文/姚斌
如果要理解凱利公式，那么最好的論著就是威廉·龐德斯通的《財(cái)富公式》。龐德斯通的研究顯示，凱利公式萌發(fā)于20世紀(jì)50年代價(jià)值64000美元的問題。那時(shí)，在“64000美元的問題”電視節(jié)目里，參賽者需要回答一輪又一輪的問題，比如，“羅馬角斗士在斗獸場(chǎng)使用的手套有一個(gè)專用稱呼，叫做什么？”最后的勝出者可以贏得64000美元的獎(jiǎng)金。
約翰·凱利是物理系出身，博士畢業(yè)后就進(jìn)入貝爾實(shí)驗(yàn)室工作。凱利接觸到克勞德·香農(nóng)創(chuàng)立的信息論。根據(jù)香農(nóng)的說法，凱利是在讀了關(guān)于64000美元問題賭博的報(bào)道之后產(chǎn)生了靈感，并就此設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)賭博系統(tǒng)。凱利說他在競(jìng)猜答題節(jié)目中的賭博作弊中找到了與信息論相符合的規(guī)律。當(dāng)凱利告訴香農(nóng)之后，香農(nóng)敦促凱利寫成論文發(fā)表。
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凱利是這樣描述的：如果一個(gè)賭徒擁有一條“私人線路”，就可以事先得到消息，知道或是棒球比賽或是賽馬比賽的勝負(fù)結(jié)果。這些消息雖然不能保證百分之百的可靠，但其準(zhǔn)確性可以給賭徒一定的優(yōu)勢(shì)。這樣，賭徒就可以根據(jù)事先得到的消息，按照所謂的“公平”的賠率在莊家那里下注。凱利提出的問題是，賭徒應(yīng)該如何使用事先得到的消息？
這個(gè)問題貌似簡(jiǎn)單，實(shí)則不簡(jiǎn)單。舉個(gè)極端例子，如果賭徒根據(jù)事先得到的情報(bào)把全部家當(dāng)都押在一匹馬上，因?yàn)橄伦⒔痤~越高，贏的錢也就越多。但由于無法保證情報(bào)的準(zhǔn)確性，所以這種做法存在很大的缺陷?；蛟缁蛲恚倳?huì)發(fā)現(xiàn)情報(bào)中透露的賽馬沒能取勝的情況，如果賭徒仍然下重注，就會(huì)賠光老本。而如果賭徒謹(jǐn)小慎微，只下金額最小的賭注。賭注金額越少，贏的錢也就越少，賭徒就會(huì)白白浪費(fèi)了自己的情報(bào)優(yōu)勢(shì)。
那么，賭徒應(yīng)該怎么做？那些在賭馬中發(fā)大財(cái)?shù)馁€徒們，所采用的策略是連本帶利下注法。如果贏了錢，就把本金和所有利潤都押在另一匹馬身上，再贏了錢，仍然把所有利潤連同本金都用于下注，如法炮制，就可以使自己的財(cái)富以幾何級(jí)數(shù)增值。
凱利認(rèn)為，賭徒與股市或債市上的投資人一樣，也對(duì)復(fù)利收益有著濃厚的興趣。在衡量財(cái)富增值時(shí)，賭徒采用的標(biāo)準(zhǔn)不是單純的資金數(shù)額，而是每次下注的收益和本金的比率。對(duì)于賭徒來說，最好的策略就是在保證不會(huì)丟掉老本的前提下把復(fù)利收益提升到最高。
凱利證明了香農(nóng)在通訊噪音干擾理論中使用的數(shù)學(xué)模型同樣適用于投資者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)和收益的管理。如果可以在信息傳輸中將噪音干擾引起的錯(cuò)誤降低到零，那么同理，投資者在追求最大復(fù)利收益的同時(shí)也可以把破產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)降低到零。香農(nóng)提出的這種兩全其美的理論同樣可以應(yīng)用于賭博當(dāng)中去。
