數(shù)學(xué)聽誰說
數(shù)學(xué)萌萌說
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由特殊類比到一般
將未知化歸為已
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由19.8直角三角形的性質(zhì)說起
由已知推未知，這樣我們得到了：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
接下來我們來重點(diǎn)分析一下斜中線分割出來的兩個(gè)等腰三角形。
由三角形的內(nèi)角和為180°，我們可以知道，這兩個(gè)三角形是一對底角互余，頂角互補(bǔ)且腰相等的等腰三角形。
我們也發(fā)現(xiàn)一對底角互余，頂角互補(bǔ)且腰相等的等腰三角形可以組成一個(gè)直角三角形。
因?yàn)樗鼈冺斀腔パa(bǔ)且腰相等，所以在拼回成直角三角形的過程中，得到的三角形也是一個(gè)一邊上的中線恰好是這邊一半的三角形，故直角性質(zhì)定理2的逆命題也是真命題。
同時(shí)我們也可以發(fā)現(xiàn)斜邊中點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，這樣的點(diǎn)我們在19.4的例題中也提到過，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，即是三角形外接圓的圓心——外心。
直角三角形的外心在斜邊的中點(diǎn)上，到直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)就是斜邊的中點(diǎn)。故若斜邊上有一個(gè)點(diǎn)到三角形兩頂點(diǎn)的距離相等，那這個(gè)點(diǎn)也就是斜邊上的中點(diǎn)。
比如已知DB=DC，得到×=×，然后等角的余角相等●=●，得CD=AD=BD。
舉例：（來源外地考題）
例題1的第一小問是一種特殊情況，動點(diǎn)在線段中點(diǎn)上。可由平行X型全等得QE=QF。
第二小問是就是一種一般情況，動點(diǎn)在線段上。首先大膽假設(shè)一下，結(jié)論依然成立，然后思考要證明QE=QF，且E是一個(gè)直角頂點(diǎn)，我們可以把Q安放在E為直角頂點(diǎn)直角三角形的斜邊上，那為了得出結(jié)論，Q就勢必在斜邊的中點(diǎn)上。
延長FQ，構(gòu)造直角三角形FEG，此時(shí)需要證明的結(jié)論就變?yōu)榱俗C明Q是斜邊FG的中點(diǎn)上了，根據(jù)平行X型全等得證，解題難度下降不小。
第三小問是更加一般的情況，動點(diǎn)在延長線上，做法可類比第二小問。此類題真的是很經(jīng)典的間接考察學(xué)生掌握直角三角形性質(zhì)定理2能力的試題，有必要好好學(xué)習(xí)一下。
接下來，我們來研究一下直角三角形直角邊與斜邊的關(guān)系：
在構(gòu)成直角三角形的這兩個(gè)等腰三角形中，腰長為斜邊的一半，底邊為直角邊。只要我們知道了這樣的等腰三角形腰與底邊的關(guān)系，那對應(yīng)直角三角形直角邊與斜邊的關(guān)系我們也能確定了。
在所有我們學(xué)過的等腰三角形中，有一種三角形其腰與底的關(guān)系是明確知道——等邊三角形。
所有內(nèi)角都為60°的三角形是等邊三角形，等邊三角形的腰與底邊相等，故我們知道在含60°角的直角三角形中，30°所對的直角邊，等于斜邊的一半（推論1）。
每條邊都相等的三角形是等邊三角形，故我們知道有一條直角邊等于斜邊的一半的，那么這條直角邊所對的角等于30°（推論2）。
由特殊到一般，研究斜邊與直角邊的關(guān)系，其一般情況是不是就是勾股定理呢？其實(shí)不是。我想定理2的推論，與其說是邊的關(guān)系，不如說是邊與角的關(guān)系。
由特殊到一般，定理2的推論類比到一般，應(yīng)該是直角三角形的銳角確定，那邊與邊的比確定，反之也是相互確定才對。
來看一道對應(yīng)的例題：（來源2022黃浦八上期末26）
例題2的第一小問比較簡單，證明完全等之后，可由●+■=60°，得到∠BFD=60°。
例題2的第二小問中，需要證明BF=2AF，涉及到了邊的半倍關(guān)系，同時(shí)根據(jù)60°角這個(gè)角條件，我們可以根據(jù)推論1，構(gòu)造30°直角三角形。
上圖所示，可知BF=2FG，目標(biāo)變?yōu)樽C明AF=GF，也可以根據(jù)半倍關(guān)系，去證明AG=BF，可用
我們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)這種邊與角的關(guān)系的一般情況就是第25章要學(xué)的銳角三角比。
直角三角形中，銳角三角比共有四種類別。
至此，我們可以更全面的認(rèn)識直角三角形了。
在直角三角中的六個(gè)元素中，都不是孤立存在，彼此之間都有聯(lián)系。數(shù)學(xué)之美在于做減法，即在認(rèn)識直角三角形的過程中，無需知道全部的六個(gè)元素，便可求解直角三角形。
解直角三角形所需的條件與確定直角三角形或直角三角形全等判定定理的條件是一致的。即除了直角外，再需知道2個(gè)條件（至少有個(gè)邊條件），便可解三角形。
當(dāng)我們掌握了如何解直角三角形后，我們來看看一般三角形如何求解。通過作高化歸為兩個(gè)直角三角形進(jìn)行求解。
解三角形：在三角形中，知道部分邊角條件，解三角形的其他邊角條件的過程，
那解一般三角形至少需要多少個(gè)邊角條件呢？
以含30°、45°的三角形為例，求解過程中需要知道添線原則：一般情況下，添的輔助線是三角形的高。添高時(shí)盡量不要破壞已知角，也盡量不要破壞所求角。
類比解直角三角形，解一般三角形所需的條件與一般三角形全等判定定理的條件是一致的。
條件是SAS，可以解三角形，添高符合原則即可。
條件是AAS，可以解三角形，添高符合原則即可。
條件是ASA，可以解三角形，添高符合原則即可。
條件是SSS，也可以解三角形，此類題型在19.9勾股定理這節(jié)課的學(xué)習(xí)中就有涉及到，類似求邊長為13/14/15的三角形的面積問題。
添高符合原則的基礎(chǔ)上，為避免無法判斷高在形內(nèi)或是在形外的情況，一般建議作最長邊上的高。
借助勾股定理，列出方程進(jìn)行計(jì)算。
條件是SSA時(shí)，部分學(xué)生可能記得在教科書的14章的課后閱讀材料中，提到過用SSA在某些特定場合可判定全等，我們看看可不可解三角形。
結(jié)語：
本文告一段落，讀到這里的我相信應(yīng)該是真愛粉了，花了兩周時(shí)間，內(nèi)容還是很充實(shí)的，整個(gè)分享講座時(shí)長在一個(gè)半小時(shí)左右，如果覺得對你有幫助的，記得給萌萌一個(gè)贊呦，你的鼓勵和支持對我真的很重要，謝謝。
寫在最后
斗志不是以打倒對手為目的的好斗之心，而是為了自己的生存而拼命努力的精神，這才是我們所應(yīng)具備的品質(zhì)。
堅(jiān)持比努力更重要，勇敢的少年們，明天期中考試加油！
作者：徐藝晨
2022年12月17日
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12年教育工作者，專注初中數(shù)學(xué)教學(xué)，
雖前路不易，但初心不改
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