn)行驗(yàn)證，從鼓勵信心的角度來看是有用的，但這樣還不能算是數(shù)學(xué)科學(xué)里證明了一個猜想。經(jīng)驗(yàn)的歸納只能說明所得結(jié)論可能成立，但并不能證明它一定可靠。”
對上面的費(fèi)馬數(shù) 是否是素?cái)?shù)的問題，你也許會說實(shí)驗(yàn)次數(shù)太少了，只做了5次就下結(jié)論，所以出錯了，事實(shí)上，有的數(shù)學(xué)命題，做一輩子實(shí)驗(yàn)都得出同樣的結(jié)論，仍然不能下結(jié)論，例如：
實(shí)驗(yàn)結(jié)果為 ，實(shí)驗(yàn)了101ooo次都是1，實(shí)驗(yàn)次數(shù)不可謂不多，寫出實(shí)驗(yàn)的結(jié)果每秒鐘寫一個，一輩子也寫不完，你能宣布 嗎？（小編注：“≡” 是恒等于符號）你看
單靠多實(shí)驗(yàn)來保證數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性可能是靠不住的。
事實(shí)上，作為嚴(yán)密科學(xué)的數(shù)學(xué)，它的定理不允許有一個反例。自然科學(xué)則不然，例如觀察了大量的鳥類都會飛之后，可以得出“鳥類會飛”的結(jié)論，不怕駝鳥不飛這一反例的存在，自然科學(xué)追求的往往是絕大多數(shù)情況下成立的結(jié)論。
上面我們講了許多關(guān)于經(jīng)驗(yàn)歸納在數(shù)學(xué)中不怎么管用的話，但由經(jīng)驗(yàn)歸納推廣完備起來的數(shù)學(xué)歸納法卻是一種有效的證明方法。事實(shí)上，若有一個與自然數(shù)有關(guān)的命題串 ，即欲證n=1時，P? 成立，n=2時，P? 成立，…，對一切自然數(shù)n， 皆成立，只需驗(yàn)證開始的少數(shù)幾個命題 成立，一般P? 成立就夠了，這叫歸納法起步，然后假設(shè)對于n≥k， 已成立，再通過正確的邏輯推導(dǎo)，在歸納法假設(shè)的前提下，證出 仍成立，就可以保證對一切自然數(shù)皆成立。這種歸納過程與經(jīng)驗(yàn)歸納的有限例證有本質(zhì)的區(qū)別，數(shù)學(xué)歸納法是說前面的命題（命題 ）已成立之后，若添加下一個命題，仍然成立，于是，添加下去總能成立，豈不是永遠(yuǎn)成立這一規(guī)律了嗎？所以，數(shù)學(xué)歸納法也稱為科學(xué)歸納法或完全歸納法。
數(shù)學(xué)證明中還有一種強(qiáng)有力的證法，叫反證法。故意說在定理?xiàng)l件下原結(jié)論不成立，用正確的邏輯手段找出這一“故意反對”與定理的條件或其他已有事實(shí)不相容的矛盾，從而得出在定理?xiàng)l件下，定理的結(jié)論不成立不行的欲證結(jié)論。這種反證的思想方法在日常生活或自然科學(xué)及至社會科學(xué)當(dāng)中，也多采用，但那些領(lǐng)域中的反證法與數(shù)學(xué)當(dāng)中仍有區(qū)別，例如“凡鳥皆飛”這一命題用反證法就不合適，鴕鳥不飛不能引出矛盾。數(shù)學(xué)禁止它的定理出現(xiàn)反例，所以數(shù)學(xué)定理經(jīng)得起反證的考驗(yàn)。
數(shù)學(xué)的證明最常見的是從已知通過正確的邏輯判斷直接推導(dǎo)出結(jié)論的所謂演繹證明。在對具體問題的證明當(dāng)中，也可針對其特點(diǎn)，把演繹、反證、數(shù)學(xué)歸納聯(lián)合施用或施用這三種一般方法的變種。
對一個數(shù)學(xué)定理給出證明，還可以幫助我們理解定理，看透哪個條件的作用大，哪個條件是次要的，是否可以把條件放寬一些，結(jié)論是不等式時，是否可以把上界變小一些，把下界放大一些，等等，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)改進(jìn)和推廣該定理的思路；或發(fā)現(xiàn)原證明方法不夠美，設(shè)計(jì)出更簡潔漂亮的證明。
數(shù)學(xué)證明中的挫折和失敗往往引出有價值的數(shù)學(xué)成果，例如四色猜想，歷史上多少名人屢證屢錯，但確引出了色交換技術(shù)和色多項(xiàng)式等精彩的圖論成果。在數(shù)學(xué)史上一個極重大的事件是對歐幾里得第五公設(shè)的證明，到19世紀(jì)，幾乎每個大數(shù)學(xué)家都曾染指于此，無奈大家都失敗了，引起大家對第五公設(shè)是否是真理的考慮，1759年，法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾稱歐氏平行公理是“幾何原理中的家丑”，數(shù)學(xué)家M.克萊因則說：“簡而言之，歐幾里得的著作有著糟糕之極的缺陷?！辫b于上述證明的受阻，數(shù)學(xué)家們（例如高斯和羅巴切夫斯基）萌生了否定歐氏第五公設(shè)重建新幾何的念頭，非歐幾何終于誕生。
非歐幾何中用羅巴切夫斯基公理替代歐氏平行公理之后，建立的幾何系統(tǒng)是相容的，即該系統(tǒng)不存在自相矛盾的結(jié)論，但由于長期找不到物質(zhì)世界的相應(yīng)模型，以至使其被冷落了一百多年，在這一困難時期，數(shù)學(xué)界無人相信非歐幾何存在物理意義，甚至連對非歐幾何的相容性作出了嚴(yán)格論證的F.克萊因、凱萊等大數(shù)學(xué)家仍然認(rèn)為唯有歐氏空間才是宇宙的基本空間。直到20世紀(jì)相對論建立并應(yīng)用了非歐幾何，這一危機(jī)才得以解決?？梢妵?yán)格的數(shù)學(xué)證明是必要的，但還要獲得實(shí)踐的接受。不然就用可能被人視為“合乎邏輯的胡說”。
* 本文節(jié)選自《數(shù)學(xué)志異》，王樹和著，科學(xué)出版社。
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