為此，凱利對(duì)彩池設(shè)賭進(jìn)行了分析。凱利為擁有內(nèi)部情報(bào)的賭徒設(shè)計(jì)了一個(gè)簡(jiǎn)單的下注策略，但只適用于馬場(chǎng)抽頭為零或者內(nèi)部情報(bào)十分可靠的情況。根據(jù)凱利的下注策略，每一次投入全部資金，但要根據(jù)得到的情報(bào)把全部資金按照比例在參賽的馬匹身上分散下注。這樣，賭徒在所有參賽的馬匹身上都下了賭注，無論哪匹馬獲勝都可以贏錢，這樣就永遠(yuǎn)不會(huì)輸光賭本。同時(shí)，這個(gè)下注策略還可以保證賭徒以最快的速度擴(kuò)大賭本。
舉例說，如果根據(jù)內(nèi)部消息，有一匹賽馬有100%的把握在比賽中獲勝，而且根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，內(nèi)部消息100%準(zhǔn)確。我們就可以確信這匹賽馬有100%的把握在比賽中力拔頭籌，然后再據(jù)此分配下注金額。其投注策略是，100%的資金都押在這匹賽馬身上，其他參賽馬匹為零。這樣，在這匹賽馬獲勝后就可以按照賭金揭示牌上所開列的賠率得到收益，這就是在能夠保證內(nèi)部消息百分百準(zhǔn)確的情況下最佳下注策略。
但是，凱利策略系統(tǒng)更多情況是用于處理不確定性因素的。在現(xiàn)實(shí)生活中，沒有什么事情能夠萬無一失。私人線路可能出錯(cuò)，對(duì)方也可能有意提供假情報(bào)，線路因?yàn)樵胍魢?yán)重而無法聽清。很多時(shí)候，私人線路就像天氣預(yù)報(bào)一樣只能提供一個(gè)概率，或者提供的內(nèi)部情報(bào)需要自己分析。因此，必須考慮“模糊度”這個(gè)因素。
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賭徒在下注時(shí)所依據(jù)的是根據(jù)內(nèi)幕情報(bào)所估算出的賠率，如果認(rèn)為一匹賽馬有24%的勝算，就要把本金的24%押在這匹賽馬上，這種做法被稱為“賭信念”。長期堅(jiān)持下去，賭信念的做法可以帶來最大金額的復(fù)利回報(bào)，但前提是對(duì)賠率的估計(jì)必須要比一般公眾對(duì)賠率的估計(jì)更加準(zhǔn)確。為什么不把錢全部押在最有可能獲勝的賽馬上呢？最簡(jiǎn)單的答案是，最有可能獲勝的賽馬仍然可能會(huì)輸?shù)舯荣?。然而，在?shí)際賽馬場(chǎng)上，“賭信念”這種下注策略完全沒有任何實(shí)際用處。在美國，賽馬場(chǎng)的抽頭大概在14%和19%之間。在日本，則高達(dá)25%。所以，如果把全部賭本都押在一場(chǎng)比賽上，不論輸贏，馬場(chǎng)都會(huì)從中扣除14%~25%的抽頭。只有保證內(nèi)部情報(bào)高度準(zhǔn)確，才能抵消馬場(chǎng)抽頭帶來的損失。
凱利認(rèn)識(shí)到了這一點(diǎn)并描述了另一種更具實(shí)用性的“賭信念”下注策略的版本。這就是大名鼎鼎的“凱利公式”。這個(gè)公式被龐德斯通稱為“財(cái)富公式”。根據(jù)凱利公式，在占有優(yōu)勢(shì)的情況下，下注金額和本金的比例應(yīng)該等于優(yōu)勢(shì)與賠率的比例。優(yōu)勢(shì)指的是希望從賭博中獲得的收益的平均值，也就是把所有下注收益加權(quán)平均所得到的結(jié)果。優(yōu)勢(shì)之所以以分?jǐn)?shù)形式表示，原因在于優(yōu)勢(shì)是期望利潤和下注金額兩者之間的比率。賠率指公開賠率或賭金揭示牌上公布的賠率。賠率是指贏錢的回報(bào)倍數(shù)，一般賠率采取幾比幾的形式，如8 ：1，指贏家得到的回報(bào)相當(dāng)于下注金額的8倍，同時(shí)，投注的本金也要返給贏家。
