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高中數(shù)學(xué)由于知識點眾多，我認為要學(xué)好高中數(shù)學(xué)最重要的就是要善于歸納整理，形成自己的知識框架體系。我們先從這篇《高中數(shù)學(xué)必修1 不等式的證明思路》中來學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟如何養(yǎng)成歸納整理的好習(xí)慣吧。
高中數(shù)學(xué)，我們做題時常會遇到哪些基本不等式，而證明不等式的方法又有哪些？本文為你詳細解讀。
一、常用基本不等式
我們先來看幾種平均數(shù)：
常用基本不等式
這四種平均數(shù)滿足 Hn ≤ Gn ≤ An ≤ Qn，即調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù)。我們平時做題時，遇到的不等式相關(guān)問題，基本都離不開以上幾種平均數(shù)大小關(guān)系的比較。
特別地，當(dāng)n=3時，均值不等式：設(shè)a、b、c∈R＋，則
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時等號成立。
新人教版 高中數(shù)學(xué)必修一
一、證明不等式常用思路：
不等式的證明思路和方法有：比較法、綜合法、分析法、放縮法、反證法；換元法、常數(shù)代換法、幾何法、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造函數(shù)法等。（換元法是一個需要專門討論的方法，這里暫不舉例）
1、比較法：比較法證明不等式的一般步驟：作差（作商）—變形—判斷—結(jié)論．
作差法：差與“0”比較。為了判斷作差后的符號，經(jīng)常需要把這個差變形為一個常數(shù)，或者變形為一個常數(shù)與一個或幾個平方和的形式，也可變形為幾個因式的積的形式，判斷其正負．
作商法：商與“1”相比較。作商時，需要滿足兩者均為正數(shù)。
2、綜合法（順推）：綜合法是指從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后得到結(jié)論，其特點是“執(zhí)因索果”，即由“已知”，利用已經(jīng)證明過的不等式或不等式的性質(zhì)逐步推向“未知”。
綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：A B1B2…Bn B，及從已知條件 A 出發(fā)，逐步推演不等式成立的必要條件，推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論 B.
3、分析法（逆推）：從求證的結(jié)論出發(fā)，分析使這個結(jié)論成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，即“執(zhí)果索因”．即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。
4、放縮法：要證明不等式 A<B 成立，借助一個或多個中間變量通過適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達到證明不等式的方法．
放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有：①不等式的傳遞性；②等量加不等量為不等量；③同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較．
常用的放縮技巧有：①應(yīng)用均值不等式進行放縮；②舍掉(或加進)一些項；③在分式中放大或縮小分子或分母。
5、反證法：即從正難則反的角度去思考，要證明不等式A>B，先假設(shè) A≤B，由題涉及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定A>B. 凡涉及到的證明不等式為否定命題、唯一性命題或含有“至多”、“至少”、“不可能”、“不存在”等詞語時，可以考慮用反證法．
6、常數(shù)代換法
常數(shù)代換是指利用某些帶有常數(shù)項的恒等式，把常量化為變量代入到所求證的式子中，以到達化繁為簡的目的。
常用的帶有常數(shù)項的恒等式，可由題目中的條件變形得到，也可用常用的公式或公式變形。
7、幾何法
通過構(gòu)造幾何圖形，利用幾何圖形的性質(zhì)來證明不等式的方法稱為幾何法。
8、換元法
9、數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)不等式是一個與自然數(shù) n 有關(guān)的命題，
可以利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．
10、構(gòu)造法：在不等式的證明中，可根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點，恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造一個與不等式相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，如構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量等，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明．
說明：其中8換元法，有專題研究，本文不做詳細討論，9和10不屬于必修一內(nèi)容，本文也暫且不做討論。
三、不等式證明方法對應(yīng)練習(xí)及規(guī)律方法
3.1、比較法
3.1.1、比較法（做差法）
3.1.2、比較法（作商法）：
3.2、綜合法
3.3、分析法
規(guī)律方法：用分析法論證“若 A 則 B”這個命題的模式是：欲證命題 B 為真，只需證明命題 B1 為真，從而又只需證明命題B2 為真，從而又……只需證明命題 A 為真，今已知 A 真，故 B必真．簡寫為：BB1 B2… Bn A.
重要領(lǐng)悟：只要含有根號或絕對值，我們就可以通過平方或者適當(dāng)變形后平方，來去掉根號或絕對值。
3.4、放縮法
規(guī)律方法：利用不等式的傳遞性。要證 A>B，可適當(dāng)選擇一個 C，使得 C≥B，那么A>B,反之亦然．放縮技巧有：
①分式放縮：固定分母，放縮分子；固定分子，放縮分母．常用于分式類不等式的證明；
②添舍放縮：視情況丟掉或增多一些項進行放縮，常見于整式或根式配方后需要放縮的不等式的證明．
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