中考數(shù)學(xué)真題。如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=2√3，點O是AB邊上的一個動點，以點O為圓心，OA為半徑做圓O，與邊AC交于點M，與BC邊交于點E、F，設(shè)CM=x，判斷AE×AF是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，用含x的代數(shù)式表示。
這是中考數(shù)學(xué)幾何綜合題的一部分，前面還有兩小問，相對簡單一點。
分析：求AE×AF，直接求AE、AF的表達式肯定是不行的。
已知AF是直角△AFC的斜邊，馬上就應(yīng)該注意到AE也在一個直角三角形中，設(shè)圓O與AB邊的交點為G，連接EG，則∠AEG是直角，△AGE也是直角三角形。
如果能夠證明△AFC∽△AGE，則就能把AE和AF聯(lián)系起來。
注意到GEFA這四點共圓，根據(jù)性質(zhì)：圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角，
可知∠AFC=∠AGE，所以△AFC∽△AGE，
有AE/AG=AC/AF，即AE×AF=AG×AC=2AG。
（不通過相似三角形，直接有兩個直角三角形的銳角相等，得出邊長的比例關(guān)系相等也可以。）
AE×AF等于圓O直徑的2倍，當(dāng)圓心Ｏ變動時，顯然不是定值。
連接GM，就能發(fā)現(xiàn)∠GMA也是直角，所以GM//BC，
則有：AM/AC=AG/AB，
AM=2-x，在三角形ABC易求AB=4，
代入上式，2-x/2=AG/4，AG=4-2x，
所以AE×AF=2AG＝8-4x。
小結(jié)：本題考察了直角三角形勾股定理的計算，相似三角形的判定，四點共圓的性質(zhì)的應(yīng)用，對普通考生來說，還是有一定難度的。
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