根據(jù)凱利公式，賠率有時(shí)不能準(zhǔn)確地反應(yīng)概率。原因在于，賠率是由各種市場(chǎng)力量決定的，是所有人關(guān)于某匹賽馬能否獲勝的預(yù)期相加之后經(jīng)過平均得到的值，而公眾的預(yù)期可能是錯(cuò)誤的。事實(shí)上，只有在公眾預(yù)期不準(zhǔn)確的條件下，才能保證按照凱利公式下注的賭徒能夠占有優(yōu)勢(shì)。而根據(jù)凱利公式，賭徒在下注時(shí)依據(jù)的是內(nèi)部情報(bào)，而不是公開的賠率。
凱利公式的一個(gè)方程等式與愛因斯坦的相對(duì)論有些相似：Gmax＝R。公式中的G指投資者資金的增長率，表示下注方所投入資金的復(fù)利回報(bào)率。G旁邊小寫的max指公式中所列的增長率為可能達(dá)到最大的增長率。凱利用R來表示最佳收益值，在香農(nóng)的信息論中，這個(gè)值相當(dāng)于信息傳輸?shù)乃俾?，最大收益率相?dāng)于“內(nèi)部情報(bào)”的傳輸速率。Gmax描述的是回報(bào)率的值，也就是每個(gè)年度中所獲得收益的百分比或多少個(gè)基點(diǎn)，7%的收益就等于7%的收益，不論采取哪種貨幣單位衡量。
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無關(guān)緊要的情報(bào)對(duì)于賭徒的潛在收益沒有任何幫助。只有在通過最少比特的信息來通知獲勝馬匹的情況下，才能保證利潤達(dá)到最大值。如果情報(bào)100%可靠的話，就可以根據(jù)情報(bào)把全部賭本都押在獲勝賽馬的身上。如果有8匹賽馬同時(shí)參賽，那么其獲勝機(jī)會(huì)是均等的。如果事先知道那匹馬可以獲勝，賭徒一美元就能得到8美元的收益。如果按照凱利公式操作，在能夠保證用三字節(jié)編碼傳送的情報(bào)準(zhǔn)確的前提下，每次下注都能把本金增加8倍。請(qǐng)注意，8等于2的三次方，在這里3是冪數(shù)，決定了賭徒資產(chǎn)的增值速度。同時(shí)，3這個(gè)冪數(shù)與情報(bào)傳輸時(shí)的比特?cái)?shù)位相同。在更加現(xiàn)實(shí)的情況中，內(nèi)部情報(bào)不能保證永遠(yuǎn)正確，所以必須根據(jù)模糊度打折扣。這樣，每場(chǎng)比賽的實(shí)際信息傳輸速率就小于3比特。在內(nèi)部情報(bào)不準(zhǔn)確的情況下，賭徒的資產(chǎn)增值速度也會(huì)相應(yīng)減緩。
凱利公式是通過“按比例”分散下注的方法來避免破產(chǎn)的。也就是必須把當(dāng)前可以運(yùn)用到所有資本按比例分成很多份，分別下注。由于每次下注用的資金只是全部資本一部分，所以手里的錢永遠(yuǎn)不會(huì)全部用完，這樣就可以避免把錢全部輸光了。按照凱利系統(tǒng)操作，財(cái)富值可以按照幾何級(jí)數(shù)增長，這也是按比例下注的結(jié)果。隨著本金的擴(kuò)大，下注的金額也就隨之增加。如果一個(gè)人在賭局中占優(yōu)勢(shì)的話，長遠(yuǎn)來看，他贏的錢自然要比輸?shù)腻X多，原因在于每次贏的錢都算入本金中，再次用于下注。
