在幾何問題中有一類求解多條線段和的最值問題，難度較大，這類問題往往通過軸對稱、旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)、相似等方法轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”、'垂線段最短”這兩個基本原理來解決.下面結(jié)合“將軍飲馬”、“費(fèi)馬點(diǎn)”、'胡不歸’、“阿氏圓”四種不同類型的問題加以說明.
一、將軍飲馬問題
基本模型
已知直線l和l的同側(cè)兩點(diǎn)A,B,在直線l上找一點(diǎn)P,使得PA +PB最小 .
分析 如圖1,通過軸對稱，作點(diǎn)B關(guān)于 直線1的對稱點(diǎn)B',連結(jié)AB'.在直線l上任取 一點(diǎn)P',由基本原理“兩點(diǎn)之間線段最短”,可 知P A + P B = A B' ≤ P'A + P'B .
圖 1
圖 2
例 1 已知菱形OABC在平面直角坐標(biāo) 系的位置如圖2所示，頂點(diǎn)A(5,0),D(0,1). P是對角線OB上一動點(diǎn)，連結(jié)PC,PD,求PC + PD的最小值.
解析 這道題是大家熟悉的將軍飲馬問 題，我們只需作其中一個定點(diǎn)關(guān)于定直線的 對稱點(diǎn)即可. 由菱形的性質(zhì)，可知點(diǎn)C與點(diǎn)A 關(guān)于0B對稱 . 如圖2,連結(jié)AD,則PC+PD的最小值就是線段AD的長度. 由勾股定理，可得AD= √ 26,即PC+PD的最小值為 √ 26 .
例2 如圖3,在等邊△ABC中，AB =6, N為線段AB上的任意一點(diǎn)，∠BAC的平分線 交BC于點(diǎn)D,M是AD上的一動點(diǎn)，連結(jié)MB, MN,求MB+MN 的最小值.
圖3
解析 這道題仍沿用將軍飲馬問題的解 決思路.找點(diǎn)B關(guān)于定直線AD的對稱點(diǎn)，即點(diǎn) C,連結(jié)MC.因為N是定直線AB上的動點(diǎn)，如 圖3,當(dāng)C,M,N三點(diǎn)共線，且CN上AB時，MC +MN最小.過點(diǎn)C作CE上AB,垂足為E,那么 MB+MN的最小值就是線段CE的長度.由題 意，可得CE=3 √ 3,即MB+MN的最小值為3 √3.
評注 以上兩例分屬于將軍飲馬問題中 的“兩定一動”型與“兩動一定”型，當(dāng)然還有 “兩動兩定”型、“三動”型等等，其基本原理 都是轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”或者“垂線 段最短”來解決.
二、費(fèi)馬點(diǎn)問題
例3 如圖4,正方形ABCD的邊長為2,P 為對角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，求PA+ PB+PC 的最小值.
解析 這道題是三條線段之和，且是共 頂點(diǎn)的三條線段.我們需要通過幾何變換，使 它們形成首尾相連的三條線段，再利用基本 原理解決.我們嘗試將△ABP繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，如果PP′= PB,那么PA,PB, PC就形成了首尾相連的三條線段，故△PPB 就應(yīng)該為等邊三角形，即旋轉(zhuǎn)角度為60°.
圖4
如圖4,將△ABP繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°, 連結(jié)PP,AC,則PA+PB+PC=AP'+PP’+PC≥A'C, 即PA+PB+PC 的最小值就是線段A’的長度.過點(diǎn)A'作A'E上BC交CB延長線于點(diǎn)E . 易得∠A’BE=30°,A'B=BC=2, 所以A’E=1,EB = √ 3 .在Rt△A'EC中，由勾股定理，可得A'C = √ 2+J6,故PA+PB+PC 的最小值為(√ 2+ √6.
變式 如圖5,已知邊長為2的等邊 △ABC,P為△ABC 內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)PA,PB, PC .求PA+ √2PB+PC 的最小值.
圖5
解析 聯(lián)想到等腰直角三角形斜邊與直 角邊的關(guān)系，我們確定旋轉(zhuǎn)角度為90°.
如圖5,將△ABP繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°, 連結(jié)A'C,P'P,則PA+ √ 2PB+AC=A'P'+ P'P+PC≥A'C, 即PA+ √2PB+PC 的最小值就是線段AC的長度.同例3,可得A'C= √2+ √ 6,故PA+√2PB+PC 的最小值為√2+√6 .
評注 在一個多邊形中，到每個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個多邊形的費(fèi)馬點(diǎn). 此類問題一般通過圖形的旋轉(zhuǎn)或向外作等邊三角形等手段將幾條線段的和用折線的長來 表示，然后利用“兩點(diǎn)之間線段最短”來解決.
