【問題提出】如圖△ABC所有的內(nèi)角都小于120度，在△ABC內(nèi)部有一點P，連接PA、PB、PC，當(dāng)PA+PB+PC的值最小時，求此時∠APB與∠APC的度數(shù)。
【問題分析】關(guān)于求幾何最值問題，我們一般可以借助以下兩個公理來處理：
（1）定點到定點：兩點之間線段最短；
（2）定點到直線：垂線段最短。
因此，我們要想辦法把PA、PB、PC這三條分散的線段轉(zhuǎn)化為連續(xù)的折線，然后借助兩點之間線段最短找到符合條件的點P。在解決幾何最值問題過程中，我們常借助對稱變換、平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，本題牽涉三條線段，因此我們可以考慮旋轉(zhuǎn)變換。
【問題處理】
【問題歸納】符合條件的點P,我們把它叫做費馬點。 所謂的“費馬點”就是法國著名業(yè)余數(shù)學(xué)家費馬在給數(shù)學(xué)朋友的一封信中提出關(guān)于三角形的一個有趣問題：“在三角形所在平面上，求一點，使該點到三角形三個頂點距離之和最?。弊屌笥阉伎?并自稱已經(jīng)證明了。這是費馬通信的一貫作風(fēng)。人們稱這個點為“費馬點”。還有像著名的費馬大定理（當(dāng)整數(shù)n >2時，關(guān)于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 沒有正整數(shù)解。）也是這樣，給歐拉的信中提出的，自稱已經(jīng)“有了非常巧妙的證明”。直到離開也沒告訴人家這個所謂證明，結(jié)果困擾世界數(shù)學(xué)界三百多年。
費馬點就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點．費馬點結(jié)論：對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點；對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點．
【相關(guān)應(yīng)用】
聯(lián)系客服