根據(jù)愛因斯坦E=mc2平方的公式，一小塊物質(zhì)所包含的能量可以維持一座城市的運(yùn)行或?qū)⒁蛔鞘袣?。根?jù)Gmax=R這個(gè)公式，只需要幾個(gè)字節(jié)，就可以得到令任何投資人為之羨慕的投資回報(bào)率。如果用華爾街的話來描述Gmax=R這個(gè)公式的話，那就是一個(gè)比特的信息相當(dāng)于10000個(gè)基點(diǎn)。也就是說，不論從事哪種賭博活動(dòng)，凱利標(biāo)準(zhǔn)都能為你帶來最大收益。在實(shí)際操作中，最大的問題就是找到內(nèi)部情報(bào)可以發(fā)揮作用的投資領(lǐng)域。
曾經(jīng)有人問香農(nóng)什么樣的“信息”能在股票市場(chǎng)上應(yīng)用，香農(nóng)的回答是“內(nèi)幕信息”。但是，在擁有信息優(yōu)勢(shì)的同時(shí)不能違反法律。根據(jù)凱利系統(tǒng)，投資者如果擁有研究團(tuán)隊(duì)或建立了計(jì)算機(jī)模型從而提高對(duì)股票正確的價(jià)值判斷，與一般公眾相比就擁有了信息優(yōu)勢(shì)。
于是，凱利就發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)投資領(lǐng)域：股票市場(chǎng)。平均來說，敢于在股市中“賭一把”的人所獲的收益要比那些選擇在債券和儲(chǔ)蓄等安全投資方法的人要高得多。對(duì)于凱利而言，賭博與投資的唯一區(qū)別就是形象問題，形象好的下注行為叫“投資”，形象不好的下注行為被稱為“賭博”。凱利很愿意通過投資來檢驗(yàn)凱利公式的有效性。遺憾的是，凱利卻于1964年3月突發(fā)腦溢血去世。凱利未竟的事業(yè)最終由香農(nóng)和索普來完成。我將這三位偉大的人物稱為“凱利派三杰”。
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凱利體系問世后，在經(jīng)濟(jì)學(xué)界引發(fā)了大爭(zhēng)論。以有效市場(chǎng)假說理論為首的經(jīng)濟(jì)學(xué)家保羅·薩繆爾森親自上陣，否定凱利系統(tǒng)。他們認(rèn)為，從長期來看，人們無法真正戰(zhàn)勝市場(chǎng)，因此凱利體系很荒謬。對(duì)此，香農(nóng)說：“那些研究經(jīng)濟(jì)的人總是在談?dòng)行袌?chǎng)，好像什么都可以達(dá)到公平，一切全憑運(yùn)氣，沒有人能真正賺到錢似的。但我根本就不相信這一點(diǎn)?！?/div>
在經(jīng)過了多年論戰(zhàn)之后，薩繆爾森最終也承認(rèn)了凱利體系是有效的。畢竟凱利體系會(huì)帶來最多的財(cái)富，對(duì)于任何一名想致富的人來說，凱利體系是合理的渠道。薩繆爾森大概也不會(huì)與財(cái)富過不去。他斷言巴菲特的成功只是'個(gè)例”，卻投資了伯克希爾·哈撒韋。凱利體系是信息理論學(xué)家們的成果，而不是經(jīng)濟(jì)學(xué)的，因此像薩繆爾森那樣的經(jīng)濟(jì)學(xué)家必須大力捍衛(wèi)自己的領(lǐng)地。
香農(nóng)認(rèn)為凱利公式正是投資的數(shù)學(xué)精髓所在。香農(nóng)將賭馬與炒股聯(lián)系了起來。他認(rèn)為，賽馬如同一個(gè)節(jié)奏極快的惡性股票市場(chǎng)。如果去拜訪一家知名的股票交易所，你會(huì)發(fā)現(xiàn)地板上到處散落著作廢的認(rèn)股憑證；如果嘗試去賽馬場(chǎng)看一下，可以發(fā)現(xiàn)大多數(shù)下注票也會(huì)在瞬間變得一文不值。孤獨(dú)一擲是愚蠢的做法，無論對(duì)賽馬還是股票來說都是如此。能夠避免血本無歸的唯一途徑是將投資多元化。如果將賭注分別下在每只股票上或購買指數(shù)基金，至少可以在付出交易成本外獲得平均收益。如果想要打敗市場(chǎng)，就必須具有他人所沒有的優(yōu)勢(shì)，要洞察購買哪些股票才物有所值。
