一道費(fèi)馬點(diǎn)變形與定角定弦問(wèn)題的探究

費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題是幾何最值問(wèn)題的一個(gè)難點(diǎn)，也是很多人喜歡研究的問(wèn)題。

而定角定弦問(wèn)題也是隱圓軌跡問(wèn)題的一個(gè)?？键c(diǎn)。

今天介紹一位朋友發(fā)的一道題目。3個(gè)問(wèn)把兩種問(wèn)題都綜合起來(lái)了。

大家一起來(lái)看看吧！

【題目】

如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是矩形內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，連接PA，PC。

（1）求PA+PC的最小值；

（2）連接PB，設(shè)m=√3PA+PB+PC，求m2的最小值；

（3）若點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，此時(shí)將AP繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ°（0＜θ＜90），過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AD于點(diǎn)Q，O為△APQ的內(nèi)心，求點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)。

題（1）是兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題。直接連接AC即可，點(diǎn)P落在線段AC上。那么最小值就是AC的長(zhǎng)度，也就是√13.

題（2）中有一個(gè)難點(diǎn)就是√3PA。之前很少遇到類似的問(wèn)題。在一個(gè)三角形中，如果遇到求PA+PB+PC和最小的時(shí)候，這就是一個(gè)典型的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題了。解法之前也介紹過(guò)：

旋轉(zhuǎn)構(gòu)造幾何最值。

但是這邊是√3PA，那怎么辦呢？√3其實(shí)比較特殊，我們?nèi)菀茁?lián)想到含30°、60°、90°的特殊三角形。不過(guò)如果直接得到√3PA的話，也可以直接繞點(diǎn)A將AP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，那么得到一個(gè)含有120°為頂角的等腰三角形，底邊是腰長(zhǎng)的√3倍。

有了前面的分析，那么我們就可以對(duì)圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)了。

如上圖所示，將△APB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△AP′B′，連接PP′。那么把√3PA+PB+PC這三條線段就轉(zhuǎn)化在一起了。怎樣最小呢？只需連接B′C即可，使得點(diǎn)P落在B′C上，也就是∠APC=∠APB=150°時(shí)，√3PA+PB+PC最小。

那么m的大小容易求得，m2也就是21+6√3。

如果直接求m的平方，可能會(huì)想到勾股定理，那么就會(huì)誤入歧途，不好算。

直接求m利用幾何變化轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短，發(fā)現(xiàn)可以迎刃而解。

有了上面的分析之后，其實(shí)，我們可以作一個(gè)變形。把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求

mPA+PB+PC

的最小值。

旋轉(zhuǎn)α°，使得α=180°-2θ（其中cosθ=m/2）即可畫(huà)出圖形。

到了第（3）問(wèn)，難度又略微提升。凡是遇到求軌跡問(wèn)題，我們前面也有介紹過(guò)類似的。需要先確定軌跡的形狀，然后再求解。

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑規(guī)律總結(jié)

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其實(shí)上面的問(wèn)題，就是和2019年鄂爾多斯中考數(shù)學(xué)題是一樣的。只是稍作改編而已。

【題2】

（2019·鄂爾多斯）如圖，在圓心角為90°的扇形OAB中，OB＝2，P為弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，設(shè)M為△OPE的內(nèi)心，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，則內(nèi)心M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為　 　．

本題解法請(qǐng)看下面的文章

“中考運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題分析1”

好了，有了前面的鋪墊，那么就直奔主題。

第一步，先畫(huà)圖。

第二步，確定起點(diǎn)，也就是點(diǎn)P與D重合，則P、Q、O與D四點(diǎn)重合。

第三步，確定終點(diǎn)，由第二步其實(shí)可以判斷，當(dāng)P與M重合時(shí)，Q與A重合。那么此時(shí)O與A、Q重合。

所以可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)O的軌跡不是線段，那么可能是圓弧。

第四步，判斷O的軌跡是圓弧?？梢园l(fā)現(xiàn)連接OD之后，∠AOD的大小始終不變，且所對(duì)的線段AD長(zhǎng)度也不變。那么就是大家常說(shuō)的“定角對(duì)定邊”（定角定弦問(wèn)題）的問(wèn)題了。此時(shí)只需證明∠AOD的大小不變?yōu)槎ㄖ导纯伞?/span>

由上圖可知△APO≌△ADO（SAS），那么可以得到∠AOD=∠AOP=135°。

那么就可以確定圓心和半徑了。

以AD為邊向下構(gòu)造等腰直角三角形ADG，那么就可以得到半徑和圓周角，結(jié)論可得。

路徑為弧AD的長(zhǎng)度，也就是3√2π/4。

到此為止，不知道大家是否有一些收獲呢？

解題的時(shí)候，要學(xué)會(huì)多解歸一，總結(jié)歸納同一類型問(wèn)題的解法。再融會(huì)貫通。

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