三、胡不歸問題
例4 如圖6,已知D為射線AB上一動 點(diǎn)， ∠CAB =30°,AC =2,求DC+DA/2的最小值.
圖6
解析 根據(jù)題意，我們需要在圖6中構(gòu)造長度為DA/2的替代線段，將問題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題.那么，如何將DA/2用另一條替代線段表示呢?一條線段是另一條線段的一半， 我們可以聯(lián)想到直角三角形中30°角所對的 邊是斜邊的一半.為此我們嘗試在AD的下方 作∠DAM=30°,再過點(diǎn)D作DE⊥AM,垂足為E(如圖6).此時，DE=DA/2,則DC+DA/2就轉(zhuǎn)化為DC+DE .過點(diǎn)C作CF⊥AM 于點(diǎn)F.由“垂線段最短”,可知DC+DA/2的最小值就是垂線段CF的長度.易得CF = √3, 故DC+DA/2的最小值為 √3.
變式 如圖7,四邊形ABCD是菱形， AB=4,∠ABC=60°,M為對角線BD(不含B 點(diǎn))上任意一點(diǎn)，求2MA+MB的最小值.
圖7
分析 將2MA+ MB改寫為2(AM +MB/2）,這樣問題就歸結(jié)為例4來解決.
評注 “胡不歸”問題是當(dāng)動點(diǎn)P在直線 上運(yùn)動，形如“mPA+nPB”型的“兩定一動” 型最值問題.解決策略：(1)將所求線段和改 寫為
的形式n/m＜1; ( 2 ) 以 B 以起點(diǎn)，在PB的一側(cè)，PA的異側(cè)，構(gòu)造一個角 度 α,使得sin α=n/m;(3)過點(diǎn)A作∠α — 邊的垂線段.其基本思路是借助正弦，轉(zhuǎn)化為 “垂線段最短”來解決.
四、阿氏圓問題
例 5 如圖8,在Rt△ABC 中，∠ACB =90°, CB=4,CA =6,圓C半徑為2,點(diǎn)P為圓C上一動點(diǎn)，連結(jié)PA,PB,求PA+PB/2的最小值.
圖 8
解析 這道題仍然需要將PB/2變成共頂點(diǎn)的替代線段，也就是轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題來解決.那么，如何將PB/2用替代線段來表示?能不能借助胡不歸問題的解決經(jīng)驗，運(yùn)用正弦來轉(zhuǎn)化呢?這里點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動，BP不是定直線，借助正弦解決有困難.還有哪些經(jīng) 驗涉及到線段的比例問題呢?我們可以聯(lián)想 到相似，構(gòu)造兩個相似三角形.
如圖8,連結(jié)CP. 因為CP：CB=1：2,所以在CB 上找 一 點(diǎn)D,使得CD：CP=1：2,連結(jié)PD . 此時 △CDP~△CPB,所以
, 即PD =PB/2.連結(jié)AD,則PA+PB/2的最小值就是線段AD的長度，由題意，可得AD = √ 37,. 故PA+PB/2的最小值為37.
變式 如圖9,在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°,AC=BC=4,圓C 的半徑為2,點(diǎn)D是圓C上的一動點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，CE =1,連結(jié)DA,DE,求DA/2+2DE的最小值 .
圖 9
解析 如圖9,連結(jié)DC .
因為CD/CE=2,所以在CE的延長線上找一 點(diǎn)M,使得CM/CD=2 . 由題意，可知點(diǎn)M與點(diǎn)B重合. 連結(jié)BD , 則△CDB △CED,所以
, 即DB = 2DE .同理，在AC上找一點(diǎn)F,使得CF/CD=1/2,則DF=DA/2 .連結(jié)BF,則DA/2+2DE的最小值就是線段BF的長度 .
由題意，可得BF = √ 17,故DA/2+2DE的最小值為 √17.
評注 “阿氏圓”問題是當(dāng)動點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動，形如
,且m≠1,n≠1型的“兩定一動”型最值問題.解決步驟：(1)如圖10,將系數(shù)不為1的線段(如nPB)的兩個端點(diǎn)分別與 圓心C連結(jié)；(2)在線段CB或射線CB上取一點(diǎn)M,使得CM：CP=CP：CB'
(3)同理，確定第二個定點(diǎn)，連結(jié)兩個定點(diǎn).其基本原理是構(gòu)造相似，轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”來解決.
圖 1 0
最值問題雖然難度較大，若能針對題目 的本質(zhì)特征，合理地運(yùn)用軸對稱、旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)、相似等方式轉(zhuǎn)化為基本原理來解決，往往可以化難為易，化繁為簡.
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