索普極力推崇凱利體系。索普說他在運(yùn)用凱利的思想時(shí)幾乎不需要精心的計(jì)算。他可以快速推測(cè)從而確定一個(gè)資產(chǎn)配置正好處于凱利限制之下。他認(rèn)為，凱利系統(tǒng)是一種關(guān)于資本管理的數(shù)學(xué)理論。正是由于運(yùn)用了凱利體系的原理，索普的數(shù)牌策略才避免出現(xiàn)破產(chǎn)出局的情況。凱利體系保證了索普數(shù)牌策略能夠百戰(zhàn)百勝，這也是開天辟地的第一遭。凱利公式要求把所有賭注都押在“確定性的東西”上。索普有時(shí)會(huì)把基金30%的資產(chǎn)都投到了單筆生意中。最極端的情況是，他把基金資產(chǎn)的150%都投入到一筆“確定的”交易中。索普說，在采取著這些大膽的手段時(shí)，一個(gè)最現(xiàn)實(shí)的測(cè)試方法是“晚上是否能夠睡得著”。如果他覺得自己實(shí)在感到困擾，就會(huì)縮小投資的規(guī)模。
經(jīng)過香農(nóng)和索普的投資實(shí)踐和演繹，凱利體系終于確立了它的崇高地位，形成了它的原則，其內(nèi)涵也不斷豐富起來。如果總結(jié)凱利體系的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)它是很“貪婪”的，總是在冒風(fēng)險(xiǎn)以便收獲更多的財(cái)富。這就會(huì)帶來迷人的最高回報(bào)率。但對(duì)一些人來說，凱利體系可能過于保守。凱利派會(huì)避開任何最微小的可能會(huì)導(dǎo)致一無所有的風(fēng)險(xiǎn)。因?yàn)閺拈L遠(yuǎn)來看，任何看上去不太可能的危急狀態(tài)都必須得繞過去。從這一點(diǎn)來說，凱利體系可以規(guī)避全面毀滅。這是一個(gè)巨大的成就。
凱利體系或標(biāo)準(zhǔn)的另一個(gè)特點(diǎn)是其帶來的最大化的中間財(cái)富，中間數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)上的一種方法，從小到大排列一些數(shù)字，選擇正中間的數(shù)值就是中間數(shù)。中間數(shù)的結(jié)果隨著時(shí)間成指數(shù)增長，引導(dǎo)財(cái)富分配的結(jié)果，類似曼哈頓的狀況，導(dǎo)致極端的貧富差距進(jìn)一步拉大，使得富人會(huì)更富，窮人會(huì)更窮。中產(chǎn)階級(jí)的人數(shù)比你想象的要少。
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但是，用凱利標(biāo)準(zhǔn)，你可能會(huì)拿需要的資金去冒險(xiǎn)，獲取可有可無的利潤；用凱利標(biāo)準(zhǔn)，也許你會(huì)犧牲一些利益，而只是為了確保你認(rèn)為不必要的安全。對(duì)于那些想要體驗(yàn)利潤和顯示帶來的極端感覺的人來說，凱利標(biāo)準(zhǔn)并不合適。凱利體系做不到“工程師運(yùn)氣”。在運(yùn)用凱利體系的過程中，如果運(yùn)氣不好的話，最后的資金可能會(huì)低于中間財(cái)富。如果是這樣的話，結(jié)局可能不如用其他的體系得到的結(jié)果好。
