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2020年的中考落下帷幕，后續(xù)為大家陸續(xù)奉上典型題目分析。

本題源自2020年的安徽中考。

難度不大，題目簡潔，考查知識點、思想方法都很典型。

【中考真題】

（2020·安徽）如圖1，已知四邊形ABCD是矩形，點E在BA的延長線上，AE＝AD．EC與BD相交于點G，與AD相交于點F，AF＝AB．

（1）求證：BD⊥EC；

（2）若AB＝1，求AE的長；

（3）如圖2，連接AG，求證：EG﹣DG=√2AG．

【分析】本題最后一問需證明EG﹣DG=√2AG。結(jié)論中包含線段的和差等量關(guān)系，容易聯(lián)想到截長補短的方法。

三大輔助線技巧——截長補短

由于又出現(xiàn)√2，因此考慮構(gòu)造等腰直角三角形。

在線段EG上取點P，使得EP＝DG，證明△AEP≌△ADG（SAS），得出AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，證得△PAG為等腰直角三角形，可得出結(jié)論．

當然，如果順時針將△AFG旋轉(zhuǎn)90°也可以得到結(jié)論。

【答案】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，點E在BA的延長線上，

∴∠EAF＝∠DAB＝90°，

又∵AE＝AD，AF＝AB，

∴△AEF≌△ADB（SAS），

∴∠AEF＝∠ADB，

∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，

即∠EGB＝90°，

故BD⊥EC，

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AE∥CD，

∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，

∴△AEF∽△DCF，

∴AE/DC=AF/DF，

即AE·DF＝AF·DC，

設(shè)AE＝AD＝a（a＞0），則有a·（a﹣1）＝1，化簡得a2﹣a﹣1＝0，

解得a=(1+√5)/2或(1-√5)/2（舍去），

∴AE=(1+√5)/2．

（3）如圖，在線段EG上取點P，使得EP＝DG，

在△AEP與△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，

∴△AEP≌△ADG（SAS），

∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，

∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，

∴△PAG為等腰直角三角形，

∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG=√2AG．

【舉一反三】

【中考分析】

以下是近3年安徽省中考數(shù)學(xué)的知識點分析

模塊分析

知識點分析

備注：以上數(shù)據(jù)來源菁優(yōu)網(wǎng)www.jyeoo.com