凱利派為了實(shí)現(xiàn)資本增長，他們有更優(yōu)化的投資組合。沒有其他的，更加個(gè)性化的束縛會(huì)降低凱利派的財(cái)富積累速度。在所有的基金管理戰(zhàn)略中，只有凱利的理論具有長期立于不敗之地的優(yōu)勢(shì)。它更適用于那些暫時(shí)性的交易，而不是典型的小規(guī)模投資者。學(xué)術(shù)界對(duì)凱利體系最感興趣的在于資金分配，凱利的回答是把所有的錢都投到股票中去。當(dāng)然，任何的理論都有其局限性，雖然凱利體系也許可以避免全盤毀滅，但不能夠完全的保證安全。凱利體系能夠阻止像長期資本管理那樣公司的悲劇嗎？其答案是顯而易見的。
凱利原則使所有的賭博和投資都可以互換。只要提供任何一種賭博和投資機(jī)會(huì)，凱利賭注就會(huì)將其轉(zhuǎn)化為最佳資本增長的賭博或者投資。如果賭注風(fēng)險(xiǎn)過高，凱利使用者只會(huì)用其中一部分資金來下注，從而降低風(fēng)險(xiǎn)。如果投資或交易沒有損失一切的可能性，凱利使用者也許就會(huì)使用杠桿來實(shí)現(xiàn)最大回報(bào)。使用凱利原則的人必須思考兩個(gè)問題：風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到何種水平可帶來最高的長期收益？失去一切的可能性有多大？
巴菲特和查理·芒格也高度認(rèn)可凱利原則。巴菲特就是一個(gè)秘密運(yùn)用凱利原則的投資者。他在認(rèn)定有優(yōu)勢(shì)的公司上投資，并專注于長期投資。無論他是否聽說過凱利，這個(gè)方法一定是“賭你的信念”。這個(gè)理論在羅伯特·哈格斯特朗的《沃倫·巴菲特的投資組合》中得到進(jìn)一步的發(fā)展。哈格斯特朗認(rèn)為，凱利概念是一個(gè)很合理的過程，這個(gè)概念和巴菲特的想法不約而同。查理·芒格同樣強(qiáng)調(diào)下重注，他要求：①放棄爛機(jī)會(huì)；②放棄看起來很好但實(shí)質(zhì)上很爛的機(jī)會(huì)；③下重注在那些實(shí)質(zhì)上很好的機(jī)會(huì)上。這種思想與凱利原則不謀而合。
由于運(yùn)用了凱利原則，愛德華·索普掌管的普林斯頓-新港合伙公司保持了19年完全意義上的全壘打，其投資組合收益率在扣除各項(xiàng)費(fèi)用后達(dá)到年均15.1%，同期標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的年均收益率也只有8.8%。而克勞德·香農(nóng)更出色，從20世紀(jì)50年代到1986年，其投資組合的收益率大約為28%。香農(nóng)告訴我們，聰明的投資者應(yīng)該了解自身的優(yōu)勢(shì)，并且只有在有優(yōu)勢(shì)的機(jī)會(huì)中投資?！霸谖铱磥?，重要的數(shù)據(jù)并不是過去幾天或幾個(gè)月里股價(jià)如何變化，而是過去幾年里公司收入發(fā)生了什么變化?！?/div>
要想贏得勝利的唯一法則就是不賭，因?yàn)槟阙A不了凱利標(biāo)準(zhǔn)。如今，在一定程度上，凱利標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)和圓周率及黃金分割一樣，成為極少數(shù)可以吸引非數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)概念。凱利標(biāo)準(zhǔn)似乎有一種超自然的力量，把投資和支撐我們這個(gè)數(shù)字時(shí)代的理論巧妙地結(jié)合起來，影響極其深遠(yuǎn)。
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